Khái niệm về mặt tròn xoay (mặt trụ)

Ta có: \(BC = \sqrt {A{C^2} - A{B^2}}  = \sqrt {25{a^2} - 16{a^2}}  = 3a\) (Định lí Pytago)

Do đó khối trụ có bán kính đáy \(r = \dfrac{{AB}}{2} = 2a\), chiều cao \(h = AC = 3a\).

\( \Rightarrow {V_{tru}} = \pi .{r^2}h = \pi {\left( {2a} \right)^2}.3a = 12\pi {a^3}\).

Giả sử chiều cao của khối trụ là \(OH = h(0 \le h \le 3\sqrt 2 a)\).

Ta có \(OM = R = 3\sqrt 2 a,HM = \sqrt {18{a^2} - {h^2}} \).

Vậy \({V_{{\rm{tr }}}} = \pi {\left( {\sqrt {18{a^2} - {h^2}} } \right)^2}.h = \pi \left( {18{a^2} - {h^2}} \right).h\).

Xét hàm số \(y = \pi \left( {18{a^2} - {h^2}} \right)h\) trên đoạn \([0;3\sqrt 2 a]\)

\( \Rightarrow {y^\prime } = \pi \left( {18{a^2} - 3{h^2}} \right)\)

\( \Rightarrow {y^\prime } = 0 \Leftrightarrow h = \sqrt 6 a\).

Ta có \(y(\sqrt 6 a) = 12\sqrt 6 {a^3}\pi ,\)\(y(0) = 0,\)\(y(3\sqrt 2 a) = 0\).

Vậy \({V_{{\rm{tr }}}}\) lớn nhất khi \(h = \sqrt 6 a\)=> m=1; n=6

\( \Rightarrow m + n = 1 + 6 = 7\).

Công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ là \({S_{xq}} = 2\pi rl\)

Vì chỗ ghép mất 2cm nên chu vi đáy của chiếc thùng là 98-2=96(cm)

Gọi $r$ là bán kính đáy, khi đó:

\(2\pi r = 96 \Rightarrow r = \dfrac{{48}}{\pi }\left( {cm} \right)\)

Thể tích của chiếc thùng là: \(V = \pi {r^2}h = \pi .{\left( {\dfrac{{48}}{\pi }} \right)^2}.30 = \dfrac{{69120}}{\pi }\) \( \approx 22002c{m^3} \approx 22d{m^3} \approx 22\) (lít)

Ta có: \({S_{xq}} = 2\pi rh \Leftrightarrow h = \dfrac{{{S_{xq}}}}{{2\pi r}}\)

Ta có: \({S_{tp}} = {S_{xq}} + 2{S_d} = 2\pi rh + 2\pi {r^2} = 2\pi r\left( {h + r} \right) = {C_d}.\left( {h + r} \right)\)

Dó đó công thức ở đáp án D là sai.

Ta có: \(V = \pi {r^2}h = {S_d}.h \Rightarrow h = \dfrac{V}{{{S_d}}}\)

\(V = \pi {r^2}h = \pi {.2^2}.3 = 12\pi \).

Dựng hình lăng trụ (như hình vẽ).

\(\begin{array}{l}{V_{ABEF}} = \dfrac{1}{2}{V_{F.AEMB}} = \dfrac{1}{2}\left( {{V_{AEN.BMF}} - {V_{F.AEN}}} \right) = \dfrac{1}{2}.\left( {{V_{AEN.BMF}} - \dfrac{1}{3}{V_{AEN.BMF}}} \right)\\ = \dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}{V_{AEN.BMF}} = \dfrac{1}{3}{V_{AEN.BMF}}\end{array}\)

\(\Delta AEN\) vuông tại E có \(AN = 2R = \dfrac{{AD}}{\pi } = \dfrac{6}{\pi }\)

Số đo góc \(\widehat {ANE} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3}{.360^0} = {60^0}\) (do )

\( \Rightarrow \Delta AEN\) là một nửa tam giác đều cạnh \(\dfrac{6}{\pi } \Rightarrow {S_{\Delta AEN}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{{{\left( {\dfrac{6}{\pi }} \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{9\sqrt 3 }}{{2{\pi ^2}}}\)

\( \Rightarrow {V_{AEN.BMF}} = 3.\dfrac{{9\sqrt 3 }}{{2{\pi ^2}}} = \dfrac{{27\sqrt 3 }}{{2{\pi ^2}}} \Rightarrow {V_{ABEF}} = \dfrac{{9\sqrt 3 }}{{2{\pi ^2}}}\).

Gọi chiều cao của bể nước là \(h\,\,\left( m \right)\,\,\left( {h > 0} \right)\).

Thể tích 2 bể nước là: \(V = \pi {.1^2}.h + \pi .1,{5^2}.h = 3,25\pi h\,\,\left( {{m^3}} \right)\).

Gọi bán kính bể nước mới là \(r\,\,\left( m \right)\,\,\left( {r > 0} \right)\).

Thể tích của 1 bế nước mới là \(V' = \pi .{r^2}h\).

Vì bể nước mới có thể tích bằng tổng thể tích của hai bể nước trên nên \(V = V'\).

