Các dạng toán viết phương trình mặt phẳng

Bước 1: Gọi \(A(a;0;0);B(0;b;0);C(0;0;c)\) lần lượt là giao điểm của mặt phẳng \((P)\) với các trục $O x, O y, O z$.

Phương trình mặt phẳng \((P)\) là: \(\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1\).

Vì \(M(2;3;5) \in (P)\)\( \Rightarrow \dfrac{2}{a} + \dfrac{3}{b} + \dfrac{5}{c} = 1(*)\).

Bước 2: Sử dụng giả thiết biểu diễn b và c theo a. Tìm (P).  Tính \(d\left( {O,\left( P \right)} \right)\)

Ta có $OA=a, OB=b, OC=c$.

Mà \(OA,OB,OC\) theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội \(q = 3\).

Khi đó ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = aq}\\{c = a{q^2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = 3a}\\{c = 9a}\end{array}} \right.} \right.\)

Suy ra \((*) \Leftrightarrow \dfrac{2}{a} + \dfrac{3}{{3a}} + \dfrac{5}{{9a}} = 1 \Leftrightarrow a = \dfrac{{32}}{9}\).

Với \(a = \dfrac{{32}}{9} \Rightarrow b = \dfrac{{32}}{3};c = 32\).

Phương trình mặt phẳng \((P)\) là: \(\dfrac{9}{{32}}x + \dfrac{3}{{32}}y + \dfrac{1}{{32}}z = 1\)\( \Leftrightarrow 9x + 3y + z - 32 = 0\).

\(d\left( {O,\left( P \right)} \right) = \dfrac{{| - 32|}}{{\sqrt {{9^2} + {3^2} + {1^2}} }} = \dfrac{{32}}{{\sqrt {91} }}.\)

Ta có: \(\left( \alpha  \right):\,\,x + y - z + 1 = 0\) có VTPT là: \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left( {1;\,\,1; - 1} \right).\)

\(\left( \beta  \right):\,\,\, - 2x + my + 2z - 2 = 0\) có VTPT là: \(\overrightarrow {{n_\beta }}  = \left( { - 2;\,\,m;\,\,2} \right).\)

\( \Rightarrow \left( \alpha  \right)//\left( \beta  \right) \Leftrightarrow \dfrac{{ - 2}}{1} = \dfrac{m}{1} = \dfrac{2}{{ - 1}} \ne \dfrac{{ - 2}}{1}\) (vô lý)

\( \Rightarrow \) Không có giá trị của \(m\) thỏa mãn bài toán.

Gọi \(\overrightarrow {{n_P}} \) là 1 VTPT của mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}M,\,\,N \in \left( P \right)\\\left( P \right) \bot \left( Q \right)\end{array} \right.\) $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_P}}  \bot \overrightarrow {MN}  = \left( { - 1; - 2;5} \right)\\\overrightarrow {{n_P}}  \bot \overrightarrow {{n_Q}}  = \left( {2; - 1;3} \right)\end{array} \right.$

\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}}  = \left[ {\overrightarrow {MN} ;\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( { - 1;13;5} \right)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là:

\( - \left( {x - 3} \right) + 13\left( {y - 1} \right) + 5\left( {z + 1} \right) = 0 \)\(\Leftrightarrow x - 13y - 5z + 5 = 0\)

Gọi tọa độ các giao điểm : \(A(a;0;0),\,\,B(0;b;0),\,\,C(0;0;c),\) \(\left( a;b;c\ne 0 \right)\)

Khi đó phương trình mặt phẳng (P) có dạng đoạn chắn: \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\)

\(M(1;2;3)\in \left( P \right)\) \(\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}=1\,\,\,(1)\)

Vì OA = 2OB = 3OC > 0 nên \(\left| a \right|=2\left| b \right|=3\left| c \right|>0\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  a=2b=3c \\  a=-2b=3c \\  a=2b=-3c \\  -a=2b=3c \\ \end{align} \right.\)

TH1: \(a=2b=3c\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{a}{2}\\c = \dfrac{a}{3}\end{array} \right.\)

