Các dạng toán viết phương trình mặt phẳng

Bước 1: Gọi $A(a;0;0);B(0;b;0);C(0;0;c)$ lần lượt là giao điểm của mặt phẳng $(P)$ với các trục $O x, O y, O z$.

Phương trình mặt phẳng $(P)$ là: $\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1$.

Vì $M(2;3;5) \in (P)$$\Rightarrow \dfrac{2}{a} + \dfrac{3}{b} + \dfrac{5}{c} = 1(*)$.

Bước 2: Sử dụng giả thiết biểu diễn b và c theo a. Tìm (P).  Tính $d\left( {O,\left( P \right)} \right)$

Ta có $OA=a, OB=b, OC=c$.

Mà $OA,OB,OC$ theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội $q = 3$.

Khi đó ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = aq}\\{c = a{q^2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = 3a}\\{c = 9a}\end{array}} \right.} \right.$

Suy ra $(*) \Leftrightarrow \dfrac{2}{a} + \dfrac{3}{{3a}} + \dfrac{5}{{9a}} = 1 \Leftrightarrow a = \dfrac{{32}}{9}$.

Với $a = \dfrac{{32}}{9} \Rightarrow b = \dfrac{{32}}{3};c = 32$.

Phương trình mặt phẳng $(P)$ là: $\dfrac{9}{{32}}x + \dfrac{3}{{32}}y + \dfrac{1}{{32}}z = 1$$\Leftrightarrow 9x + 3y + z - 32 = 0$.

$d\left( {O,\left( P \right)} \right) = \dfrac{{| - 32|}}{{\sqrt {{9^2} + {3^2} + {1^2}} }} = \dfrac{{32}}{{\sqrt {91} }}.$

Ta có: $\left( \alpha  \right):\,\,x + y - z + 1 = 0$ có VTPT là: $\overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left( {1;\,\,1; - 1} \right).$

$\left( \beta  \right):\,\,\, - 2x + my + 2z - 2 = 0$ có VTPT là: $\overrightarrow {{n_\beta }}  = \left( { - 2;\,\,m;\,\,2} \right).$

$\Rightarrow \left( \alpha  \right)//\left( \beta  \right) \Leftrightarrow \dfrac{{ - 2}}{1} = \dfrac{m}{1} = \dfrac{2}{{ - 1}} \ne \dfrac{{ - 2}}{1}$ (vô lý)

$\Rightarrow$ Không có giá trị của $m$ thỏa mãn bài toán.

Gọi $\overrightarrow {{n_P}}$ là 1 VTPT của mặt phẳng $\left( P \right)$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}M,\,\,N \in \left( P \right)\\\left( P \right) \bot \left( Q \right)\end{array} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_P}}  \bot \overrightarrow {MN}  = \left( { - 1; - 2;5} \right)\\\overrightarrow {{n_P}}  \bot \overrightarrow {{n_Q}}  = \left( {2; - 1;3} \right)\end{array} \right.$

$\Rightarrow \overrightarrow {{n_P}}  = \left[ {\overrightarrow {MN} ;\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( { - 1;13;5} \right)$.

Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là:

$- \left( {x - 3} \right) + 13\left( {y - 1} \right) + 5\left( {z + 1} \right) = 0$$\Leftrightarrow x - 13y - 5z + 5 = 0$

Gọi tọa độ các giao điểm : $A(a;0;0),\,\,B(0;b;0),\,\,C(0;0;c),$ $\left( a;b;c\ne 0 \right)$

Khi đó phương trình mặt phẳng (P) có dạng đoạn chắn: $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$

$M(1;2;3)\in \left( P \right)$ $\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}=1\,\,\,(1)$

Vì OA = 2OB = 3OC > 0 nên $\left| a \right|=2\left| b \right|=3\left| c \right|>0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  a=2b=3c \\  a=-2b=3c \\  a=2b=-3c \\  -a=2b=3c \\ \end{align} \right.$

TH1: $a=2b=3c$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{a}{2}\\c = \dfrac{a}{3}\end{array} \right.$

