Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\vec u = (1;3; - 2)\) và \(\vec v = (2;1; - 1)\). Tọa độ của vectơ \(\vec u - \vec v\) là
Ta có \(\vec u - \vec v = ( - 1;2; - 1)\)
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 103
Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {3;2; - 4} \right)\). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {OA} \) là:
Vì \(A\left( {3;2; - 4} \right)\) \( \Rightarrow \overrightarrow {OA} = \left( {3;2; - 4} \right)\).
Trong không gian \(Oxyz,\) cho hai điểm \(A\left( {1;1; - 1} \right)\) và \(B\left( {2;3;2} \right)\). Véc tơ \(\overrightarrow {AB} \) có tọa độ là:
Vì \(A\left( {1;1; - 1} \right)\) và \(B\left( {2;3;2} \right)\) nên \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;2;3} \right)\).
Cho véc tơ \(\overrightarrow u = \left( {1; - 2;3} \right)\). Khi đó:
Ta có: \(\overrightarrow u = \left( {1; - 2;3} \right)\) \( \Rightarrow \overrightarrow u = \overrightarrow i - 2\overrightarrow j + 3\overrightarrow k \) .
Cho hai véc tơ \(\overrightarrow {{u_1}} \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\). Hai véc tơ \(\overrightarrow {{u_1}} = \overrightarrow {{u_2}} \) nếu và chỉ nếu:
Hai véc tơ \(\overrightarrow {{u_1}} = \overrightarrow {{u_2}} \) nếu và chỉ nếu \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = {x_2}\\{y_1} = {y_2}\\{z_1} = {z_2}\end{array} \right.\)
Cho hai véc tơ \(\overrightarrow u = \left( {m;2;1} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {0;n;p} \right)\). Biết \(\overrightarrow u = \overrightarrow v \), giá trị \(T = m - n + p\) bằng:
Do \(\overrightarrow u = \overrightarrow v \) nên \(m = 0,n = 2,p = 1\).
Vậy \(m - n + p = 0 - 2 + 1 = - 1\).
Cho hai điểm \(M\left( { - 1; - 2; - 2} \right)\) và \(N\left( { - 3;4;1} \right)\). Tọa độ véc tơ \(\overrightarrow {OM} - \overrightarrow {ON} \) là:
Vì \(M\left( { - 1; - 2; - 2} \right)\) và \(N\left( { - 3;4;1} \right)\) nên \(\overrightarrow {OM} = \left( { - 1; - 2; - 2} \right)\) và \(\overrightarrow {ON} = \left( { - 3;4;1} \right)\) .
Do đó \(\overrightarrow {OM} - \overrightarrow {ON} = \left( { - 1 - \left( { - 3} \right); - 2 - 4; - 2 - 1} \right) = \left( {2; - 6; - 3} \right)\).
Cho véc tơ \(\overrightarrow u = \left( {x;y;z} \right)\) và một số thực \(k \ne 0\). Tọa độ véc tơ \(\dfrac{1}{k}.\overrightarrow u \) là:
Ta có: \(\dfrac{1}{k}\overrightarrow u = \left( {\dfrac{x}{k};\dfrac{y}{k};\dfrac{z}{k}} \right)\).
Cho véc tơ \(\overrightarrow u = \left( { - 3;2;4} \right)\). Độ dài véc tơ \(\overrightarrow u \) là:
Ta có: \(\overrightarrow u = \left( { - 3;2;4} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {2^2} + {4^2}} = \sqrt {29} \)
Cô sin của góc hợp bởi hai véc tơ \(\overrightarrow {{u_1}} \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_2}} \left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\) là:
Ta có: \(\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right) = \dfrac{{{x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2}}}{{\sqrt {x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} .\sqrt {x_2^2 + y_2^2 + z_2^2} }}\)
Đề thi THPT QG – 2021 lần 1– mã 104
Trong không gian \(Oxyz,\) cho điểm \(A\left( {2; - 1;4} \right)\). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {OA} \) là
Ta có: \(\overrightarrow {OA} = \left( {2; - 1;4} \right)\).
