Một mặt cầu có tâm \(O\) nằm trên mặt phẳng đáy của hình chóp tam giác đều $S . A B C$ có tất cả các cạnh bằng nhau, các điểm $A, B, C$ thuộc mặt cầu. Biết bán kính mặt cầu là 1. Tính tổng độ dài \(l\) các giao tuyến của mặt cầu với các mặt bên của hình chóp. Khi đó $l$ thỏa mãn:

Gọi \(D\) là trung điểm $A B$. Kẻ $O I$ vuông góc $S D$. Khi đó \(OI \bot (SAB)\).

Suy ra \(I\) là tâm của đường tròn giao tuyến của mặt cầu đã cho và \((SAB)\)

Gọi $M, N$ lần lượt là giao điểm của đường tròn giao tuyến đó với $S B, S A$.

Gọi \(K\) là trung điểm \(MB \Rightarrow IK \bot SB\).

Đặt \(AB = a > 0\). Ta có \(OA = OB = OC = 1\).

Ta lại có: \(OA = OB = OC = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\) nên suy ra \(a = \sqrt 3 \).

Ta dễ dàng tính được \(SD = CD = \dfrac{3}{2},OD = \dfrac{1}{2},SO = \sqrt 2 ,OI = \dfrac{{\sqrt 2 }}{3},ID = \dfrac{1}{6}\) và SI \( = \dfrac{4}{3}\).

Gọi \(r\) là bán kính đường tròn giao tuyến. Khi đó \(r = \sqrt {1 - O{I^2}}  = \dfrac{{\sqrt 7 }}{3}\).

Tam giác $S I K$ vuông tại \(K\) và \(\widehat {ISK} = {30^0 }\), suy ra \(IK = \dfrac{1}{2}IS = \dfrac{2}{3}\).

Tam giác $M I K$ có \(\cos I = \dfrac{{IK}}{{IM}} = \dfrac{{2\sqrt 7 }}{7}\),

Suy ra \(\hat I = \arccos \dfrac{{2\sqrt 7 }}{7} = \alpha \), suy ra \(\widehat {MIN} = 2\widehat {SIM} = 2\left( {\dfrac{\pi }{3} - \alpha } \right)\)

Khi đó, chiều dài cung $M N$ bằng \({l_1} = 2\left( {\dfrac{\pi }{3} - \alpha } \right)\dfrac{{\sqrt 7 }}{3}\) và \(l = 3{l_1} = 2\left( {\dfrac{\pi }{3} - \alpha } \right)\sqrt 7  \approx 1,77\).