Thay vào (1) được: \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{{a/2}} + \dfrac{3}{{a/3}} = 1\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{a} + \dfrac{4}{a} + \dfrac{9}{a} = 1\) \( \Leftrightarrow \dfrac{{14}}{a} = 1 \Leftrightarrow a = 14 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 7\\c = \dfrac{{14}}{3}\end{array} \right.\)

Ta được \(\left( P \right):\dfrac{x}{{14}} + \dfrac{y}{7} + \dfrac{z}{{14/3}} = 1\)

TH2: \(a=-2b=3c\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{{ - a}}{2}\\c = \dfrac{a}{3}\end{array} \right.\)

Thay vào (1) được: \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{{ - a/2}} + \dfrac{3}{{a/3}} = 1\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{a} - \dfrac{4}{a} + \dfrac{9}{a} = 1\) \( \Leftrightarrow \dfrac{6}{a} = 1 \Leftrightarrow a = 6 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b =  - 3\\c = 2\end{array} \right.\)

Ta được \(\left( P \right):\dfrac{x}{6} + \dfrac{y}{{ - 3}} + \dfrac{z}{2} = 1\)

TH3:  \(a=2b=-3c\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{a}{2}\\c = \dfrac{{ - a}}{3}\end{array} \right.\)

Thay vào (1) được: \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{{a/2}} + \dfrac{3}{{ - a/3}} = 1\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{a} + \dfrac{4}{a} - \dfrac{9}{a} = 1\) \( \Leftrightarrow \dfrac{{ - 4}}{a} = 1 \Leftrightarrow a =  - 4 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b =  - 2\\c = \dfrac{4}{3}\end{array} \right.\)

Ta được \(\left( P \right):\dfrac{x}{{ - 4}} + \dfrac{y}{{ - 2}} + \dfrac{z}{{4/3}} = 1\)

TH4: \(-a=2b=3c\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{{ - a}}{2}\\c = \dfrac{{ - a}}{3}\end{array} \right.\)

Thay vào (1) được: \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{{ - a/2}} + \dfrac{3}{{ - a/3}} = 1\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{a} - \dfrac{4}{a} - \dfrac{9}{a} = 1\) \( \Leftrightarrow \dfrac{{ - 12}}{a} = 1 \Leftrightarrow a =  - 12 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 6\\c = 4\end{array} \right.\)

Ta được \(\left( P \right):\dfrac{x}{{ - 12}} + \dfrac{y}{6} + \dfrac{z}{4} = 1\)

Vậy, có \(4\) mặt phẳng (P) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Gọi \(A\left( {a;0;0} \right);\,\,B\left( {0;b;0} \right);\,\,C\left( {0;0;c} \right)\), khi đó phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\)

\(M\left( {1;2;3} \right) \in \left( P \right) \Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 1\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

\(\begin{array}{l}1 = {\left( {\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c}} \right)^2} \le \left( {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} \right)\left( {{1^2} + {2^2} + {3^2}} \right)\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} \ge \frac{1}{{14}}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}} \ge \frac{1}{{14}} \Rightarrow {T_{\min }} = \frac{1}{{14}}\end{array}\)

Dấu = xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{a} = \frac{1}{{2b}} = \frac{1}{{3c}}\\\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \frac{a}{2}\\c = \frac{a}{3}\\\frac{1}{a} + \frac{4}{a} + \frac{9}{a} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 14\\b = 7\\c = \frac{{14}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow \left( P \right):\,\,\frac{x}{{14}} + \frac{y}{7} + \frac{{3z}}{{14}} = 1 \Leftrightarrow x + 2y + 3z - 14 = 0\)

+) Ta có: 

\(AM\bot CB\) (vì M là trực tâm tam giác ABC)

\(OA\bot CB\) (vì \(OA\bot OB,\,\,OA\bot OC\Rightarrow OA\bot \left( OBC \right)\Leftrightarrow OA\bot BC\))

\(\Rightarrow BC\bot \left( OMA \right)\Rightarrow BC\bot OM\)

Tương tự, chứng minh được \(AC\bot OM\Rightarrow OM\bot \left( ABC \right)\)

