Trong không gian Oxyz, cho \(A\left( -1;\ 0;\ 1 \right)\) và \(B\left( 1;-1;\ 2 \right)\). Tọa độ vecto \(\overrightarrow{AB}\) là:
Áp dụng công thức ta có: \(\overrightarrow{AB}=\left( 1-\left( -1 \right);-1-0;\ 2-1 \right)=\left( 2;-1;\ 1 \right).\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {1;1;0} \right)\) và \(B\left( {0;1;2} \right)\). Tìm tọa độ vectơ \(\overrightarrow {AB} \)
\(A\left( {1;1;0} \right),B\left( {0;1;2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {0 - 1;1 - 1;2 - 0} \right) = \left( { - 1;0;2} \right)\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 2 điểm \(A(2;3;4),\,\,B(6;2;2)\). Tìm tọa độ vectơ \(\overrightarrow{AB}\).
\(A(2;3;4),\,\,B(6;2;2)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {6 - 2;2 - 3;2 - 4} \right)\\ \Rightarrow \overrightarrow {AB} = (4; - 1; - 2)\end{array}\)
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho véctơ \(\overrightarrow{a}=\left( 1;-2;3 \right).\) Tìm tọa độ của véctơ \(\overrightarrow{b}\) biết rằng véctơ \(\overrightarrow{b}\) cùng hướng với véctơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\left| \overrightarrow{b} \right|=2\left| \overrightarrow{a} \right|\)
Ta có hai vecto \(\overrightarrow{a};\ \overrightarrow{b}\) là hai vecto cùng hướng \(\Leftrightarrow \overrightarrow{b}=2\overrightarrow{a}=\left( 2;-4;6 \right)\)
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) tam giác \(ABC\) có \(A\left( -\,1;-\,2;4 \right),\,\,B\left( -\,4;-\,2;0 \right)\) và \(C\left( 3;-\,2;1 \right).\) Tính số đo của góc \(B.\)
Ta có \(AB=5,\,\,AC=5\) và \(BC=5\sqrt{2}\)\(\Rightarrow \,\,A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}=B{{C}^{2}}\)
Suy ra tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\,\,\Rightarrow \,\,\widehat{ABC}={{45}^{0}}.\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vectơ \(\overrightarrow a = \left( {2; - 2; - 4} \right)\); \(\overrightarrow b = \left( {1; - 1;1} \right)\). Mệnh đề nào dưới đây sai
\(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {2 + 1; - 2 - 1; - 4 + 1} \right) = \left( {3; - 3; - 3} \right)\) nên A đúng.
\(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 2.1 + \left( { - 2} \right).\left( { - 1} \right) + \left( { - 4} \right).1 = 0\) nên \(\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \) hay B đúng.
\(\left| {\overrightarrow b } \right| = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} = \sqrt 3 \) nên C đúng.
Vì \(\dfrac{2}{1} = \dfrac{{ - 2}}{{ - 1}} \ne \dfrac{{ - 4}}{1}\) nên \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) không cùng phương hay D sai.
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho ba vectơ \(\vec{a}=\left( -\,1;1;0 \right),\,\,\vec{b}=\left( 1;1;0 \right),\,\,\vec{c}=\left( 1;1;1 \right).\) Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ?
Ta có \(\vec{a}.\vec{b}=\left( -\,1 \right).1+1.1+0.0=0\Rightarrow \vec{a}\bot \vec{b}\Rightarrow A\) đúng.
\(\vec{c}=\left( 1;1;1 \right)\Rightarrow \left| {\vec{c}} \right|=\sqrt{{{1}^{2}}+{{1}^{2}}+{{1}^{2}}}=\sqrt{3}\Rightarrow B\) đúng.
Lại có \(\vec{a}=\left( -\,1;1;0 \right)\Rightarrow \left| {\vec{a}} \right|=\sqrt{{{\left( -\,1 \right)}^{2}}+{{1}^{2}}+{{0}^{2}}}=\sqrt{2}\Rightarrow C\) đúng
Và \(\vec{c}.\vec{b}=1.1+1.1+0.1=2\ne 0\) suy ra hai vectơ \(\vec{c},\,\,\vec{b}\) không vuông góc \(\Rightarrow D\) sai.
Cho các vector \(\overrightarrow{a}=\left( 1;2;3 \right);\overrightarrow{b}=\left( -2;4;1 \right);\) \(\overrightarrow{c}=\left( -1;3;4 \right)\). Vector \(\overrightarrow{v}=2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}+5\overrightarrow{c}\) là:
\(\overrightarrow{v}=2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}+5\overrightarrow{c}\) \(=\left( 2.1-3.(-2)+5.(-1);2.2-3.4+5.3;2.3-3.1+5.4 \right)\) \(=\left( 3;7;23 \right)\)
Trong không gian với hệ tọa độ \(\left( O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k} \right)\), cho hai vecto \(\overrightarrow{a}=(2;-1;4),\,\,\overrightarrow{b}=\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{k}\). Tính \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\).