Thay vào (1) được: $\dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{{a/2}} + \dfrac{3}{{a/3}} = 1$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{a} + \dfrac{4}{a} + \dfrac{9}{a} = 1$ $\Leftrightarrow \dfrac{{14}}{a} = 1 \Leftrightarrow a = 14 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 7\\c = \dfrac{{14}}{3}\end{array} \right.$

Ta được $\left( P \right):\dfrac{x}{{14}} + \dfrac{y}{7} + \dfrac{z}{{14/3}} = 1$

TH2: $a=-2b=3c$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{{ - a}}{2}\\c = \dfrac{a}{3}\end{array} \right.$

Thay vào (1) được: $\dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{{ - a/2}} + \dfrac{3}{{a/3}} = 1$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{a} - \dfrac{4}{a} + \dfrac{9}{a} = 1$ $\Leftrightarrow \dfrac{6}{a} = 1 \Leftrightarrow a = 6 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b =  - 3\\c = 2\end{array} \right.$

Ta được $\left( P \right):\dfrac{x}{6} + \dfrac{y}{{ - 3}} + \dfrac{z}{2} = 1$

TH3:  $a=2b=-3c$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{a}{2}\\c = \dfrac{{ - a}}{3}\end{array} \right.$

Thay vào (1) được: $\dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{{a/2}} + \dfrac{3}{{ - a/3}} = 1$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{a} + \dfrac{4}{a} - \dfrac{9}{a} = 1$ $\Leftrightarrow \dfrac{{ - 4}}{a} = 1 \Leftrightarrow a =  - 4 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b =  - 2\\c = \dfrac{4}{3}\end{array} \right.$

Ta được $\left( P \right):\dfrac{x}{{ - 4}} + \dfrac{y}{{ - 2}} + \dfrac{z}{{4/3}} = 1$

TH4: $-a=2b=3c$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{{ - a}}{2}\\c = \dfrac{{ - a}}{3}\end{array} \right.$

Thay vào (1) được: $\dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{{ - a/2}} + \dfrac{3}{{ - a/3}} = 1$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{a} - \dfrac{4}{a} - \dfrac{9}{a} = 1$ $\Leftrightarrow \dfrac{{ - 12}}{a} = 1 \Leftrightarrow a =  - 12 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 6\\c = 4\end{array} \right.$

Ta được $\left( P \right):\dfrac{x}{{ - 12}} + \dfrac{y}{6} + \dfrac{z}{4} = 1$

Vậy, có $4$ mặt phẳng (P) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Gọi $A\left( {a;0;0} \right);\,\,B\left( {0;b;0} \right);\,\,C\left( {0;0;c} \right)$, khi đó phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$

$M\left( {1;2;3} \right) \in \left( P \right) \Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 1$

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

$\begin{array}{l}1 = {\left( {\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c}} \right)^2} \le \left( {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} \right)\left( {{1^2} + {2^2} + {3^2}} \right)\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} \ge \frac{1}{{14}}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}} \ge \frac{1}{{14}} \Rightarrow {T_{\min }} = \frac{1}{{14}}\end{array}$

Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{a} = \frac{1}{{2b}} = \frac{1}{{3c}}\\\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \frac{a}{2}\\c = \frac{a}{3}\\\frac{1}{a} + \frac{4}{a} + \frac{9}{a} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 14\\b = 7\\c = \frac{{14}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow \left( P \right):\,\,\frac{x}{{14}} + \frac{y}{7} + \frac{{3z}}{{14}} = 1 \Leftrightarrow x + 2y + 3z - 14 = 0$

+) Ta có: 

$AM\bot CB$ (vì M là trực tâm tam giác ABC)

$OA\bot CB$ (vì $OA\bot OB,\,\,OA\bot OC\Rightarrow OA\bot \left( OBC \right)\Leftrightarrow OA\bot BC$)

$\Rightarrow BC\bot \left( OMA \right)\Rightarrow BC\bot OM$

Tương tự, chứng minh được $AC\bot OM\Rightarrow OM\bot \left( ABC \right)$

+) Viết phương trình mặt phẳng $\left( ABC \right)$:

