Mặt cầu đi qua các đỉnh của một hình đa diện thì nó được gọi là:
Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện nếu nó đi qua mọi đỉnh của đa diện.
Hình chóp tứ giác đều có trục đa giác đáy là đường thẳng
Hình chóp tứ giác đều có trục đa giác đáy chính là đường thẳng vuông góc với đáy tại tâm hình vuông.
Mọi điểm thuộc đường thẳng này đều cách đều bốn đỉnh hình vuông nên đỉnh hình chóp cũng thuộc đường thẳng này.
Do đó trục đa giác đáy của hình chóp tứ giác đều là đường thẳng đi qua đỉnh và tâm đáy.
Cho \(\left( P \right)\) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(AB\), \(M \in \left( P \right)\). Chọn kết luận đúng”
Do \(M \in \left( P \right)\) là mặt phẳng trung trực của \(AB\) nên \(MA = MB\).
Hình lập phương có mấy mặt cầu ngoại tiếp?
Hình lập phương chỉ có \(1\) mặt cầu ngoại tiếp là mặt cầu có tâm là tâm hình lập phương và bán kính bằng nửa độ dài đường chéo chính.
Hình chóp nào sau đây luôn nội tiếp được mặt cầu?
Trong các hình chóp ở mỗi đáp án đưa ra thì chỉ có hình chóp có đáy là hình chữ nhật thì luôn nội tiếp được mặt cầu.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = 2a, AC = a. Mặt bên (SAB), (SCA) lần lượt là các tam giác vuông tại B và C. Biết rằng thể tích khối chóp S.ABC bằng $\dfrac{2}{3}{a^3}$. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là:
Gọi I là trung điểm của SA.
Vì tam giác SAB vuông tại B nên IA = IB = IS
Vì tam giác SAC vuông tại C nên IA = IS = IC.
Do đó IA = IB = IC = IS nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC
Gọi D là trung điểm của BC ta có D là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC $ \Rightarrow ID \bot \left( {ABC} \right)$
$\begin{array}{*{20}{l}}{\rm{\;}}&{ \Rightarrow {V_{S.ABC}} = 2{V_{I.ABC}} = \dfrac{2}{3}ID.{S_{ABC}} \Rightarrow ID = \dfrac{{3{V_{S.ABC}}}}{{2{S_{ABC}}}} = \dfrac{{2{a^3}}}{{2{a^2}}} = a}\\{{\rm{ \;}}}&{AD = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}}\\{{\rm{ \;}}}&{ \Rightarrow AI = \sqrt {A{D^2} + I{D^2}} = \dfrac{{3a}}{2} = R}\end{array}$
Hình lập phương có độ dài cạnh \(a = 6\) thì đường kính mặt cầu ngoại tiếp là:
Đường kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh \(a\) là \(D = 2R = a\sqrt 3 = 6\sqrt 3 \)
Cho một mặt cầu bán kính bằng $2$. Xét các hình chóp tam giác đều ngoại tiếp mặt cầu trên. Hỏi thể tích nhỏ nhất của chúng bằng bao nhiêu?
Áp dụng các công thức trong tứ diện đều cạnh $a$
Bán kính mặt cầu nội tiếp $r = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{{12}} = 2 \Rightarrow a = 4\sqrt 6 $
Thể tích tứ diện đều đó là $V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}} = \dfrac{{{{\left( {4\sqrt 6 } \right)}^3}.\sqrt 2 }}{{12}} = 64\sqrt 3 $
Thể tích \(V\) của khối cầu bán kính \(r\) được tính theo công thức nào dưới đây?
Công thức thể khối cầu bán kính \(r\) là: \(V = \dfrac{4}{3}\pi {r^3}\)
Người ta muốn làm giá đỡ cho quả cầu bằng ngọc có bán kính \(r\) sao cho phần quả cầu bị khuất chiếm \(\dfrac{1}{6}\) quả cầu theo chiều cao của nó. Biết giá đỡ hình trụ và rỗng phía trong, tính bán kính mặt trong của giá đỡ.
Bước 1: Vẽ hình minh họa cho vật thể.
Giả sử ta có mặt cắt qua trục của vật thể như hình vẽ.