+) Viết phương trình mặt phẳng \(\left( ABC \right)\):

\(M\left( -1;3;4 \right),\,\,\overrightarrow{OM}\left( -1;3;4 \right)\)

Phương trình mặt phẳng (ABC): \(-1\left( x+1 \right)+3\left( y-3 \right)+4\left( z-4 \right)=0\Leftrightarrow -x+3y+4z-26=0\)

+)  Tìm tọa độ các điểm A, B, C:

Cho \(y=z=0\Rightarrow x=26\Rightarrow A\left( 26;0;0 \right)\)

Cho \(x=z=0\Rightarrow y=\frac{26}{3}\Rightarrow B\left( 0;\frac{26}{3};0 \right)\)

Cho \(x=y=0\Rightarrow z=\frac{13}{2}\Rightarrow C\left( 0;0;\frac{13}{2} \right)\)

Thể tích khối tứ diện OABC :  \(V=\frac{1}{6}.26.\frac{26}{3}.\frac{13}{2}=\frac{2197}{9}\).

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(\left( P \right)\), khi đó ta có \(AH \le AB\) (quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên).

Do đó \(d{\left( {A;\left( P \right)} \right)_{\max }} \Leftrightarrow A{H_{\max }} \Leftrightarrow H \equiv B\), khi đó \(AB \bot \left( P \right)\).

Khi đó \(\left( P \right)\) nhận \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1;1; - 1} \right)\) là 1 vtpt.

Vậy để khoảng cách từ điểm \(A\left( {1;2;1} \right)\) đến \(\left( P \right)\) là lớn nhất thì phương trình của \(\left( P \right)\) là:

\(1\left( {x - 0} \right) + 1\left( {y - 1} \right) - 1\left( {z - 2} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x + y - z + 1 = 0\).

Gọi \(BH \cap AC = \left\{ F \right\} \Rightarrow BF \bot AC\).

Lại có \(BO \bot \left( {OAC} \right)\) nên \(BO \bot AC\).

Do đó \(AC \bot \left( {BOF} \right) \Rightarrow AC \bot OH\).

Chứng minh tương tự ta được \(BC \bot OH \Rightarrow OH \bot \left( {ABC} \right)\).

Do đó mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(H\left( {2;1;1} \right)\) và có véc tơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \overrightarrow {OH}  = \left( {2;1;1} \right)\) nên \(\left( P \right)\) có phương trình:

\(2\left( {x - 2} \right) + 1\left( {y - 1} \right) + 1\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y + z - 6 = 0\)

Vậy \(\left( P \right):2x + y + z - 6 = 0\).

Do M là trực tâm tam giác ABC \(\Rightarrow AM\bot BC\)

Mà \(OA\bot BC\,\,(do\,\,OA\bot (OBC))\)

\(\Rightarrow BC\bot (OAH)\Rightarrow BC\bot OM\) (1)

Tương tự, ta chứng minh được \(AB\bot OM\,\,(2)\)

Từ (1), (2) \(\Rightarrow OM\bot (ABC)\)

\(\Rightarrow (P)\) nhận \(\overrightarrow{OM}=\left( 1;2;3 \right)\) là vectơ pháp tuyến.

Phương trình mặt phẳng (P):  \(1.(x-1)+2.(y-2)+3.(z-3)=0\Leftrightarrow x+2y+3z-14=0\)

Gọi \(A\left( a;0;0 \right),\,\,B\left( 0;b;0 \right),\,\,C\left( 0;0;c \right)\)\(\Rightarrow \) Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right):\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1.\)

Vì \(OA,\,\,OB,\,\,OC\) đôi một vuông góc \(\Rightarrow \) Thể tích khối chóp \(O.ABC\) là \(V=\dfrac{1}{6}OA.OB.OC=\dfrac{abc}{6}.\)

Điểm \(M\in \left( P \right)\) suy ra \(1=\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{3}{c}\ge 3\sqrt[3]{\dfrac{1}{a}.\dfrac{2}{b}.\dfrac{3}{c}}\) \(\Leftrightarrow 1\ge {{3}^{3}}.\dfrac{6}{abc}\) \(\Rightarrow abc\ge 162\Rightarrow V\ge 27.\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{1}{a}=\dfrac{2}{b}=\dfrac{3}{c}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow \left\{ \begin{align}  & a=3 \\ & b=6 \\ & c=9 \\\end{align} \right..\) Vậy \(\left( P \right):\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{6}+\dfrac{z}{9}=1.\)

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow I\left( {1;1;2} \right)\).

