Khái niệm về mặt tròn xoay (mặt trụ)

Ta có: $BC = \sqrt {A{C^2} - A{B^2}}  = \sqrt {25{a^2} - 16{a^2}}  = 3a$ (Định lí Pytago)

Do đó khối trụ có bán kính đáy $r = \dfrac{{AB}}{2} = 2a$, chiều cao $h = AC = 3a$.

$\Rightarrow {V_{tru}} = \pi .{r^2}h = \pi {\left( {2a} \right)^2}.3a = 12\pi {a^3}$.

Giả sử chiều cao của khối trụ là $OH = h(0 \le h \le 3\sqrt 2 a)$.

Ta có $OM = R = 3\sqrt 2 a,HM = \sqrt {18{a^2} - {h^2}}$.

Vậy ${V_{{\rm{tr }}}} = \pi {\left( {\sqrt {18{a^2} - {h^2}} } \right)^2}.h = \pi \left( {18{a^2} - {h^2}} \right).h$.

Xét hàm số $y = \pi \left( {18{a^2} - {h^2}} \right)h$ trên đoạn $[0;3\sqrt 2 a]$

$\Rightarrow {y^\prime } = \pi \left( {18{a^2} - 3{h^2}} \right)$

$\Rightarrow {y^\prime } = 0 \Leftrightarrow h = \sqrt 6 a$.

Ta có $y(\sqrt 6 a) = 12\sqrt 6 {a^3}\pi ,$$y(0) = 0,$$y(3\sqrt 2 a) = 0$.

Vậy ${V_{{\rm{tr }}}}$ lớn nhất khi $h = \sqrt 6 a$=> m=1; n=6

$\Rightarrow m + n = 1 + 6 = 7$.

Công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ là ${S_{xq}} = 2\pi rl$

Vì chỗ ghép mất 2cm nên chu vi đáy của chiếc thùng là 98-2=96(cm)

Gọi $r$ là bán kính đáy, khi đó:

$2\pi r = 96 \Rightarrow r = \dfrac{{48}}{\pi }\left( {cm} \right)$

Thể tích của chiếc thùng là: $V = \pi {r^2}h = \pi .{\left( {\dfrac{{48}}{\pi }} \right)^2}.30 = \dfrac{{69120}}{\pi }$ $\approx 22002c{m^3} \approx 22d{m^3} \approx 22$ (lít)

Ta có: ${S_{xq}} = 2\pi rh \Leftrightarrow h = \dfrac{{{S_{xq}}}}{{2\pi r}}$

Ta có: ${S_{tp}} = {S_{xq}} + 2{S_d} = 2\pi rh + 2\pi {r^2} = 2\pi r\left( {h + r} \right) = {C_d}.\left( {h + r} \right)$

Dó đó công thức ở đáp án D là sai.

Ta có: $V = \pi {r^2}h = {S_d}.h \Rightarrow h = \dfrac{V}{{{S_d}}}$

$V = \pi {r^2}h = \pi {.2^2}.3 = 12\pi$.

Dựng hình lăng trụ (như hình vẽ).

$\begin{array}{l}{V_{ABEF}} = \dfrac{1}{2}{V_{F.AEMB}} = \dfrac{1}{2}\left( {{V_{AEN.BMF}} - {V_{F.AEN}}} \right) = \dfrac{1}{2}.\left( {{V_{AEN.BMF}} - \dfrac{1}{3}{V_{AEN.BMF}}} \right)\\ = \dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}{V_{AEN.BMF}} = \dfrac{1}{3}{V_{AEN.BMF}}\end{array}$

$\Delta AEN$ vuông tại E có $AN = 2R = \dfrac{{AD}}{\pi } = \dfrac{6}{\pi }$

Số đo góc $\widehat {ANE} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3}{.360^0} = {60^0}$ (do )

$\Rightarrow \Delta AEN$ là một nửa tam giác đều cạnh $\dfrac{6}{\pi } \Rightarrow {S_{\Delta AEN}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{{{\left( {\dfrac{6}{\pi }} \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{9\sqrt 3 }}{{2{\pi ^2}}}$

$\Rightarrow {V_{AEN.BMF}} = 3.\dfrac{{9\sqrt 3 }}{{2{\pi ^2}}} = \dfrac{{27\sqrt 3 }}{{2{\pi ^2}}} \Rightarrow {V_{ABEF}} = \dfrac{{9\sqrt 3 }}{{2{\pi ^2}}}$.

Gọi chiều cao của bể nước là $h\,\,\left( m \right)\,\,\left( {h > 0} \right)$.

Thể tích 2 bể nước là: $V = \pi {.1^2}.h + \pi .1,{5^2}.h = 3,25\pi h\,\,\left( {{m^3}} \right)$.

Gọi bán kính bể nước mới là $r\,\,\left( m \right)\,\,\left( {r > 0} \right)$.

Thể tích của 1 bế nước mới là $V' = \pi .{r^2}h$.

Vì bể nước mới có thể tích bằng tổng thể tích của hai bể nước trên nên $V = V'$.

$\Leftrightarrow 3,25\pi h = \pi {r^2}h \Leftrightarrow {r^2} = 3,25 \Leftrightarrow r \approx 1,8\,\,\left( m \right)$.