$M\left( -1;3;4 \right),\,\,\overrightarrow{OM}\left( -1;3;4 \right)$

Phương trình mặt phẳng (ABC): $-1\left( x+1 \right)+3\left( y-3 \right)+4\left( z-4 \right)=0\Leftrightarrow -x+3y+4z-26=0$

+)  Tìm tọa độ các điểm A, B, C:

Cho $y=z=0\Rightarrow x=26\Rightarrow A\left( 26;0;0 \right)$

Cho $x=z=0\Rightarrow y=\frac{26}{3}\Rightarrow B\left( 0;\frac{26}{3};0 \right)$

Cho $x=y=0\Rightarrow z=\frac{13}{2}\Rightarrow C\left( 0;0;\frac{13}{2} \right)$

Thể tích khối tứ diện OABC :  $V=\frac{1}{6}.26.\frac{26}{3}.\frac{13}{2}=\frac{2197}{9}$.

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $\left( P \right)$, khi đó ta có $AH \le AB$ (quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên).

Do đó $d{\left( {A;\left( P \right)} \right)_{\max }} \Leftrightarrow A{H_{\max }} \Leftrightarrow H \equiv B$, khi đó $AB \bot \left( P \right)$.

Khi đó $\left( P \right)$ nhận $\overrightarrow {AB}  = \left( {1;1; - 1} \right)$ là 1 vtpt.

Vậy để khoảng cách từ điểm $A\left( {1;2;1} \right)$ đến $\left( P \right)$ là lớn nhất thì phương trình của $\left( P \right)$ là:

$1\left( {x - 0} \right) + 1\left( {y - 1} \right) - 1\left( {z - 2} \right) = 0$ $\Leftrightarrow x + y - z + 1 = 0$.

Gọi $BH \cap AC = \left\{ F \right\} \Rightarrow BF \bot AC$.

Lại có $BO \bot \left( {OAC} \right)$ nên $BO \bot AC$.

Do đó $AC \bot \left( {BOF} \right) \Rightarrow AC \bot OH$.

Chứng minh tương tự ta được $BC \bot OH \Rightarrow OH \bot \left( {ABC} \right)$.

Do đó mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $H\left( {2;1;1} \right)$ và có véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow n  = \overrightarrow {OH}  = \left( {2;1;1} \right)$ nên $\left( P \right)$ có phương trình:

$2\left( {x - 2} \right) + 1\left( {y - 1} \right) + 1\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y + z - 6 = 0$

Vậy $\left( P \right):2x + y + z - 6 = 0$.

Do M là trực tâm tam giác ABC $\Rightarrow AM\bot BC$

Mà $OA\bot BC\,\,(do\,\,OA\bot (OBC))$

$\Rightarrow BC\bot (OAH)\Rightarrow BC\bot OM$ (1)

Tương tự, ta chứng minh được $AB\bot OM\,\,(2)$

Từ (1), (2) $\Rightarrow OM\bot (ABC)$

$\Rightarrow (P)$ nhận $\overrightarrow{OM}=\left( 1;2;3 \right)$ là vectơ pháp tuyến.

Phương trình mặt phẳng (P):  $1.(x-1)+2.(y-2)+3.(z-3)=0\Leftrightarrow x+2y+3z-14=0$

Gọi $A\left( a;0;0 \right),\,\,B\left( 0;b;0 \right),\,\,C\left( 0;0;c \right)$$\Rightarrow$ Phương trình mặt phẳng $\left( P \right):\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1.$

Vì $OA,\,\,OB,\,\,OC$ đôi một vuông góc $\Rightarrow$ Thể tích khối chóp $O.ABC$ là $V=\dfrac{1}{6}OA.OB.OC=\dfrac{abc}{6}.$

Điểm $M\in \left( P \right)$ suy ra $1=\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{3}{c}\ge 3\sqrt[3]{\dfrac{1}{a}.\dfrac{2}{b}.\dfrac{3}{c}}$ $\Leftrightarrow 1\ge {{3}^{3}}.\dfrac{6}{abc}$ $\Rightarrow abc\ge 162\Rightarrow V\ge 27.$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\dfrac{1}{a}=\dfrac{2}{b}=\dfrac{3}{c}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow \left\{ \begin{align}  & a=3 \\ & b=6 \\ & c=9 \\\end{align} \right..$ Vậy $\left( P \right):\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{6}+\dfrac{z}{9}=1.$

Gọi $I$ là trung điểm của $AB \Rightarrow I\left( {1;1;2} \right)$.

