Trong không gian Oxyz, cho 2 điểm $A\left( {1;2; - 3} \right),\,M\left( { - 2; - 2;1} \right)$ và đường thẳng $d:\dfrac{{x + 1}}{2} = \dfrac{{y - 5}}{2} = \dfrac{z}{{ - 1}}$. $\Delta $ là đường thẳng đi qua M và vuông góc với đường thẳng d đồng thời cách A một khoảng lớn nhất, khi đó  $\Delta $ đi qua điểm nào trong các điểm sau:

$\Delta $ là đường thẳng đi qua M và cách A một khoảng lớn nhất khi $AM \bot \Delta $, khi đó $\Delta $ có 1 VTPT là $\overrightarrow {AM} \left( { - 3; - 4;4} \right)$

Đường thẳng d có 1 VTCP $\overrightarrow {{u_d}} \left( {2;2; - 1} \right)$. Vì $\Delta $ vuông góc với đường thẳng d nên $\Delta $ nhận $\overrightarrow {{u_d}} \left( {2;2; - 1} \right)$ là 1 VTPT.

Ta có: $\left[ {\overrightarrow {AM} ;\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( { - 4;5;2} \right)$

Khi đó, $\Delta $ có 1 VTCP $\overrightarrow u \left( { - 4;5;2} \right)$. Phương trình đường thẳng $\Delta $ là: $\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 - 4t\\y =  - 2 + 5t\\z = 1 + 2t\end{array} \right.$

* Kiểm tra các điểm có thuộc $\Delta $ hay không:

+) $\left( { - 1; - 2;3} \right)$:

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} - 1 =  - 2 - 4t\\ - 2 =  - 2 + 5t\\3 = 1 + 2t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t =  - \dfrac{1}{4}\\t = 0\\t = 1\end{array} \right.$ (vô lý)  $ \Rightarrow \left( { - 1; - 2;3} \right) \notin \Delta $

+) $\left( {2; - 7; - 1} \right)$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}2 =  - 2 - 4t\\ - 7 =  - 2 + 5t\\ - 1 = 1 + 2t\end{array} \right. \Leftrightarrow t =  - 1$  $ \Rightarrow \left( {2; - 7; - 1} \right) \in \Delta $

+)$\left( { - 1;2;3} \right)$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} - 1 =  - 2 - 4t\\2 =  - 2 + 5t\\3 = 1 + 2t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t =  - \dfrac{1}{4}\\t = \dfrac{4}{5}\\t = 1\end{array} \right.$ (vô lý)  $ \Rightarrow \left( { - 1;2;3} \right) \notin \Delta $

+)$\left( { - 1; - 1; - 3} \right)$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} - 1 =  - 2 - 4t\\ - 1 =  - 2 + 5t\\ - 3 = 1 + 2t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t =  - \dfrac{1}{4}\\t = \dfrac{1}{5}\\t =  - 2\end{array} \right.$ (vô lý)  $ \Rightarrow \left( { - 1; - 1; - 3} \right) \notin \Delta $