\( \Leftrightarrow 3,25\pi h = \pi {r^2}h \Leftrightarrow {r^2} = 3,25 \Leftrightarrow r \approx 1,8\,\,\left( m \right)\).

Diện tích xung quanh của hình trụ này bằng \({S_{xq}} = 2\pi rh = 2\pi .2.3 = 12\pi \).

Giả sử thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông \(ABCD\) như hình vẽ, khi đó khối trụ đã cho có chiều cao \(h = AD = a\), bán kính đáy \(r = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{a}{2}\).

Khi đó thể tích khối trụ là \(V = \pi {r^2}h = \pi {\left( {\dfrac{a}{2}} \right)^2}.a = \dfrac{{\pi {a^3}}}{4}.\)

Giả sử cắt hình trụ đã cho bởi mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng \(1\), ta được thiết diện là hình chữ nhật \(ABCD\) như hình vẽ.

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}OH \bot AB\\OH \bot AD\,\,\left( {AD \bot day} \right)\end{array} \right. \Rightarrow OH \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow OH = 1\).

Hình trụ có chiều cao bằng \(3\sqrt 3 \) (gt) \( \Rightarrow BC = AD = 3\sqrt 3 \). Mà \({S_{ABCD}} = 18\,\,\left( {gt} \right)\).

\( \Rightarrow AB.AD = 18 \Leftrightarrow AB.3\sqrt 3  = 18 \Leftrightarrow AB = 2\sqrt 3  \Rightarrow AH = \sqrt 3 \).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(OAH\) ta có \(OA = \sqrt {O{H^2} + A{H^2}}  = \sqrt {{1^2} + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}}  = 2 = r\).

Vậy diện tích xung quanh của hình trụ đã cho là: \({S_{xq}} = 2\pi rh = 2\pi .2.3\sqrt 3  = 12\sqrt 3 \pi \).

Ta có \(ABCD\) là hình vuông \( \Rightarrow {S_{ABCD}} = A{B^2} = 16\) \( \Rightarrow AB = AD = 4\)

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow OH \bot AB\)

Lại có: \(\left( {ABCD} \right)\) vuông góc với mặt phẳng đáy \( \Rightarrow OH \bot AD\)

\( \Rightarrow OH \bot \left( {ABCD} \right)\) \( \Rightarrow d\left( {O;\,\,\left( {ABCD} \right)} \right) = OH = 3\)

Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta OAH\) vuông tại \(H\) ta có:

\(OA = \sqrt {O{H^2} + {{\left( {\dfrac{{AB}}{2}} \right)}^2}}  = \sqrt {{3^2} + {2^2}}  = \sqrt {13} \) 

Khi đó ta có thể tích của hình trụ đã cho là: \(V = \pi {R^2}h = \pi .O{A^2}.AD = \pi .13.4 = 52\pi .\)

Quay hình chữ nhật \(ABCD\) quanh cạnh \(AB\) ta thu được khối trụ có chiều cao \(h = AB = 5\), bán kính đáy \(r = BC = 2\).

Vậy diện tích toàn phần của hình trụ là \(V = \pi {r^2}h + 2\pi {r^2} = \pi {.2^2}.5 + 2\pi {.2^2} = 28\pi \).

Quay hình chữ nhật \(ABCD\) quanh cạnh \(AB\) ta thu được khối trụ có chiều cao \(h = AB = 5\), bán kính đáy \(r = BC = 2\).

Vậy diện tích toàn phần của hình trụ là \(V = \pi {r^2}h + 2\pi {r^2} = \pi {.2^2}.5 + 2\pi {.2^2} = 28\pi \).

Giả sử thiết diện là hình chữ nhật \(ABCD\).

Ta có: \({S_{ABCD}} = AB.BC \Rightarrow 20{a^2} = AB.5a \Leftrightarrow AB = 4a\) \( \Rightarrow AH = 2a\).

Gọi \(O,\,\,O'\) lần lượt là tâm hai đáy của hình trụ, \(H\) là trung điểm của \(AB\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}OH \bot AB\\OH \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow OH \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow OH = 3a\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(OAH\) ta có: \(OA = \sqrt {O{H^2} + A{H^2}}  = \sqrt {9{a^2} + 4{a^2}}  = a\sqrt {13} \).

Vậy thể tích khối trụ là \(V = \pi .O{A^2}.BC = \pi .{\left( {a\sqrt {13} } \right)^2}.5a = 65\pi {a^3}\).

Diện tích toàn phần của hình trụ đã cho là: \({S_{tp}} = 2\pi Rl + 2\pi {R^2} = 2\pi R\left( {R + l} \right).\)

Bán kính đáy của hình trụ đã cho là:\(r = \frac{d}{2} = \frac{8}{2} = 4.\)

Diện tích toàn phần của hình trụ đã cho là:\({S_{tp}} = 2\pi rh + 2\pi {r^2}\) \( = 2\pi .2.4 + 2\pi {.4^2} = 48\pi .\)

Diện tích toàn phần của hình trụ có bán kính đáy bằng \(a\) và chiếu cao bằng \(2a\) là:

\({S_{tp}} = 2\pi rh + 2\pi {r^2}\) \( = 2\pi .a.2a + 2\pi .{a^2} = 6\pi {a^2}.\)