$\overrightarrow {AB}  = \left( { - 6;2;2} \right)//\left( {3; - 1; - 1} \right)$ nên mặt phẳng trung trực của $AB$ nhận $\overrightarrow n \left( {3; - 1; - 1} \right)$ làm 1 VTPT.

Vậy phương trình mặt phẳng trung trực của $AB$ là:

$3\left( {x - 1} \right) - 1\left( {y - 1} \right) - 1\left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x - y - z = 0$

Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l} \left( {ABC} \right) \cap \left( P \right) = AH\\ BC \subset \left( {ABC} \right)\\ BC \bot AH \end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( P \right)$

Do đó $(P)$ đi qua $A$ và vuông góc với $BC$.

Mặt phẳng $(P)$ đi qua $A(0;1;2)$ và nhận $\overrightarrow {CB} = \left( {4; - 2; - 1} \right)$ làm VTPT nên:

$\left( P \right):4\left( {x - 0} \right) - 2\left( {y - 1} \right) - 1\left( {z - 2} \right) = 0$ hay $\left( P \right):4x - 2y - z + 4 = 0$.

Giao tuyến của (P) và (Q) là tập hợp tất cả các điểm thỏa mãn hệ phương trình $\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + y - 3z + 1 = 0\\2x + 3y + z - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 2y - 6z + 2 = 0\\2x + 3y + z - 1 = 0\end{array} \right.\\ \Rightarrow y + 7z - 3 = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 4 + 10t\\y = 3 - 7t\\z = t\end{array} \right.\,\,\,\,\left( \Delta  \right) \\ \Rightarrow {\overrightarrow u _{\left( \Delta  \right)}} = \left( {10; - 7;1} \right)\\\left( T \right) \supset \Delta  \Rightarrow {\overrightarrow n _{\left( T \right)}} \bot {\overrightarrow u _{\left( \Delta  \right)}} \Rightarrow {\overrightarrow n _{\left( T \right)}}.{\overrightarrow u _{\left( \Delta  \right)}} = 0\end{array}$

${{\overrightarrow{n}}_{\left( T \right)}}=\left( 1;a;b \right)$ là 1 VTPT của mặt phẳng (T) ta có: $10-7a+b=0\Rightarrow b=7a-10$.

Mặt phẳng (R) có ${{\overrightarrow{n}}_{\left( R \right)}}=\left( 1;2;4 \right)$.

Mặt phẳng (T) và (R) tạo với nhau một góc $\alpha$ có $\cos \alpha =\frac{23}{\sqrt{679}}$ nên

$\begin{array}{l}\;\;\;\;\left| {\cos \left( {{{\overrightarrow n }_{\left( T \right)}};{{\overrightarrow n }_{\left( R \right)}}} \right)} \right| = \cos \alpha  = \frac{{23}}{{\sqrt {679} }}\\ \Rightarrow \left| {\frac{{1 + 2a + 4b}}{{\sqrt {21} .\sqrt {1 + {a^2} + {b^2}} }}} \right| = \frac{{23}}{{\sqrt {679} }}\\ \Leftrightarrow \left| {\frac{{1 + 2a + 4\left( {7a - 10} \right)}}{{\sqrt {21} .\sqrt {1 + {a^2} + {{\left( {7a - 10} \right)}^2}} }}} \right| = \frac{{23}}{{\sqrt {679} }}\\ \Leftrightarrow \left| {\frac{{30a - 39}}{{\sqrt {21} .\sqrt {50{a^2} - 140a + 101} }}} \right| = \frac{{23}}{{\sqrt {679} }}\\ \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {30a - 39} \right)}^2}}}{{21\left( {50{a^2} - 140a + 101} \right)}} = \frac{{529}}{{679}}\end{array}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 679\left( {900{a^2} - 2340a + 1521} \right) = 11109\left( {50{a^2} - 140a + 101} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a =  - 1\\a = \frac{{85}}{{53}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a =  - 1\\b =  - 17\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{85}}{{53}}\\b = \frac{{65}}{{53}}\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left( T \right):x - y - 17z + {d_1} = 0\\\left( T \right):\,\,53x + 85y + 65z + {d_2} = 0\end{array} \right.\end{array}$

