Câu hỏi:
2 năm trước
Trong không gian Oxyz, cho 2 mặt phẳng \((P):x+2y-2z+2018=0\), \((Q):x+my+(m-1)z+2017=0\) (m là tham số thực). Khi hai mặt phẳng (P) và (Q) tạo với nhau một góc nhỏ nhất thì điểm M nào dưới đây nằm trong (Q) ?
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
\((P):x+2y-2z+2018=0\) có 1 VTPT: \(\overrightarrow{{{n}_{1}}}\left( 1;2;-2 \right)\)
\((Q):x+my+(m-1)z+2017=0\) có 1 VTPT: \(\,\overrightarrow{{{n}_{2}}}\left( 1;m;m-1 \right)\)
Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q):
\(\begin{align} \cos \left( \widehat{\left( P \right),\,\left( Q \right)} \right)=\cos \left( \widehat{\overrightarrow{{{n}_{1}}};\overrightarrow{{{n}_{2}}}} \right)=\frac{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}}.\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right|}{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}} \right|.\left| \overrightarrow{{{n}_{2}}} \right|} \\ =\frac{\left| 1.1+2.m-2.(m-1) \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{2}^{2}}}.\sqrt{{{1}^{2}}+{{m}^{2}}+{{(m-1)}^{2}}}}=\frac{1}{\sqrt{2{{m}^{2}}-2m+2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{{{(2m-1)}^{2}}+3}} \\ \Rightarrow 0<\cos \left( \widehat{\left( P \right),\,\left( Q \right)} \right)\le \sqrt{\frac{2}{3}}\,\,\,\forall m\in R \\ \end{align}\),
Với \(0\le \alpha \le {{90}^{0}}\Rightarrow {{\alpha }_{\min }}\Leftrightarrow \cos {{\alpha }_{\max }}\)
\(\Rightarrow {{\left( \widehat{(P),(Q)} \right)}_{\min }}\) khi và chỉ khi \(\cos {{\left( \widehat{\left( P \right),\,\left( Q \right)} \right)}_{\max }}=\sqrt{\frac{2}{3}}\Leftrightarrow 2m-1=0\Leftrightarrow m=\frac{1}{2}\)
Khi đó, \((Q):x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}z+2017=0\Leftrightarrow 2x+y-z+4034=0\).
Ta thấy : \(2.(-2017)+1-1+4034=0\Rightarrow M(-2017;1;1)\in \left( Q \right)\)
Hướng dẫn giải:
Cho \(\left( \alpha \right):{{a}_{1}}x+{{b}_{1}}y+{{c}_{1}}z+{{d}_{1}}=0,\,\,\,\left( \beta \right):{{a}_{2}}x+{{b}_{2}}y+{{c}_{2}}z+{{d}_{2}}=0\) nhận \(\overrightarrow{{{n}_{1}}}=({{a}_{1}};{{b}_{1}};{{c}_{1}}),\,\,\overrightarrow{{{n}_{2}}}=({{a}_{2}};{{b}_{2}};{{c}_{2}})\) lần lượt là các VTPT. Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right),\left( \beta \right)\) được tính:
\(\cos \left( \widehat{\left( \alpha \right),\,\left( \beta \right)} \right)=\cos \left( \widehat{\overrightarrow{{{n}_{1}}};\overrightarrow{{{n}_{2}}}} \right)=\frac{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}}.\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right|}{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}} \right|.\left| \overrightarrow{{{n}_{2}}} \right|}\)
Với \(0\le \alpha \le {{90}^{0}}\Rightarrow {{\alpha }_{\min }}\Leftrightarrow \cos {{\alpha }_{\max }}\)
