Câu hỏi:
2 năm trước
Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$, cho mặt phẳng \((P)\) đi qua điển \(M(2;3;5)\) cắt các tia $O x, O y, O z$ lần lượt tại ba điểm $A, B, C$ sao cho \(OA,OB,OC\) theo thứ tự lập thành cấp số nhân có công bội bằng 3. Khoảng cách từ \(O\) đến mặt phẳng \((P)\) là
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
Bước 1: Gọi \(A(a;0;0);B(0;b;0);C(0;0;c)\) lần lượt là giao điểm của mặt phẳng \((P)\) với các trục $O x, O y, O z$.
Phương trình mặt phẳng \((P)\) là: \(\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1\).
Vì \(M(2;3;5) \in (P)\)\( \Rightarrow \dfrac{2}{a} + \dfrac{3}{b} + \dfrac{5}{c} = 1(*)\).
Bước 2: Sử dụng giả thiết biểu diễn b và c theo a. Tìm (P). Tính \(d\left( {O,\left( P \right)} \right)\)
Ta có $OA=a, OB=b, OC=c$.
Mà \(OA,OB,OC\) theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội \(q = 3\).
Khi đó ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = aq}\\{c = a{q^2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = 3a}\\{c = 9a}\end{array}} \right.} \right.\)
Suy ra \((*) \Leftrightarrow \dfrac{2}{a} + \dfrac{3}{{3a}} + \dfrac{5}{{9a}} = 1 \Leftrightarrow a = \dfrac{{32}}{9}\).
Với \(a = \dfrac{{32}}{9} \Rightarrow b = \dfrac{{32}}{3};c = 32\).
Phương trình mặt phẳng \((P)\) là: \(\dfrac{9}{{32}}x + \dfrac{3}{{32}}y + \dfrac{1}{{32}}z = 1\)\( \Leftrightarrow 9x + 3y + z - 32 = 0\).
\(d\left( {O,\left( P \right)} \right) = \dfrac{{| - 32|}}{{\sqrt {{9^2} + {3^2} + {1^2}} }} = \dfrac{{32}}{{\sqrt {91} }}.\)
Hướng dẫn giải:
Bước 1: Gọi \(A(a;0;0);B(0;b;0);C(0;0;c)\) lần lượt là giao điểm của mặt phẳng \((P)\) với các trục $O x, O y, O z$.
Bước 2: Sử dụng giả thiết biểu diễn b và c theo a. Tìm (P). Tính \(d\left( {O,\left( P \right)} \right)\)