\(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 6;2;2} \right)//\left( {3; - 1; - 1} \right)\) nên mặt phẳng trung trực của \(AB\) nhận \(\overrightarrow n \left( {3; - 1; - 1} \right)\) làm 1 VTPT.

Vậy phương trình mặt phẳng trung trực của \(AB\) là:

\(3\left( {x - 1} \right) - 1\left( {y - 1} \right) - 1\left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x - y - z = 0\)

Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}
\left( {ABC} \right) \cap \left( P \right) = AH\\
BC \subset \left( {ABC} \right)\\
BC \bot AH
\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( P \right)$

Do đó \((P)\) đi qua \(A\) và vuông góc với \(BC\).

Mặt phẳng \((P)\) đi qua \(A(0;1;2)\) và nhận $\overrightarrow {CB} = \left( {4; - 2; - 1} \right)$ làm VTPT nên:

$\left( P \right):4\left( {x - 0} \right) - 2\left( {y - 1} \right) - 1\left( {z - 2} \right) = 0$ hay $\left( P \right):4x - 2y - z + 4 = 0$.

Giao tuyến của (P) và (Q) là tập hợp tất cả các điểm thỏa mãn hệ phương trình \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + y - 3z + 1 = 0\\2x + 3y + z - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 2y - 6z + 2 = 0\\2x + 3y + z - 1 = 0\end{array} \right.\\ \Rightarrow y + 7z - 3 = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 4 + 10t\\y = 3 - 7t\\z = t\end{array} \right.\,\,\,\,\left( \Delta  \right) \\ \Rightarrow {\overrightarrow u _{\left( \Delta  \right)}} = \left( {10; - 7;1} \right)\\\left( T \right) \supset \Delta  \Rightarrow {\overrightarrow n _{\left( T \right)}} \bot {\overrightarrow u _{\left( \Delta  \right)}} \Rightarrow {\overrightarrow n _{\left( T \right)}}.{\overrightarrow u _{\left( \Delta  \right)}} = 0\end{array}\)

\({{\overrightarrow{n}}_{\left( T \right)}}=\left( 1;a;b \right)\) là 1 VTPT của mặt phẳng (T) ta có: \(10-7a+b=0\Rightarrow b=7a-10\).

Mặt phẳng (R) có \({{\overrightarrow{n}}_{\left( R \right)}}=\left( 1;2;4 \right)\).

Mặt phẳng (T) và (R) tạo với nhau một góc \(\alpha \) có \(\cos \alpha =\frac{23}{\sqrt{679}}\) nên

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;\left| {\cos \left( {{{\overrightarrow n }_{\left( T \right)}};{{\overrightarrow n }_{\left( R \right)}}} \right)} \right| = \cos \alpha  = \frac{{23}}{{\sqrt {679} }}\\ \Rightarrow \left| {\frac{{1 + 2a + 4b}}{{\sqrt {21} .\sqrt {1 + {a^2} + {b^2}} }}} \right| = \frac{{23}}{{\sqrt {679} }}\\ \Leftrightarrow \left| {\frac{{1 + 2a + 4\left( {7a - 10} \right)}}{{\sqrt {21} .\sqrt {1 + {a^2} + {{\left( {7a - 10} \right)}^2}} }}} \right| = \frac{{23}}{{\sqrt {679} }}\\ \Leftrightarrow \left| {\frac{{30a - 39}}{{\sqrt {21} .\sqrt {50{a^2} - 140a + 101} }}} \right| = \frac{{23}}{{\sqrt {679} }}\\ \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {30a - 39} \right)}^2}}}{{21\left( {50{a^2} - 140a + 101} \right)}} = \frac{{529}}{{679}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 679\left( {900{a^2} - 2340a + 1521} \right) = 11109\left( {50{a^2} - 140a + 101} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a =  - 1\\a = \frac{{85}}{{53}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a =  - 1\\b =  - 17\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{85}}{{53}}\\b = \frac{{65}}{{53}}\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left( T \right):x - y - 17z + {d_1} = 0\\\left( T \right):\,\,53x + 85y + 65z + {d_2} = 0\end{array} \right.\end{array}\)