\(\,\overrightarrow{b}=\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{k}\Rightarrow \overrightarrow{b}=\left( 1;0;-3 \right)\)
Khi đó, \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=2.1+(-1).0+4.(-3)=-10\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vector \(\overrightarrow{u}=\left( x;2;1 \right)\) và vector \(\overrightarrow{v}=\left( 1;-1;2x \right)\). Tính tích vô hướng của \(\overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{v}\).
\(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=x.1+2.\left( -1 \right)+1.2x=3x-2\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow{a}=\left( 3;-2;1 \right),\overrightarrow{b}=\left( -2;-1;1 \right)\). Tính \(P=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\) ?
\(P=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=3.\left( -2 \right)+\left( -2 \right).\left( -1 \right)+1.1=-3\)
Trong không gian \(Oxyz\,\)cho vectơ \(\overrightarrow{a}\left( 2;-2;4 \right)\) và \(\overrightarrow{b}=2\overrightarrow{a}\) có tọa độ là:
\(\overrightarrow{a}\left( 2;-2;4 \right)\) và \(\overrightarrow{b}=2\overrightarrow{a}\Rightarrow \overrightarrow{b}\left( 4;-4;8 \right)\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vectơ \(\overrightarrow a = \left( {1; - 2;0} \right)\) và \(\overrightarrow b = 2\overrightarrow a \). Tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow b \)
\(\overrightarrow b = 2\overrightarrow a = \left( {2; - 4;0} \right)\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow{a}=(2;-3;-1)\)và \(\overrightarrow{b}=(-1;0;4)\). Tìm tọa độ vectơ \(\overrightarrow{u}=4\overrightarrow{a}-5\overrightarrow{b}\).
\(\overrightarrow{a}=(2;-3;-1)\), \(\overrightarrow{b}=(-1;0;4)\) \(\overrightarrow{u}=4\overrightarrow{a}-5\overrightarrow{b}\Rightarrow \overrightarrow{u}=\left( 4.2-5.(-1);\,\,\,\,4.(-3)-5.0;\,\,\,4.(-1)-5.4 \right)\Rightarrow \overrightarrow{u}=(13;-12;-24)\)
Trong không gian Oxyz, cho vectơ \(\overrightarrow{a}\) biểu diễn của các vectơ đơn vị là \(\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{i}+\overrightarrow{k}-3\overrightarrow{j}\). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{a}\) là
\(\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{i}+\overrightarrow{k}-3\overrightarrow{j}=2\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}\Rightarrow \overrightarrow{a}\left( 2;-3;1 \right)\)
Tọa độ véc tơ \(\overrightarrow u \) thỏa mãn \(\overrightarrow u = x.\overrightarrow i + y.\overrightarrow j + z.\overrightarrow k \) là:
\(\overrightarrow u = x.\overrightarrow i + y.\overrightarrow j + z.\overrightarrow k \) thì \(\overrightarrow u = \left( {x;y;z} \right)\)
Véc tơ \(\overrightarrow u = - \overrightarrow i + \overrightarrow k \) có tọa độ là:
\(\overrightarrow u = - \overrightarrow i + \overrightarrow k = - 1.\overrightarrow i + 0.\overrightarrow j + 1.\overrightarrow k \Rightarrow \overrightarrow u \left( { - 1;0;1} \right)\)
Cho các véc tơ \(\overrightarrow {{u_1}} \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_2}} \left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\). Khi đó, nếu \(\overrightarrow {{u_1}} = \overrightarrow {{u_2}} \) thì:
Nếu \(\overrightarrow {{u_1}} = \overrightarrow {{u_2}} \) thì \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = {x_2}\\{y_1} = {y_2}\\{z_1} = {z_2}\end{array} \right.\) nên đáp án D đúng.
Cho hai véc tơ \(\overrightarrow u = \left( {a;0;1} \right),\overrightarrow v = \left( { - 2;0;c} \right)\). Biết \(\overrightarrow u = \overrightarrow v \), khi đó:
\(\overrightarrow u = \overrightarrow v \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\0 = 0\\1 = c\end{array} \right.\)
Cho hai véc tơ \(\overrightarrow {{u_1}} \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_2}} \left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\). Khi đó, tọa độ véc tơ \(\overrightarrow {{u_1}} - \overrightarrow {{u_2}} \) là:
Ta có: \(\overrightarrow {{u_1}} - \overrightarrow {{u_2}} = \left( {{x_1} - {x_2};{y_1} - {y_2};{z_1} - {z_2}} \right)\)
