Hệ tọa độ trong không gian (phương trình mặt cầu)

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC và AD

\( \Rightarrow M\left( {1;\dfrac{3}{2};1} \right),N\left( {1;1;\dfrac{3}{2}} \right),P\left( {\dfrac{3}{2};\dfrac{3}{2};1} \right)\)

\(\overrightarrow {AB}  = \left( {0;1;0} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( {0;0;1} \right),\) \(\overrightarrow {AD}  = \left( {1;1;0} \right)\)

Mặt phẳng trung trực của AB: \(0.\left( {x - 1} \right) + 1.\left( {y - \dfrac{3}{2}} \right) + 0.\left( {z - 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow y = \dfrac{3}{2}\)

Mặt phẳng trung trực của AC: \(0.\left( {x - 1} \right) + 0.\left( {y - 1} \right) + 1.\left( {z - \dfrac{3}{2}} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow z = \dfrac{3}{2}\)

Mặt phẳng trung trực của AD:

\(\begin{array}{l}1.\left( {x - \dfrac{3}{2}} \right) + 1.\left( {y - \dfrac{3}{2}} \right) + 0.\left( {z - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x + y = 3\end{array}\)

Vậy I là giao điểm của 3 mặt phẳng trên tức là tọa độ của I thỏa mãn hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{3}{2}\\z = \dfrac{3}{2}\\x + y = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = z = \dfrac{3}{2}\)

Mặt cầu tâm \(I\left( {0;1; - 2} \right)\), bán kính \(R = 3\) có phương trình \({x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 9\).

Xét đáp án A có \( - 10xy\) nên không phải phương trình mặt cầu.

Xét đáp án B, ta có  

$3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} - 2x - 6y + 4z - 1 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - \dfrac{2}{3}x - 2y + \dfrac{4}{3}z - \dfrac{1}{3} = 0$

Khi đó \(a = \dfrac{1}{3},b = 1,c =  - \dfrac{2}{3},d =  - \dfrac{1}{3}\)nên \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = \dfrac{1}{3} + {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^2} + {1^2} + {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^2} > 0\).

Vậy phương trình ở đáp án B là phương trình mặt cầu.

Dễ dàng kiểm tra được phương trình ở đáp án C, D không phải phương trình mặt cầu.

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;2;3} \right)\), bán kính \(R = 3\).

Xét điểm \(P\left( { - 1;6; - 1} \right)\), ta có \(\overrightarrow {IP}  = \left( { - 2;4; - 4} \right)\). Suy ra \(IP = \sqrt {4 + 16 + 16}  = 6 > R\).

Do đó điểm \(P\) nằm ngoài mặt cầu \(\left( S \right)\).

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {3;2;1} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {14} \).

Xét điểm \(M\left( {0;1; - 1} \right)\), ta có \(\overrightarrow {IM}  = \left( { - 3; - 1; - 2} \right)\). Suy ra \(IM = \sqrt {9 + 1 + 4}  = \sqrt {14}  = R\).

Do đó điểm \(M\) thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\).

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {0;1;2} \right)\), bán kính \(R = 5\).

Xét điểm \(Q\), ta có \(\overrightarrow {IQ}  = \left( {1;2; - 2} \right)\). Suy ra \(IQ = \sqrt {1 + 4 + 4}  = 3 < R\).

Do đó điểm \(Q\) nằm bên trong mặt cầu \(\left( S \right)\).

Bán kính $R = d\left[ {I,Ox} \right] = \sqrt {y_I^2 + z_I^2}  = 5$.

Mặt cầu \(\left( S \right):\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2y + 2z - 7 = 0\) có các hệ số \(a = 0;\,\,b = 1;\,\,c =  - 1;\,\,d =  - 7\).

Bán kính của mặt cầu \(\left( S \right)\) là \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d}  = \sqrt {{0^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} - \left( { - 7} \right)}  = \sqrt 9  = 3\).

Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( { - 1;3;0} \right)\) và bán kính bằng \(2\) là: \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {z^2} = 4\)

Mặt cầu tâm \(I\left( {1; - 4;0} \right)\), bán kính \(R = 3\) có phương trình \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} + {z^2} = 9\).

Phương trình \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2x-4y-2z-3=0\) có \(a=-1;b=2;c=1;d=-3\)

Và \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d=1+4+1+3=9>0\) nên bán kính mặt cầu là \(R=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d}=\sqrt{9}=3\).

Mặt cầu có phương trình \({{(x-1)}^{2}}+{{(y+3)}^{2}}+{{z}^{2}}=9\) có tâm \(I(1;-3;0)\) và bán kính \(R\)= 3.

Ta có \(\left( S \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=8\) có tâm \(I\left( 3;-\,1;-\,2 \right),\) bán kính \(R=2\sqrt{2}.\)

Mặt cầu \(\left( S \right):{{(x-5)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+{{(z+2)}^{2}}=16\) có bán kính R = 4.

Mặt cầu đã cho có tâm \(I\left( {1; - 2;3} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {3^2} - 9}  = \sqrt 5 \).

Phương trình mặt cầu cần tìm là \({{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=16.\)

Để phương trình \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+4x-2y+2z+m=0\) là phương trình mặt cầu thì \({{(-2)}^{2}}+{{1}^{2}}+{{(-1)}^{2}}-m>0\Leftrightarrow m<6\)

Mặt cầu tâm \(I\left( {1;0; - 1} \right)\), bán kính \(R\) có phương trình \({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = {R^2}\).

Điểm \(A\left( {2;2; - 3} \right) \in \left( S \right) \Leftrightarrow {\left( {2 - 1} \right)^2} + {2^2} + {\left( { - 3 + 1} \right)^2} = {R^2} \Leftrightarrow R = 3\).

Vậy phương trình mặt cầu là \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9\).

Ta có bán kính mặt cầu \(R = IA = \sqrt {{{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - 1} \right)}^2} + {{\left( {3 - 1} \right)}^2}}  = \sqrt 5 \)

Phương trình mặt cầu tâm  \(I\left( {1;1;1} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt 5 \) là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 5\)

Mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y - 4z - 19 = 0\) có bán kính \(R = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2} - \left( { - 19} \right)}  = \sqrt {25}  = 5\).