Lấy \(M\left( -4;3;0 \right)\in \left( \Delta  \right)\Rightarrow M\in \left( T \right)\), thay vào ta có : \(\left[ \begin{array}{l}\left( T \right):x - y - 17z + 7 = 0\\\left( T \right):\,\,53x + 85y + 65z - 43 = 0\end{array} \right.\)

Phương trình mặt phẳng (P) song song và cách đều hai mặt phẳng \(\left( {{Q}_{1}} \right)\) và \(\left( {{Q}_{2}} \right)\) là mặt phẳng song song và nằm chính giữa \(\left( {{Q}_{1}} \right)\) và \(\left( {{Q}_{2}} \right)\).

Ta có \(\frac{2+8}{2}=5\Rightarrow \left( P \right):\,\,3x-y+4z+5=0\)

Vì  \({d_{(A,(P))}} = 3{d_{(B,(P))}}\)  nên AB cắt (P) tại điểm I \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\overrightarrow {AI}  = 3\overrightarrow {BI} \\\overrightarrow {AI}  =  - 3\overrightarrow {BI} \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}I\left( { - 4; - 1;3} \right)\\I\left( { - 1;2;0} \right)\end{array} \right.\)

Vì có vô số mặt phẳng (P) chứa C, D và khoảng cách từ A đến (P) gắp 3 lần khoảng cách từ B đến (P) nên I, C, D  thẳng hàng hay \(D = IC \cap (\alpha )\)

+ Nếu \(I\left( { - 4; - 1;3} \right) \Rightarrow  {IC} :\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 6t\\y = t\\z = 1 - 2t\end{array} \right. \)

Thay các tọa độ trên vào phương trình \((\alpha) \) ta được:

$3\left( {2 + 6t} \right) + 4t + 5\left( {1 - 2t} \right) + 1 = 0 $ $\Leftrightarrow 12t + 12 = 0 \Leftrightarrow t = - 1$

\(\Rightarrow D\left( { - 4; - 1;3} \right)\) ( thỏa mãn )

+  Nếu \(I( - 1;2;0) \Rightarrow {IC} :\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y =  - 2t\\z = 1 + t\end{array} \right. \)

Thay các tọa độ trên vào phương trình \((\alpha) \) ta được:

$3\left( {2 + 3t} \right) + 4.(-2t) + 5\left( {1 +t} \right) + 1 = 0 $ $\Leftrightarrow 6t + 12 = 0 \Leftrightarrow t = - 2$

\(\Rightarrow D\left( { - 4;4; - 1} \right)\) ( loại)

 Vậy \(D\left( { - 4; - 1;3} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 4\\b =  - 1\\c = 3\end{array} \right. \Rightarrow S = 16 + 1 + 9 = 26\)

(P) là mặt phẳng đi qua điểm M và cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất khi và chỉ khi (P) là mặt phẳng qua M và nhận \(\overrightarrow{OM}\) là 1 VTPT.

Ta có: \(\overrightarrow{OM}\left( 1;3;-2 \right)\)

Phương trình mặt phẳng (P):  \(1(x-1)+3(y-3)-2(z+2)=0\Leftrightarrow x+3y-2z-14=0\)

Cho \(x=z=0\Rightarrow y=\frac{14}{3}\Rightarrow \)(P) cắt Oy tại điểm \(B\left( 0;\frac{14}{3};0 \right)\).

