Hệ tọa độ trong không gian (phương trình mặt cầu)

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC và AD

$\Rightarrow M\left( {1;\dfrac{3}{2};1} \right),N\left( {1;1;\dfrac{3}{2}} \right),P\left( {\dfrac{3}{2};\dfrac{3}{2};1} \right)$

$\overrightarrow {AB}  = \left( {0;1;0} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( {0;0;1} \right),$ $\overrightarrow {AD}  = \left( {1;1;0} \right)$

Mặt phẳng trung trực của AB: $0.\left( {x - 1} \right) + 1.\left( {y - \dfrac{3}{2}} \right) + 0.\left( {z - 1} \right) = 0$ $\Leftrightarrow y = \dfrac{3}{2}$

Mặt phẳng trung trực của AC: $0.\left( {x - 1} \right) + 0.\left( {y - 1} \right) + 1.\left( {z - \dfrac{3}{2}} \right) = 0$ $\Leftrightarrow z = \dfrac{3}{2}$

Mặt phẳng trung trực của AD:

$\begin{array}{l}1.\left( {x - \dfrac{3}{2}} \right) + 1.\left( {y - \dfrac{3}{2}} \right) + 0.\left( {z - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x + y = 3\end{array}$

Vậy I là giao điểm của 3 mặt phẳng trên tức là tọa độ của I thỏa mãn hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{3}{2}\\z = \dfrac{3}{2}\\x + y = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = z = \dfrac{3}{2}$

Mặt cầu tâm $I\left( {0;1; - 2} \right)$, bán kính $R = 3$ có phương trình ${x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 9$.

Xét đáp án A có $- 10xy$ nên không phải phương trình mặt cầu.

Xét đáp án B, ta có  

$3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} - 2x - 6y + 4z - 1 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - \dfrac{2}{3}x - 2y + \dfrac{4}{3}z - \dfrac{1}{3} = 0$

Khi đó $a = \dfrac{1}{3},b = 1,c =  - \dfrac{2}{3},d =  - \dfrac{1}{3}$nên ${a^2} + {b^2} + {c^2} - d = \dfrac{1}{3} + {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^2} + {1^2} + {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^2} > 0$.

Vậy phương trình ở đáp án B là phương trình mặt cầu.

Dễ dàng kiểm tra được phương trình ở đáp án C, D không phải phương trình mặt cầu.

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {1;2;3} \right)$, bán kính $R = 3$.

Xét điểm $P\left( { - 1;6; - 1} \right)$, ta có $\overrightarrow {IP}  = \left( { - 2;4; - 4} \right)$. Suy ra $IP = \sqrt {4 + 16 + 16}  = 6 > R$.

Do đó điểm $P$ nằm ngoài mặt cầu $\left( S \right)$.

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {3;2;1} \right)$, bán kính $R = \sqrt {14}$.

Xét điểm $M\left( {0;1; - 1} \right)$, ta có $\overrightarrow {IM}  = \left( { - 3; - 1; - 2} \right)$. Suy ra $IM = \sqrt {9 + 1 + 4}  = \sqrt {14}  = R$.

Do đó điểm $M$ thuộc mặt cầu $\left( S \right)$.

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {0;1;2} \right)$, bán kính $R = 5$.

Xét điểm $Q$, ta có $\overrightarrow {IQ}  = \left( {1;2; - 2} \right)$. Suy ra $IQ = \sqrt {1 + 4 + 4}  = 3 < R$.

Do đó điểm $Q$ nằm bên trong mặt cầu $\left( S \right)$.

Bán kính $R = d\left[ {I,Ox} \right] = \sqrt {y_I^2 + z_I^2}  = 5$.

Mặt cầu $\left( S \right):\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2y + 2z - 7 = 0$ có các hệ số $a = 0;\,\,b = 1;\,\,c =  - 1;\,\,d =  - 7$.

Bán kính của mặt cầu $\left( S \right)$ là $R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d}  = \sqrt {{0^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} - \left( { - 7} \right)}  = \sqrt 9  = 3$.

Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( { - 1;3;0} \right)$ và bán kính bằng $2$ là: ${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {z^2} = 4$

Mặt cầu tâm $I\left( {1; - 4;0} \right)$, bán kính $R = 3$ có phương trình ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} + {z^2} = 9$.

Phương trình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2x-4y-2z-3=0$ có $a=-1;b=2;c=1;d=-3$

Và ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d=1+4+1+3=9>0$ nên bán kính mặt cầu là $R=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d}=\sqrt{9}=3$.

Mặt cầu có phương trình ${{(x-1)}^{2}}+{{(y+3)}^{2}}+{{z}^{2}}=9$ có tâm $I(1;-3;0)$ và bán kính $R$= 3.

Ta có $\left( S \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=8$ có tâm $I\left( 3;-\,1;-\,2 \right),$ bán kính $R=2\sqrt{2}.$

Mặt cầu $\left( S \right):{{(x-5)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+{{(z+2)}^{2}}=16$ có bán kính R = 4.

Mặt cầu đã cho có tâm $I\left( {1; - 2;3} \right)$ và bán kính $R = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {3^2} - 9}  = \sqrt 5$.

Phương trình mặt cầu cần tìm là ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=16.$

Để phương trình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+4x-2y+2z+m=0$ là phương trình mặt cầu thì ${{(-2)}^{2}}+{{1}^{2}}+{{(-1)}^{2}}-m>0\Leftrightarrow m<6$

Mặt cầu tâm $I\left( {1;0; - 1} \right)$, bán kính $R$ có phương trình ${\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = {R^2}$.

Điểm $A\left( {2;2; - 3} \right) \in \left( S \right) \Leftrightarrow {\left( {2 - 1} \right)^2} + {2^2} + {\left( { - 3 + 1} \right)^2} = {R^2} \Leftrightarrow R = 3$.

Vậy phương trình mặt cầu là $\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9$.

Ta có bán kính mặt cầu $R = IA = \sqrt {{{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - 1} \right)}^2} + {{\left( {3 - 1} \right)}^2}}  = \sqrt 5$

Phương trình mặt cầu tâm  $I\left( {1;1;1} \right)$ và bán kính $R = \sqrt 5$ là ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 5$

Mặt cầu $\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y - 4z - 19 = 0$ có bán kính $R = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2} - \left( { - 19} \right)}  = \sqrt {25}  = 5$.