Lấy $M\left( -4;3;0 \right)\in \left( \Delta  \right)\Rightarrow M\in \left( T \right)$, thay vào ta có : $\left[ \begin{array}{l}\left( T \right):x - y - 17z + 7 = 0\\\left( T \right):\,\,53x + 85y + 65z - 43 = 0\end{array} \right.$

Phương trình mặt phẳng (P) song song và cách đều hai mặt phẳng $\left( {{Q}_{1}} \right)$ và $\left( {{Q}_{2}} \right)$ là mặt phẳng song song và nằm chính giữa $\left( {{Q}_{1}} \right)$ và $\left( {{Q}_{2}} \right)$.

Ta có $\frac{2+8}{2}=5\Rightarrow \left( P \right):\,\,3x-y+4z+5=0$

Vì  ${d_{(A,(P))}} = 3{d_{(B,(P))}}$  nên AB cắt (P) tại điểm I $\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\overrightarrow {AI}  = 3\overrightarrow {BI} \\\overrightarrow {AI}  =  - 3\overrightarrow {BI} \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}I\left( { - 4; - 1;3} \right)\\I\left( { - 1;2;0} \right)\end{array} \right.$

Vì có vô số mặt phẳng (P) chứa C, D và khoảng cách từ A đến (P) gắp 3 lần khoảng cách từ B đến (P) nên I, C, D  thẳng hàng hay $D = IC \cap (\alpha )$

+ Nếu $I\left( { - 4; - 1;3} \right) \Rightarrow  {IC} :\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 6t\\y = t\\z = 1 - 2t\end{array} \right.$

Thay các tọa độ trên vào phương trình $(\alpha)$ ta được:

$3\left( {2 + 6t} \right) + 4t + 5\left( {1 - 2t} \right) + 1 = 0$ $\Leftrightarrow 12t + 12 = 0 \Leftrightarrow t = - 1$

$\Rightarrow D\left( { - 4; - 1;3} \right)$ ( thỏa mãn )

+  Nếu $I( - 1;2;0) \Rightarrow {IC} :\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y =  - 2t\\z = 1 + t\end{array} \right.$

Thay các tọa độ trên vào phương trình $(\alpha)$ ta được:

$3\left( {2 + 3t} \right) + 4.(-2t) + 5\left( {1 +t} \right) + 1 = 0$ $\Leftrightarrow 6t + 12 = 0 \Leftrightarrow t = - 2$

$\Rightarrow D\left( { - 4;4; - 1} \right)$ ( loại)

 Vậy $D\left( { - 4; - 1;3} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 4\\b =  - 1\\c = 3\end{array} \right. \Rightarrow S = 16 + 1 + 9 = 26$

(P) là mặt phẳng đi qua điểm M và cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất khi và chỉ khi (P) là mặt phẳng qua M và nhận $\overrightarrow{OM}$ là 1 VTPT.

Ta có: $\overrightarrow{OM}\left( 1;3;-2 \right)$

Phương trình mặt phẳng (P):  $1(x-1)+3(y-3)-2(z+2)=0\Leftrightarrow x+3y-2z-14=0$

Cho $x=z=0\Rightarrow y=\frac{14}{3}\Rightarrow$(P) cắt Oy tại điểm $B\left( 0;\frac{14}{3};0 \right)$.