\((P):x+2y-2z+2018=0\) có 1 VTPT: \(\overrightarrow{{{n}_{1}}}\left( 1;2;-2 \right)\)

\((Q):x+my+(m-1)z+2017=0\) có 1 VTPT: \(\,\overrightarrow{{{n}_{2}}}\left( 1;m;m-1 \right)\)

Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q):

\(\begin{align}  \cos \left( \widehat{\left( P \right),\,\left( Q \right)} \right)=\cos \left( \widehat{\overrightarrow{{{n}_{1}}};\overrightarrow{{{n}_{2}}}} \right)=\frac{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}}.\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right|}{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}} \right|.\left| \overrightarrow{{{n}_{2}}} \right|} \\  =\frac{\left| 1.1+2.m-2.(m-1) \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{2}^{2}}}.\sqrt{{{1}^{2}}+{{m}^{2}}+{{(m-1)}^{2}}}}=\frac{1}{\sqrt{2{{m}^{2}}-2m+2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{{{(2m-1)}^{2}}+3}} \\  \Rightarrow 0<\cos \left( \widehat{\left( P \right),\,\left( Q \right)} \right)\le \sqrt{\frac{2}{3}}\,\,\,\forall m\in R \\ \end{align}\),

Với \(0\le \alpha \le {{90}^{0}}\Rightarrow {{\alpha }_{\min }}\Leftrightarrow \cos {{\alpha }_{\max }}\)

\(\Rightarrow {{\left( \widehat{(P),(Q)} \right)}_{\min }}\) khi và chỉ khi \(\cos {{\left( \widehat{\left( P \right),\,\left( Q \right)} \right)}_{\max }}=\sqrt{\frac{2}{3}}\Leftrightarrow 2m-1=0\Leftrightarrow m=\frac{1}{2}\)

Khi đó, \((Q):x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}z+2017=0\Leftrightarrow 2x+y-z+4034=0\).

 Ta thấy : \(2.(-2017)+1-1+4034=0\Rightarrow M(-2017;1;1)\in \left( Q \right)\)

Phương trình mặt phẳng $(ABC)$ : \(\dfrac{x}{{ - 3}} + \dfrac{y}{{ - 2}} + \dfrac{z}{1} = 1 \Leftrightarrow 2x + 3y - 6z + 6 = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 3\\c = 6\end{array} \right. \Rightarrow a + b - c =  - 1\)

Vì \(M\) là trực tâm của tam giác \(ABC\)\( \Rightarrow \,\,OM \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow \,\,{\vec n_{\left( {ABC} \right)}} = \overrightarrow {OM}  = \left( {2;1;5} \right)\)

Suy ra phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là \(2\left( {x - 2} \right) + y - 1 + 5\left( {z - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y + 5z - 30 = 0.\)

Khoảng cách từ điểm \(I\left( {1;2;3} \right)\) đến mặt phẳng (P) là \(d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2 + 2 + 15 - 30} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {5^2}} }} = \frac{{11}}{{\sqrt {30} }} = \frac{{11\sqrt {30} }}{{30}}.\)

 Ta có: \(\overrightarrow{AB}=\left( 1;\,\,2;\,-1 \right);\,\,\,\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left( 1;\,\,1;\,\,1 \right).\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{Q}}}=\left[ \overrightarrow{AB};\,\,\overrightarrow{{{n}_{P}}} \right]=\left( \left| \begin{matrix} 2  \\ 1  \\\end{matrix}\,\,\,\,\,\,\,\begin{matrix}-1  \\1  \\\end{matrix} \right|;\left| \begin{matrix}-1  \\1  \\\end{matrix}\,\,\,\,\,\,\,\begin{matrix} 1  \\1  \\\end{matrix} \right|;\left| \begin{matrix}1  \\1  \\ \end{matrix}\,\,\,\,\,\,\,\begin{matrix} 2  \\1  \\\end{matrix} \right| \right)=\left( 3;-2;-1 \right).\)

Phương trình mặt phẳng (Q) đi qua \(A\left( 1;-1;\,2 \right)\) và có VTPT \(\overrightarrow{{{n}_{Q}}}=\left( 3;-2;-1 \right)\) là:

\(3\left( x-1 \right)-2\left( y+1 \right)-1\left( z-2 \right)=0\Leftrightarrow 3x-2y-z-3=0.\)