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Trong không gian \(O\,xyz\), cho điểm \(A\left( { - 2;3;5} \right)\). Tọa độ của vecto \(\overrightarrow {OA} \) là
Vì \(A\left( { - 2;3;5} \right)\) \( \Rightarrow \overrightarrow {OA} = \left( { - 2;3;5} \right)\).
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {1;0;1} \right)\) và \(B\left( {4;2; - 2} \right)\). Độ dài đoạn thẳng \(AB\) bằng:
\(AB = \sqrt {{3^2} + {2^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = \sqrt {22} \).
Trong không gian Oxyz , cho \(\overrightarrow a = \left( { - 2; - 3;3} \right),\) \(\overrightarrow b = \left( {0;2; - 1} \right),\) \(\overrightarrow c = \left( { - 3;2;5} \right)\). Tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow u = 2\overrightarrow a - 3\overrightarrow b + 4\overrightarrow c \).
\(\begin{array}{l}\overrightarrow u = 2\overrightarrow a - 3\overrightarrow b + 4\overrightarrow c \\\,\,\,\, = 2\left( { - 2; - 3;3} \right) - 3\left( {0;2; - 1} \right) + 4\left( { - 3;2;5} \right)\\\,\,\,\, = \left( { - 4; - 6;6} \right) - \left( {0;6; - 3} \right) + \left( { - 12;8;20} \right)\\\,\,\,\, = \left( { - 16; - 4;29} \right)\end{array}\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho M(2;-1;3), N(3;2;-4), P(1;-1;2). Xác định tọa độ điểm Q để MNPQ là hình bình hành.
Gọi \(Q\left( {a;b;c} \right)\). Ta có: \(\overrightarrow {MN} = \left( {1;3; - 7} \right)\), \(\overrightarrow {QP} = \left( {1 - a; - 1 - b;2 - c} \right)\).
Vì MNPQ là hình bình hành nên \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {QP} \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - a = 1\\ - 1 - b = 3\\2 - c = - 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = - 4\\c = 9\end{array} \right.\).
Vậy Q(0;-4;9).
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 102
Trong không gian \(Oxyz,\) cho điểm \(A\left( {4; - 1;3} \right)\). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {OA} \) là
Ta có: \(\overrightarrow {OA} = \left( {4; - 1;3} \right)\)
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {1; - 3;2} \right)\) và \(B\left( {4;2; - 1} \right)\). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {AB} \) là:
Tọa độ vectơ \(\overrightarrow {AB} \) là: \(\overrightarrow {AB} \left( {3;5; - 3} \right)\).
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( 1;-1;2 \right)\) và \(B\left( 2;1;1 \right)\). Độ dài đoạn thẳng AB là:
Ta có: \(AB=\sqrt{{{\left( 2-1 \right)}^{2}}+{{\left( 1-\left( -1 \right) \right)}^{2}}+{{\left( 1-2 \right)}^{2}}}=\sqrt{6}\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {2;1;1} \right)\). Tính độ dài đoạn thẳng OA
\(\overrightarrow {OA} = \left( {2;1;1} \right) \Rightarrow OA = \left| {\overrightarrow {OA} } \right| = \sqrt 6 \)
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho véctơ \(\overrightarrow{a}=\left( 1;-2;3 \right).\) Tìm tọa độ của véctơ \(\overrightarrow{b}\) biết rằng véctơ \(\overrightarrow{b}\) ngược hướng với véctơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\left| \overrightarrow{b} \right|=2\left| \overrightarrow{a} \right|\)
Ta có hai vecto \(\overrightarrow{a};\ \overrightarrow{b}\) là hai vecto ngược hướng và \(\left| {\vec b} \right| = 2\left| {\vec a} \right|\) nên \( \overrightarrow{b}=-2\overrightarrow{a}=\left( -2;4;-6 \right)\)