Chiều cao của hình cầu là đường kính.
=> Phần khuất cao \(\dfrac{1}{6}2r = \dfrac{r}{3}\).
Bước 2: Tính khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng cắt và bán kính mặt trong của giá đỡ.
Suy ra \(OH = \dfrac{{2r}}{3}\).
Bán kính mặt trong của giá đỡ bằng bán kính đường tròn giao tuyến.
Vậy \({r^\prime } = \sqrt {{r^2} - {{\left( {\dfrac{{2r}}{3}} \right)}^2}} = \dfrac{{r\sqrt 5 }}{3}\).
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\), \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(AB = 2,AC = 4,SA = \sqrt 5 \). Mặt cầu đi qua các đỉnh của hình chóp \(S.ABC\) có bán kính là
Xét tam giác vuông \(ABC\) ta có \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{2^2} + {4^2}} = 2\sqrt 5 \).
Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) nên nội tiếp đường tròn đường kính \(BC\).
Gọi \({R_{day}}\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC \Rightarrow {R_{day}} = \dfrac{{BC}}{2} = \sqrt 5 \).
Sử dụng công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) :
\(R = \sqrt {\dfrac{{S{A^2}}}{4} + R_{day}^2} = \sqrt {\dfrac{5}{4} + 5} = \dfrac{5}{2}\).
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 103
Diện tích \(S\) của mặt cầu bán kính \(R\) được tính theo công thức nào sau đây?
Diện tích \(S\) của mặt cầu bán kính \(R\) là \(S = 4\pi {R^2}\).
Một mặt cầu có tâm \(O\) nằm trên mặt phẳng đáy của hình chóp tam giác đều $S . A B C$ có tất cả các cạnh bằng nhau, các điểm $A, B, C$ thuộc mặt cầu. Biết bán kính mặt cầu là 1. Tính tổng độ dài \(l\) các giao tuyến của mặt cầu với các mặt bên của hình chóp. Khi đó $l$ thỏa mãn:
Gọi \(D\) là trung điểm $A B$. Kẻ $O I$ vuông góc $S D$. Khi đó \(OI \bot (SAB)\).
Suy ra \(I\) là tâm của đường tròn giao tuyến của mặt cầu đã cho và \((SAB)\)
Gọi $M, N$ lần lượt là giao điểm của đường tròn giao tuyến đó với $S B, S A$.
Gọi \(K\) là trung điểm \(MB \Rightarrow IK \bot SB\).
Đặt \(AB = a > 0\). Ta có \(OA = OB = OC = 1\).
Ta lại có: \(OA = OB = OC = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\) nên suy ra \(a = \sqrt 3 \).
Ta dễ dàng tính được \(SD = CD = \dfrac{3}{2},OD = \dfrac{1}{2},SO = \sqrt 2 ,OI = \dfrac{{\sqrt 2 }}{3},ID = \dfrac{1}{6}\) và SI \( = \dfrac{4}{3}\).
Gọi \(r\) là bán kính đường tròn giao tuyến. Khi đó \(r = \sqrt {1 - O{I^2}} = \dfrac{{\sqrt 7 }}{3}\).
Tam giác $S I K$ vuông tại \(K\) và \(\widehat {ISK} = {30^0 }\), suy ra \(IK = \dfrac{1}{2}IS = \dfrac{2}{3}\).
Tam giác $M I K$ có \(\cos I = \dfrac{{IK}}{{IM}} = \dfrac{{2\sqrt 7 }}{7}\),
Suy ra \(\hat I = \arccos \dfrac{{2\sqrt 7 }}{7} = \alpha \), suy ra \(\widehat {MIN} = 2\widehat {SIM} = 2\left( {\dfrac{\pi }{3} - \alpha } \right)\)
Khi đó, chiều dài cung $M N$ bằng \({l_1} = 2\left( {\dfrac{\pi }{3} - \alpha } \right)\dfrac{{\sqrt 7 }}{3}\) và \(l = 3{l_1} = 2\left( {\dfrac{\pi }{3} - \alpha } \right)\sqrt 7 \approx 1,77\).
