Trong không gian Oxyz cho $A( - 4;7;5)$ và hai đường thẳng ${d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = 3t\\z =  - 2 + t\end{array} \right.$; ${d_2}:\dfrac{{x + 1}}{3} = \dfrac{{y - 2}}{4} = z - 1$. Đường thẳng d đi qua A đồng thời cắt ${d_1},\,\,{d_2}$có phương trình là:

Gọi M, N lần lượt là giao điểm của d và ${d_1},\,\,{d_2}$ $ \Rightarrow $Giả sử $M(1 - t;3t; - 2 + t),\,\,N( - 1 + 3{t_1};2 + 4{t_1};\,\,1 + {t_1})$

$ \Rightarrow \overrightarrow {MA}  = \left( { - 5 + t;7 - 3t;7 - t} \right),\,\,\overrightarrow {MB}  = \left( { - 3 - 3{t_1};5 - 4{t_1};4 - {t_1}} \right)$

Vì A, M, N thẳng hàng nên $\dfrac{{ - 5 + t}}{{ - 3 - 3{t_1}}} = \dfrac{{7 - 3t}}{{5 - 4{t_1}}} = \dfrac{{7 - t}}{{4 - {t_1}}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( { - 5 + t} \right)\left( {5 - 4{t_1}} \right) = \left( {7 - 3t} \right)\left( { - 3 - 3{t_1}} \right)\\\left( { - 5 + t} \right)\left( {4 - {t_1}} \right) = \left( {7 - t} \right)\left( { - 3 - 3{t_1}} \right)\end{array} \right.$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 25 + 20{t_1} + 5t - 4t{t_1} =  - 21 - 21{t_1} + 9t + 9t{t_1}\\ - 20 + 5{t_1} + 4t - t{t_1} =  - 21 - 21{t_1} + 3t + 3t{t_1}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}41{t_1} - 4t - 13t{t_1} = 4\\26{t_1} + t - 4t{t_1} =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}41{t_1} - 4t - 13t{t_1} = 4\\104{t_1} + 4t - 16t{t_1} =  - 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}145{t_1} - 29t{t_1} = 0\\26{t_1} + t - 4t{t_1} =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}{t_1} = 0\\t = 5\end{array} \right.\\26{t_1} + t - 4t{t_1} =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{t_1} = 0\\t =  - 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}t = 5\\{t_1} =  - 1\end{array} \right.\,\,(L)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t_1} = 0\\t =  - 1\end{array} \right.\end{array}$

 $ \Rightarrow \overrightarrow {MA}  = \left( { - 6;10;8} \right),\,\,M\left( {2; - 3; - 3} \right)$

Phương trình đường thẳng d  đi qua $M\left( {2; - 3; - 3} \right)$ và có 1 VTCP $\overrightarrow u  = \left( { - 3;5;4} \right)$ là:   $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 3t\\y =  - 3 + 5t\\z =  - 3 + 4t\end{array} \right.$