Hệ tọa độ trong không gian (tọa độ véc tơ)

Ta có $\vec u - \vec v = ( - 1;2; - 1)$

Vì $A\left( {3;2; - 4} \right)$ $\Rightarrow \overrightarrow {OA}  = \left( {3;2; - 4} \right)$.

Vì $A\left( {1;1; - 1} \right)$ và $B\left( {2;3;2} \right)$ nên $\overrightarrow {AB}  = \left( {1;2;3} \right)$.

Ta có: $\overrightarrow u  = \left( {1; - 2;3} \right)$ $\Rightarrow \overrightarrow u  = \overrightarrow i  - 2\overrightarrow j  + 3\overrightarrow k$ .

Hai véc tơ $\overrightarrow {{u_1}}  = \overrightarrow {{u_2}}$ nếu và chỉ nếu $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = {x_2}\\{y_1} = {y_2}\\{z_1} = {z_2}\end{array} \right.$

Do $\overrightarrow u  = \overrightarrow v$ nên $m = 0,n = 2,p = 1$.

Vậy $m - n + p = 0 - 2 + 1 =  - 1$.

Vì $M\left( { - 1; - 2; - 2} \right)$ và $N\left( { - 3;4;1} \right)$ nên $\overrightarrow {OM}  = \left( { - 1; - 2; - 2} \right)$ và $\overrightarrow {ON}  = \left( { - 3;4;1} \right)$ .

Do đó $\overrightarrow {OM}  - \overrightarrow {ON}  = \left( { - 1 - \left( { - 3} \right); - 2 - 4; - 2 - 1} \right) = \left( {2; - 6; - 3} \right)$.

Ta có: $\dfrac{1}{k}\overrightarrow u  = \left( {\dfrac{x}{k};\dfrac{y}{k};\dfrac{z}{k}} \right)$.

Ta có: $\overrightarrow u  = \left( { - 3;2;4} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {2^2} + {4^2}}  = \sqrt {29}$

Ta có: $\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right) = \dfrac{{{x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2}}}{{\sqrt {x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} .\sqrt {x_2^2 + y_2^2 + z_2^2} }}$

Ta có: $\overrightarrow {OA}  = \left( {2; - 1;4} \right)$.

Vì $A\left( { - 2;3;5} \right)$ $\Rightarrow \overrightarrow {OA}  = \left( { - 2;3;5} \right)$.

$AB = \sqrt {{3^2} + {2^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}}  = \sqrt {22}$.

$\begin{array}{l}\overrightarrow u  = 2\overrightarrow a  - 3\overrightarrow b  + 4\overrightarrow c \\\,\,\,\, = 2\left( { - 2; - 3;3} \right) - 3\left( {0;2; - 1} \right) + 4\left( { - 3;2;5} \right)\\\,\,\,\, = \left( { - 4; - 6;6} \right) - \left( {0;6; - 3} \right) + \left( { - 12;8;20} \right)\\\,\,\,\, = \left( { - 16; - 4;29} \right)\end{array}$

Gọi $Q\left( {a;b;c} \right)$. Ta có: $\overrightarrow {MN}  = \left( {1;3; - 7} \right)$, $\overrightarrow {QP}  = \left( {1 - a; - 1 - b;2 - c} \right)$.

Vì MNPQ là hình bình hành nên $\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {QP}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - a = 1\\ - 1 - b = 3\\2 - c =  - 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b =  - 4\\c = 9\end{array} \right.$.

Vậy Q(0;-4;9).

Ta có: $\overrightarrow {OA}  = \left( {4; - 1;3} \right)$

Tọa độ vectơ $\overrightarrow {AB}$ là: $\overrightarrow {AB} \left( {3;5; - 3} \right)$.

Ta có: $AB=\sqrt{{{\left( 2-1 \right)}^{2}}+{{\left( 1-\left( -1 \right) \right)}^{2}}+{{\left( 1-2 \right)}^{2}}}=\sqrt{6}$

$\overrightarrow {OA}  = \left( {2;1;1} \right) \Rightarrow OA = \left| {\overrightarrow {OA} } \right| = \sqrt 6$

Ta có hai vecto $\overrightarrow{a};\ \overrightarrow{b}$ là hai vecto ngược hướng và $\left| {\vec b} \right| = 2\left| {\vec a} \right|$ nên $\overrightarrow{b}=-2\overrightarrow{a}=\left( -2;4;-6 \right)$