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\), \(AB = a\sqrt 3 \), \(BC = 2a\), đường thẳng \(AC'\) tạo với mặt phẳng \(\left( {BCC'B'} \right)\) một góc \(30^\circ \). Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho bằng
Trong mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) kẻ \(AH \bot BC\left( {H \in BC} \right)\).
Lại có \(AH \bot BB'\) (do \(BB \bot \left( {ABC} \right)\) suy ra \(AH \bot \left( {BCC'B'} \right)\).
Suy ra \(\widehat {\left( {AC',\left( {BCC'B'} \right)} \right)} = \widehat {AC'H} = {30^0}\).
Ta có: \(AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = a,AH = \dfrac{{AB.AC}}{{BC}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
\(AC' = \dfrac{{AH}}{{\sin \widehat {AC'H}}} = a\sqrt 3 \) \( \Rightarrow CC' = \sqrt {AC{'^2} - A{C^2}} = a\sqrt 2 \).
Gọi \(R\) là bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ, khi đó \(R = \sqrt {{r^2} + \dfrac{{{h^2}}}{4}} \) với \(r = \dfrac{{BC}}{2} = a\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông \(ABC\) và \(h = CC' = a\sqrt 2 \)
Do đó \(R = \sqrt {{a^2} + \dfrac{{{a^2}}}{2}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2} \Rightarrow S = 4\pi {R^2} = 4\pi .\dfrac{{6{a^2}}}{4} = 6\pi {a^2}\).
Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB = a,AD = 2a,AA' = 3a\). Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) là
Bán kính khối cầu ngoại tiếp hình hộp: \(R = \dfrac{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}{2} = \dfrac{{\sqrt {{a^2} + 4{a^2} + 9{a^2}} }}{2} = \dfrac{{a\sqrt {14} }}{2}\).
Thể tích khối cầu: \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3} = \dfrac{4}{3}\pi .{\left( {\dfrac{{a\sqrt {14} }}{2}} \right)^3} = \dfrac{{7\sqrt {14} \pi {a^3}}}{3}\).
Thể tích của khối cầu bán kính \(a\) bằng
Thể tích khối cầu bán kính \(R = a\) là \(V = \dfrac{4}{3}\pi {a^3}\)
Đề thi THPT QG – 2021 lần 1– mã 104
Diện tích \(S\) của mặt cầu bán kính \(R\) được tính theo công thức nào dưới đây?
Ta có: \(S = 4\pi {R^2}\)
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Diện tích \(S\) của mặt cầu bán kính \(R\) được tính theo công thức nào dưới đây?
Diện tích \(S\) của mặt cầu bán kính \(R\) là \(S = 4\pi {R^2}\).
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 102
Diện tích \(S\) của mặt cầu bán kính \(R\) được tính theo công thức nào dưới đây?
Ta có: \(S = 4\pi {R^2}\)
Cho hình chóp đều \(S.ABC\) có chiều cao bằng \(h\) và cạnh bên bằng \(b\). Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng
Gọi \(E\) là tâm tam giác đều \(ABC\) \( \Rightarrow SE \bot \left( {ABC} \right)\) và \(SE\) là trục của \(\left( {ABC} \right)\).
Gọi \(F\) là trung điểm của \(SA\). Trong \(\left( {SAE} \right)\), từ \(F\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(SA\) và cắt \(SE\) tại \(G\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}G \in SE \Rightarrow GA = GB = GC\\G \in GF \Rightarrow GS = GA\end{array} \right.\) \( \Rightarrow GA = GB = GC = GS\), do đó \(G\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp \(S.ABC\).
Xét \(\Delta SFG\) và \(\Delta SEA\) có: \(\angle ASE\) chung, \(\angle SFG = \angle SEA = {90^0}\).
\( \Rightarrow \Delta SFG \sim \Delta SEA\,\,\left( {g.g} \right)\) \( \Rightarrow \dfrac{{SF}}{{SE}} = \dfrac{{SG}}{{SA}}\) \( \Rightarrow SG = \dfrac{{SA.SF}}{{SE}} = \dfrac{{b.\dfrac{b}{2}}}{h} = \dfrac{{{b^2}}}{{2h}}\).
Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp \(S.ABC\) là \(R = SG = \dfrac{{{b^2}}}{{2h}}\).