Các dạng toán viết phương trình mặt phẳng

Gọi mặt phẳng cần tìm là \(\left( \alpha  \right)\).

(P): \(x+3y-2z-1=0\) có một VTPT \(\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}\left( 1;3;-2 \right)=\overrightarrow{{{u}_{1}}}\). Vì \(\left( \alpha  \right)\bot (P)\Rightarrow {{\overrightarrow{n}}_{\left( \alpha  \right)}}\bot {{\overrightarrow{n}}_{\left( P \right)}}\)

\(AB\subset \left( \alpha  \right)\Rightarrow {{\overrightarrow{n}}_{\left( \alpha  \right)}}\bot \overrightarrow{AB}=\left( -1;-2;3 \right)=\overrightarrow{u_2}\)

Khi đó, \(\left( \alpha  \right)\)có một vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]=(5;-1;1)\)

Phương trình \(\left( \alpha  \right)\): \(5.(x-2)-1.(y-1)+1.(z-0)=0\Leftrightarrow 5x-y+z-9=0\)

Gọi \(\left( P \right):\,\,x+y+z+a=0\,\,\left( a\ne 3 \right)\) là mặt phẳng song song với mặt phẳng (Q).

\(d\left( M;\left( P \right) \right)=\frac{\left| 6+a \right|}{\sqrt{3}}=3\sqrt{3}\Leftrightarrow \left| 6+a \right|=9\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  a=3\,\,\left( ktm \right) \\a=-15 \\ \end{align} \right.\)

Với \(a=-15\Rightarrow \left( P \right):\,\,x+y+z-15=0\).

\(X\left( a;b;c \right)\in \left( P \right)\Leftrightarrow a+b+c=15\,\,\left( ktm \right)\). Vậy không có mặt phẳng \(\left( P \right)\) nào thỏa mãn điều kiện bài toán.

\(\left( P \right)//\left( Q \right)\Leftrightarrow \frac{2}{1}=\frac{1}{n}=\frac{m}{2}\ne \frac{-2}{8}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m=4 \\  & n=\frac{1}{2} \\ \end{align} \right.\)

Đặt \(\left( \alpha  \right):\ 2x+y+mz-1=0.\)

Ta có: \(d\left( A;\ \left( \alpha  \right) \right)=\frac{\left| 2.1+2+3.m-1 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}+{{m}^{2}}}}=\frac{\left| 3+3m \right|}{\sqrt{{{m}^{2}}+5}}.\)

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \left( {2;\;2;\;1} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{2^2} + {2^2} + 1}  = 3.\\ \Rightarrow d\left( {A;\left( \alpha  \right)} \right) = AB \Leftrightarrow \frac{{\left| {3 + 3m} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 5} }} = 3\\ \Leftrightarrow \left| {m + 1} \right| = \sqrt {{m^2} + 5} \\ \Leftrightarrow {m^2} + 2m + 1 = {m^2} + 5\\ \Leftrightarrow m = 2.\end{array}\)

Ta có: \(\overrightarrow{OA}=\left( -1;-2;0 \right)\)

\(\left( P \right)\) cách đều \(B,C\Leftrightarrow d\left( B;\left( P \right) \right)=d\left( C;\left( P \right) \right)\)

TH1: \(BC//\left( P \right)\)

\(\overrightarrow{BC}=\left( 0;4;-3 \right)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{OA};\overrightarrow{BC} \right]=\left( 6;-3;-4 \right)\Rightarrow \left( P \right)\) đi qua O và nhận \(\overrightarrow{b}=\left( 6;-3;-4 \right)\) là 1 VTPT

\(\Rightarrow \left( P \right):\,\,6x-3y-4z=0\Leftrightarrow \left( P \right):\,\,-6x+3y+4z=0\)

TH2: \(I\in \left( P \right)\), với I là trung điểm của \(BC\).

\(\begin{align}I\left( 0;-2;-\frac{3}{2} \right)\Rightarrow \overrightarrow{OI}=\left( 0;-2;-\frac{3}{2} \right)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{OA};\overrightarrow{OI} \right]=\frac{1}{2}\left( 6;-3;4 \right) \\~\Rightarrow \left( P \right):\,\,6x-3y+4z=0 \\\end{align}\)

Do đó có hai mặt phẳng thỏa mãn là: $-6x+3y+4z=0$ và $6x-3y+4z=0$.

Dựa vào các đáp án ta chọn được đáp án B.

 Lấy \(M\left( 6;0;0 \right)\in \left( P \right)\) ta có: (P) // (Q) \(\Rightarrow d\left( \left( P \right);\left( Q \right) \right)=d\left( M;\left( Q \right) \right)=\frac{\left| 6+3 \right|}{\sqrt{1+{{2}^{2}}+{{2}^{2}}}}=3\)

Ta có \({\overrightarrow n _{\left( P \right)}} = \left( {2; - 1;3} \right);\,\,{\overrightarrow n _{\left( Q \right)}} = \left( {1;1;1} \right)\)

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( R \right) \bot \left( P \right)\\\left( R \right) \bot \left( Q \right)\end{array} \right. \Rightarrow {\overrightarrow n _{\left( R \right)}} = \left[ {{{\overrightarrow n }_{\left( P \right)}};{{\overrightarrow n }_{\left( Q \right)}}} \right] = \left( { - 4;1;3} \right)\)

Khi đó mặt phẳng \(\left( R \right)\) có phương trình: \( - 4x + y + 3z + 5 = 0 \Leftrightarrow 4x - y - 3z - 5 = 0\)

Ta có:

\({{\overrightarrow{n}}_{\left( P \right)}}=\left( 2;-1;3 \right);\,\,{{\overrightarrow{n}}_{\left( Q \right)}}=\left( 0;1;0 \right)\Rightarrow {{\overrightarrow{n}}_{\left( R \right)}}=\left[ {{\overrightarrow{n}}_{\left( P \right)}};{{\overrightarrow{n}}_{\left( Q \right)}} \right]=\left( -3;0;2 \right)\) là 1 VTPT của mặt phẳng \(\left( R \right)\).

Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( R \right):\,\,-3\left( x-1 \right)+2\left( z-1 \right)=0\Leftrightarrow 3x-2z-1=0\)

Áp dụng công thức phương trình đoạn chắn ta có phương trình mặt phẳng (MNP) là: \(\frac{x}{-2}+\frac{y}{3}+\frac{z}{5}=1.\)

Vì \(P\) là hình chiếu của \(A\) trên \(Ox\) \( \Rightarrow \,\,P\left( {3;0;0} \right).\)

Suy ra phương trình mặt phẳng là \(\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{2} + \dfrac{z}{1} = 1.\)

\(\left( \alpha  \right)\) là mặt phẳng đi qua \(M(1;-1;2)\) và chứa trục Ox\(\Rightarrow \left( \alpha  \right)\)nhận \(\overrightarrow{i}(1;0;0),\,\,\overrightarrow{OM}=(1;-1;2)\) là cặp vecto chỉ phương \(\Rightarrow \overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{i};\overrightarrow{OM} \right]=(0;-2;-1)\) là một vecto pháp tuyến của \(\left( \alpha  \right)\).

\(\left( \alpha  \right)\): \(0.(x-0)-2.(y-0)-1\left( z-0 \right)=0\Leftrightarrow 2y+z=0\)

Dễ dàng kiểm tra \(N(2;2;-4)\in \left( \alpha  \right)\)

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB.\) Ta có: \(I\left( -1;2;3 \right),\,\overrightarrow{AB}\left( -4;0;12 \right)\)

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(AB\) có phương trình là: \(\left( P \right):-4\left( x+1 \right)+0\left( y-2 \right)+12\left( z-3 \right)=0\) hay \(\left( P \right):x-3z+10=0.\)

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\Rightarrow \) tọa độ của điểm \(I\left( -1;\ 3;\ 0 \right)\)

Ta có:\(\overrightarrow{AB}=\left( -8  ;\ 2;\ 2 \right)=-2\left( 4;-1;-1 \right).\)

Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn \(AB\) có vecto pháp tuyến \(-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}=(4;-1;-1)\) và đi qua điểm \(I\) là:

\(4\left( x+1 \right)-\left( y-3 \right)-z=0\Leftrightarrow 4x-y-z+7=0\)  

Mặt phẳng trung trực của AB đi qua I(-1;0;1) là trung điểm của AB và nhận \(\overrightarrow {AB} ( - 4; - 4; - 4)\) hay \(\left( {1;1;1} \right)\) làm VTPT. Khi đó, phương trình mặt phẳng trung trực của AB: \(1(x + 1) + 1(y - 0) + 1(z - 1) = 0 \Leftrightarrow x + y + z = 0\)

Gọi I là trung trực của AB ta có \( \Rightarrow I\left( {1; - 1;1} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {8; - 6;0} \right) =  - 2\left( {4; - 3;0} \right) \Rightarrow \left( P \right)\) đi qua I và nhận \(\overrightarrow n  = \left( {4; - 3;0} \right)\). Vậy phương trình mặt phẳng (P) là \(4\left( {x - 1} \right) - 3\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x - 3y - 7 = 0\)

\((P)//(Q):z+2y+3z+2=0\Rightarrow (P):x+2y+3z+m=0,\,\,m\ne 2\)

Mà \(A(2;1;3)\in (P)\Rightarrow 2+2.1+3.3+m=0\Leftrightarrow m=-13\) (thỏa mãn) \(\Rightarrow (P):x+2y+3z-13=0\)

Mặt phẳng song song với (P) có dạng \(\left( Q \right):\,\,x - 2y - z + D = 0\,\,\left( {D \ne 1} \right)\)

\(M \in \left( Q \right) \Rightarrow 1 + 2 - 2 + D = 0 \Leftrightarrow D =  - 1\,\,\left( {tm} \right)\)

Vậy phương trình mặt phẳng thỏa mãn là \(\left( Q \right):\,\,x - 2y - z - 1 = 0\).

(P)// (Q) \(\Rightarrow (P):x+2y-3z+m=0,\,\,(m\ne -15)\)

(P) đi qua \(E(1;2;-3)\) \(\Rightarrow 1+2.2-3.\left( -3 \right)+m=0\Leftrightarrow m=-14\) \(\Rightarrow (P):x+2y-3z-14=0\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(M\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \) là

\(1\left( {{\rm{x}} - 2} \right) + 3\left( {y + 1} \right) + 4\left( {z - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x + 3y + 4{\rm{z}} - 3 = 0\)

Mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,2x-3y+z-2018=0\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow{n}=\left( 2;-3;1 \right)\).