$(P):x+2y-2z+2018=0$ có 1 VTPT: $\overrightarrow{{{n}_{1}}}\left( 1;2;-2 \right)$

$(Q):x+my+(m-1)z+2017=0$ có 1 VTPT: $\,\overrightarrow{{{n}_{2}}}\left( 1;m;m-1 \right)$

Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q):

$\begin{align}  \cos \left( \widehat{\left( P \right),\,\left( Q \right)} \right)=\cos \left( \widehat{\overrightarrow{{{n}_{1}}};\overrightarrow{{{n}_{2}}}} \right)=\frac{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}}.\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right|}{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}} \right|.\left| \overrightarrow{{{n}_{2}}} \right|} \\  =\frac{\left| 1.1+2.m-2.(m-1) \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{2}^{2}}}.\sqrt{{{1}^{2}}+{{m}^{2}}+{{(m-1)}^{2}}}}=\frac{1}{\sqrt{2{{m}^{2}}-2m+2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{{{(2m-1)}^{2}}+3}} \\  \Rightarrow 0<\cos \left( \widehat{\left( P \right),\,\left( Q \right)} \right)\le \sqrt{\frac{2}{3}}\,\,\,\forall m\in R \\ \end{align}$,

Với $0\le \alpha \le {{90}^{0}}\Rightarrow {{\alpha }_{\min }}\Leftrightarrow \cos {{\alpha }_{\max }}$

$\Rightarrow {{\left( \widehat{(P),(Q)} \right)}_{\min }}$ khi và chỉ khi $\cos {{\left( \widehat{\left( P \right),\,\left( Q \right)} \right)}_{\max }}=\sqrt{\frac{2}{3}}\Leftrightarrow 2m-1=0\Leftrightarrow m=\frac{1}{2}$

Khi đó, $(Q):x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}z+2017=0\Leftrightarrow 2x+y-z+4034=0$.

 Ta thấy : $2.(-2017)+1-1+4034=0\Rightarrow M(-2017;1;1)\in \left( Q \right)$

Phương trình mặt phẳng $(ABC)$ : $\dfrac{x}{{ - 3}} + \dfrac{y}{{ - 2}} + \dfrac{z}{1} = 1 \Leftrightarrow 2x + 3y - 6z + 6 = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 3\\c = 6\end{array} \right. \Rightarrow a + b - c =  - 1$

Vì $M$ là trực tâm của tam giác $ABC$$\Rightarrow \,\,OM \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow \,\,{\vec n_{\left( {ABC} \right)}} = \overrightarrow {OM}  = \left( {2;1;5} \right)$

Suy ra phương trình mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ là $2\left( {x - 2} \right) + y - 1 + 5\left( {z - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y + 5z - 30 = 0.$

Khoảng cách từ điểm $I\left( {1;2;3} \right)$ đến mặt phẳng (P) là $d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2 + 2 + 15 - 30} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {5^2}} }} = \frac{{11}}{{\sqrt {30} }} = \frac{{11\sqrt {30} }}{{30}}.$

 Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left( 1;\,\,2;\,-1 \right);\,\,\,\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left( 1;\,\,1;\,\,1 \right).$

$\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{Q}}}=\left[ \overrightarrow{AB};\,\,\overrightarrow{{{n}_{P}}} \right]=\left( \left| \begin{matrix} 2  \\ 1  \\\end{matrix}\,\,\,\,\,\,\,\begin{matrix}-1  \\1  \\\end{matrix} \right|;\left| \begin{matrix}-1  \\1  \\\end{matrix}\,\,\,\,\,\,\,\begin{matrix} 1  \\1  \\\end{matrix} \right|;\left| \begin{matrix}1  \\1  \\ \end{matrix}\,\,\,\,\,\,\,\begin{matrix} 2  \\1  \\\end{matrix} \right| \right)=\left( 3;-2;-1 \right).$

Phương trình mặt phẳng (Q) đi qua $A\left( 1;-1;\,2 \right)$ và có VTPT $\overrightarrow{{{n}_{Q}}}=\left( 3;-2;-1 \right)$ là:

$3\left( x-1 \right)-2\left( y+1 \right)-1\left( z-2 \right)=0\Leftrightarrow 3x-2y-z-3=0.$