Diện tích xung quanh của hình trụ này bằng ${S_{xq}} = 2\pi rh = 2\pi .2.3 = 12\pi$.

Giả sử thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông $ABCD$ như hình vẽ, khi đó khối trụ đã cho có chiều cao $h = AD = a$, bán kính đáy $r = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{a}{2}$.

Khi đó thể tích khối trụ là $V = \pi {r^2}h = \pi {\left( {\dfrac{a}{2}} \right)^2}.a = \dfrac{{\pi {a^3}}}{4}.$

Giả sử cắt hình trụ đã cho bởi mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng $1$, ta được thiết diện là hình chữ nhật $ABCD$ như hình vẽ.

Gọi $H$ là trung điểm của $AB$ ta có $\left\{ \begin{array}{l}OH \bot AB\\OH \bot AD\,\,\left( {AD \bot day} \right)\end{array} \right. \Rightarrow OH \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow OH = 1$.

Hình trụ có chiều cao bằng $3\sqrt 3$ (gt) $\Rightarrow BC = AD = 3\sqrt 3$. Mà ${S_{ABCD}} = 18\,\,\left( {gt} \right)$.

$\Rightarrow AB.AD = 18 \Leftrightarrow AB.3\sqrt 3  = 18 \Leftrightarrow AB = 2\sqrt 3  \Rightarrow AH = \sqrt 3$.

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông $OAH$ ta có $OA = \sqrt {O{H^2} + A{H^2}}  = \sqrt {{1^2} + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}}  = 2 = r$.

Vậy diện tích xung quanh của hình trụ đã cho là: ${S_{xq}} = 2\pi rh = 2\pi .2.3\sqrt 3  = 12\sqrt 3 \pi$.

Ta có $ABCD$ là hình vuông $\Rightarrow {S_{ABCD}} = A{B^2} = 16$ $\Rightarrow AB = AD = 4$

Gọi $H$ là trung điểm của $AB \Rightarrow OH \bot AB$

Lại có: $\left( {ABCD} \right)$ vuông góc với mặt phẳng đáy $\Rightarrow OH \bot AD$

$\Rightarrow OH \bot \left( {ABCD} \right)$ $\Rightarrow d\left( {O;\,\,\left( {ABCD} \right)} \right) = OH = 3$

Áp dụng định lý Pitago cho $\Delta OAH$ vuông tại $H$ ta có:

$OA = \sqrt {O{H^2} + {{\left( {\dfrac{{AB}}{2}} \right)}^2}}  = \sqrt {{3^2} + {2^2}}  = \sqrt {13}$ 

Khi đó ta có thể tích của hình trụ đã cho là: $V = \pi {R^2}h = \pi .O{A^2}.AD = \pi .13.4 = 52\pi .$

Quay hình chữ nhật $ABCD$ quanh cạnh $AB$ ta thu được khối trụ có chiều cao $h = AB = 5$, bán kính đáy $r = BC = 2$.

Vậy diện tích toàn phần của hình trụ là $V = \pi {r^2}h + 2\pi {r^2} = \pi {.2^2}.5 + 2\pi {.2^2} = 28\pi$.

Quay hình chữ nhật $ABCD$ quanh cạnh $AB$ ta thu được khối trụ có chiều cao $h = AB = 5$, bán kính đáy $r = BC = 2$.

Vậy diện tích toàn phần của hình trụ là $V = \pi {r^2}h + 2\pi {r^2} = \pi {.2^2}.5 + 2\pi {.2^2} = 28\pi$.

Giả sử thiết diện là hình chữ nhật $ABCD$.

Ta có: ${S_{ABCD}} = AB.BC \Rightarrow 20{a^2} = AB.5a \Leftrightarrow AB = 4a$ $\Rightarrow AH = 2a$.

Gọi $O,\,\,O'$ lần lượt là tâm hai đáy của hình trụ, $H$ là trung điểm của $AB$.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}OH \bot AB\\OH \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow OH \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow OH = 3a$.

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông $OAH$ ta có: $OA = \sqrt {O{H^2} + A{H^2}}  = \sqrt {9{a^2} + 4{a^2}}  = a\sqrt {13}$.

Vậy thể tích khối trụ là $V = \pi .O{A^2}.BC = \pi .{\left( {a\sqrt {13} } \right)^2}.5a = 65\pi {a^3}$.

Diện tích toàn phần của hình trụ đã cho là: ${S_{tp}} = 2\pi Rl + 2\pi {R^2} = 2\pi R\left( {R + l} \right).$

Bán kính đáy của hình trụ đã cho là:$r = \frac{d}{2} = \frac{8}{2} = 4.$

Diện tích toàn phần của hình trụ đã cho là:${S_{tp}} = 2\pi rh + 2\pi {r^2}$ $= 2\pi .2.4 + 2\pi {.4^2} = 48\pi .$

Diện tích toàn phần của hình trụ có bán kính đáy bằng $a$ và chiếu cao bằng $2a$ là:

${S_{tp}} = 2\pi rh + 2\pi {r^2}$ $= 2\pi .a.2a + 2\pi .{a^2} = 6\pi {a^2}.$