Hệ tọa độ trong không gian (tọa độ véc tơ)

Áp dụng công thức ta có: $\overrightarrow{AB}=\left( 1-\left( -1 \right);-1-0;\ 2-1 \right)=\left( 2;-1;\ 1 \right).$

$A\left( {1;1;0} \right),B\left( {0;1;2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( {0 - 1;1 - 1;2 - 0} \right) = \left( { - 1;0;2} \right)$

$A(2;3;4),\,\,B(6;2;2)$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( {6 - 2;2 - 3;2 - 4} \right)\\ \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = (4; - 1; - 2)\end{array}$

Ta có hai vecto $\overrightarrow{a};\ \overrightarrow{b}$ là hai vecto cùng hướng $\Leftrightarrow \overrightarrow{b}=2\overrightarrow{a}=\left( 2;-4;6 \right)$

Ta có $AB=5,\,\,AC=5$ và $BC=5\sqrt{2}$$\Rightarrow \,\,A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}=B{{C}^{2}}$

Suy ra tam giác $ABC$ vuông cân tại $A\,\,\Rightarrow \,\,\widehat{ABC}={{45}^{0}}.$

$\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \left( {2 + 1; - 2 - 1; - 4 + 1} \right) = \left( {3; - 3; - 3} \right)$ nên A đúng.

$\overrightarrow a .\overrightarrow b  = 2.1 + \left( { - 2} \right).\left( { - 1} \right) + \left( { - 4} \right).1 = 0$ nên $\overrightarrow a  \bot \overrightarrow b$ hay B đúng.

$\left| {\overrightarrow b } \right| = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}}  = \sqrt 3$ nên C đúng.

Vì $\dfrac{2}{1} = \dfrac{{ - 2}}{{ - 1}} \ne \dfrac{{ - 4}}{1}$ nên $\overrightarrow a$  và $\overrightarrow b$  không cùng phương hay D sai.

Ta có $\vec{a}.\vec{b}=\left( -\,1 \right).1+1.1+0.0=0\Rightarrow \vec{a}\bot \vec{b}\Rightarrow A$ đúng.

$\vec{c}=\left( 1;1;1 \right)\Rightarrow \left| {\vec{c}} \right|=\sqrt{{{1}^{2}}+{{1}^{2}}+{{1}^{2}}}=\sqrt{3}\Rightarrow B$ đúng.

Lại có $\vec{a}=\left( -\,1;1;0 \right)\Rightarrow \left| {\vec{a}} \right|=\sqrt{{{\left( -\,1 \right)}^{2}}+{{1}^{2}}+{{0}^{2}}}=\sqrt{2}\Rightarrow C$ đúng

Và  $\vec{c}.\vec{b}=1.1+1.1+0.1=2\ne 0$ suy ra hai vectơ $\vec{c},\,\,\vec{b}$ không vuông góc $\Rightarrow D$ sai.

$\overrightarrow{v}=2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}+5\overrightarrow{c}$ $=\left( 2.1-3.(-2)+5.(-1);2.2-3.4+5.3;2.3-3.1+5.4 \right)$ $=\left( 3;7;23 \right)$

$\,\overrightarrow{b}=\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{k}\Rightarrow \overrightarrow{b}=\left( 1;0;-3 \right)$

Khi đó, $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=2.1+(-1).0+4.(-3)=-10$

$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=x.1+2.\left( -1 \right)+1.2x=3x-2$

$P=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=3.\left( -2 \right)+\left( -2 \right).\left( -1 \right)+1.1=-3$

$\overrightarrow{a}\left( 2;-2;4 \right)$ và $\overrightarrow{b}=2\overrightarrow{a}\Rightarrow \overrightarrow{b}\left( 4;-4;8 \right)$

$\overrightarrow b  = 2\overrightarrow a  = \left( {2; - 4;0} \right)$

$\overrightarrow{a}=(2;-3;-1)$, $\overrightarrow{b}=(-1;0;4)$ $\overrightarrow{u}=4\overrightarrow{a}-5\overrightarrow{b}\Rightarrow \overrightarrow{u}=\left( 4.2-5.(-1);\,\,\,\,4.(-3)-5.0;\,\,\,4.(-1)-5.4 \right)\Rightarrow \overrightarrow{u}=(13;-12;-24)$

$\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{i}+\overrightarrow{k}-3\overrightarrow{j}=2\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}\Rightarrow \overrightarrow{a}\left( 2;-3;1 \right)$

$\overrightarrow u  = x.\overrightarrow i  + y.\overrightarrow j  + z.\overrightarrow k$ thì $\overrightarrow u  = \left( {x;y;z} \right)$

$\overrightarrow u  =  - \overrightarrow i  + \overrightarrow k  =  - 1.\overrightarrow i  + 0.\overrightarrow j  + 1.\overrightarrow k  \Rightarrow \overrightarrow u \left( { - 1;0;1} \right)$

Nếu $\overrightarrow {{u_1}}  = \overrightarrow {{u_2}}$ thì $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = {x_2}\\{y_1} = {y_2}\\{z_1} = {z_2}\end{array} \right.$ nên đáp án D đúng.

$\overrightarrow u  = \overrightarrow v  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 2\\0 = 0\\1 = c\end{array} \right.$

Ta có: $\overrightarrow {{u_1}}  - \overrightarrow {{u_2}}  = \left( {{x_1} - {x_2};{y_1} - {y_2};{z_1} - {z_2}} \right)$