Trong không gian Oxyz, cho điểm \(M(1;2;3)\). Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng (P) đi qua M và cắt trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho OA = 2OB = 3OC > 0.

Gọi tọa độ các giao điểm : \(A(a;0;0),\,\,B(0;b;0),\,\,C(0;0;c),\) \(\left( a;b;c\ne 0 \right)\)

Khi đó phương trình mặt phẳng (P) có dạng đoạn chắn: \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\)

\(M(1;2;3)\in \left( P \right)\) \(\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}=1\,\,\,(1)\)

Vì OA = 2OB = 3OC > 0 nên \(\left| a \right|=2\left| b \right|=3\left| c \right|>0\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  a=2b=3c \\  a=-2b=3c \\  a=2b=-3c \\  -a=2b=3c \\ \end{align} \right.\)

TH1: \(a=2b=3c\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{a}{2}\\c = \dfrac{a}{3}\end{array} \right.\)

Thay vào (1) được: \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{{a/2}} + \dfrac{3}{{a/3}} = 1\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{a} + \dfrac{4}{a} + \dfrac{9}{a} = 1\) \( \Leftrightarrow \dfrac{{14}}{a} = 1 \Leftrightarrow a = 14 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 7\\c = \dfrac{{14}}{3}\end{array} \right.\)

Ta được \(\left( P \right):\dfrac{x}{{14}} + \dfrac{y}{7} + \dfrac{z}{{14/3}} = 1\)

TH2: \(a=-2b=3c\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{{ - a}}{2}\\c = \dfrac{a}{3}\end{array} \right.\)

Thay vào (1) được: \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{{ - a/2}} + \dfrac{3}{{a/3}} = 1\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{a} - \dfrac{4}{a} + \dfrac{9}{a} = 1\) \( \Leftrightarrow \dfrac{6}{a} = 1 \Leftrightarrow a = 6 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b =  - 3\\c = 2\end{array} \right.\)

Ta được \(\left( P \right):\dfrac{x}{6} + \dfrac{y}{{ - 3}} + \dfrac{z}{2} = 1\)

TH3:  \(a=2b=-3c\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{a}{2}\\c = \dfrac{{ - a}}{3}\end{array} \right.\)

Thay vào (1) được: \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{{a/2}} + \dfrac{3}{{ - a/3}} = 1\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{a} + \dfrac{4}{a} - \dfrac{9}{a} = 1\) \( \Leftrightarrow \dfrac{{ - 4}}{a} = 1 \Leftrightarrow a =  - 4 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b =  - 2\\c = \dfrac{4}{3}\end{array} \right.\)

Ta được \(\left( P \right):\dfrac{x}{{ - 4}} + \dfrac{y}{{ - 2}} + \dfrac{z}{{4/3}} = 1\)

TH4: \(-a=2b=3c\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{{ - a}}{2}\\c = \dfrac{{ - a}}{3}\end{array} \right.\)

Thay vào (1) được: \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{{ - a/2}} + \dfrac{3}{{ - a/3}} = 1\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{a} - \dfrac{4}{a} - \dfrac{9}{a} = 1\) \( \Leftrightarrow \dfrac{{ - 12}}{a} = 1 \Leftrightarrow a =  - 12 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 6\\c = 4\end{array} \right.\)

Ta được \(\left( P \right):\dfrac{x}{{ - 12}} + \dfrac{y}{6} + \dfrac{z}{4} = 1\)

Vậy, có \(4\) mặt phẳng (P) thỏa mãn yêu cầu đề bài.