Dạng lượng giác của số phức

- Số phức $z = r\left( {\cos \varphi  + i\sin \varphi } \right)$ là dạng lượng giác của $z$, ở đó:

+ $r$ là mô đun của số phức.

+ $\varphi$ là acgumen của số phức.

- Số phức $z = r\left( {\cos \varphi  + i\sin \varphi } \right)$ là dạng lượng giác của $z$, ở đó:

+ $r$ là mô đun của số phức.

+ $\varphi$ là acgumen của số phức.

- Nếu $\varphi$ là một acgumen của $z$ thì $\varphi  + k2\pi$ cũng là một acgumen của $z$ với mỗi $k \in Z$.

Vì $z = r\left( {\cos \dfrac{\pi }{4} + i\sin \dfrac{\pi }{4}} \right)$ nên $\varphi  = \dfrac{\pi }{4}$ là 1 acgumen của $z$.

Do đó $\dfrac{\pi }{4} + k2\pi$ cũng là 1 acgumen của $z$.

Ta có: $- \dfrac{\pi }{4} - \dfrac{\pi }{4} =  - \dfrac{\pi }{2} \ne k2\pi ,\forall k \in Z$ nên A sai.

$- \dfrac{{5\pi }}{4} - \dfrac{\pi }{4} =  - \dfrac{{3\pi }}{2} \ne k2\pi ,\forall k \in Z$ nên B sai.

$\dfrac{{5\pi }}{4} - \dfrac{\pi }{4} = \pi  \ne k2\pi ,\forall k \in Z$ nên C sai.

$\dfrac{{9\pi }}{4} - \dfrac{\pi }{4} = 2\pi$ nên D đúng.

Số phức $z$ có mô đun $r = 3$ và acgumen $\varphi  =  - \dfrac{\pi }{3}$ thì có dạng lượng giác là $z = 3\left( {\cos \left( { - \dfrac{\pi }{3}} \right) + i\sin \left( { - \dfrac{\pi }{3}} \right)} \right)$

Ta có:

$z =  - r\left( {\cos \varphi  + i\sin \varphi } \right) = r\left( { - \cos \varphi  - i\sin \varphi } \right) = z = r'\left( {\cos \varphi ' + i\sin \varphi '} \right)$

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}\cos \varphi ' =  - \cos \varphi \\\sin \varphi ' =  - \sin \varphi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos \varphi ' = \cos \left( {\varphi  + \pi } \right)\\\sin \varphi ' = \sin \left( {\varphi  + \pi } \right)\end{array} \right. \Rightarrow \varphi ' = \varphi  + \pi$

Quan sát hình vẽ ta thấy $\left\{ \begin{array}{l}\sin \varphi  = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\\\cos \varphi  = \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \varphi  = \dfrac{\pi }{3}$

Vì $r$ là mô đun của số phức nên $r = \sqrt {{a^2} + {b^2}}$

Ta có: $z = 4\left( {\cos \left( { - \dfrac{\pi }{2}} \right) + i\sin \left( { - \dfrac{\pi }{2}} \right)} \right) = 4\left( {0 + i.\left( { - 1} \right)} \right) =  - 4i$

Ta có: $z = i - 1 =  - 1 + i \Rightarrow a =  - 1;b = 1$

- Tính $r = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}}  = \sqrt 2$.

- Tính $\varphi$ thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l}\cos \varphi  = \dfrac{a}{r} =  - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\\\sin \varphi  = \dfrac{b}{r} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\end{array} \right. \Rightarrow \varphi  = \dfrac{{3\pi }}{4}$

Vậy $z = \sqrt 2 \left( {\cos \dfrac{{3\pi }}{4} + i\sin \dfrac{{3\pi }}{4}} \right)$.

Số phức $z$ có điểm biểu diễn là $M$ thì $\overline z$ có điểm biểu diễn là $M'$ đối xứng với $M$ qua $Ox$. Do đó $- \varphi$ là một argument của $\overline z$.

Số phức $z=a+bi$ được viết dưới dạng lượng giác là $z = r.\left( {\cos \varphi  + i\sin \varphi } \right)$

Với $r = \left| z \right|$ và $\varphi$ là argument của $z$.

Khi đó

$\begin{array}{l}\overline z  = r.\left( {\cos \varphi  - i.\sin \varphi } \right)\\ = r.\left[ {\cos \left( { - \varphi } \right) + i.\sin \left( { - \varphi } \right)} \right]\end{array}$

Ta có: $\dfrac{1}{z} = \dfrac{{\overline z }}{{z.\overline z }} = \dfrac{1}{{{{\left| z \right|}^2}}}.\overline z$.

Vì $\dfrac{1}{{{{\left| z \right|}^2}}}$ là số thực nên acgumen của $\dfrac{1}{z}$ cũng là acgumen của $\overline z$.

Mà $- \varphi$ là một acgumen của $\overline z$ nên $- \varphi$ cũng là một acgumen của $\dfrac{1}{z}$.

Ta có: $z =  - 1 =  - 1 + 0i \Rightarrow r = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {0^2}}  = 1$

Acgumen $\varphi$ thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l}\cos \varphi  =  - 1\\\sin \varphi  = 0\end{array} \right. \Rightarrow \varphi  = \pi  + k2\pi$

Quan sát các đáp án ta thấy chỉ có đáp án A thỏa mãn.

Cho hai số phức ${z_1} = {r_1}\left( {\cos {\varphi _1} + i\sin {\varphi _1}} \right),{z_2} = {r_2}\left( {\cos {\varphi _2} + i\sin {\varphi _2}} \right)$.

Khi đó ${z_1}{z_2} = {r_1}{r_2}\left[ {\cos \left( {{\varphi _1} + {\varphi _2}} \right) + i\sin \left( {{\varphi _1} + {\varphi _2}} \right)} \right]$

Ta có:

${z_1} = 3\left( {\cos \dfrac{\pi }{3} + i\sin \dfrac{\pi }{3}} \right),{z_2} = 2\left( {\cos \dfrac{\pi }{4} + i\sin \dfrac{\pi }{4}} \right)$

$\Rightarrow \dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \dfrac{3}{2}\left[ {\cos \left( {\dfrac{\pi }{3} - \dfrac{\pi }{4}} \right) + i\sin \left( {\dfrac{\pi }{3} - \dfrac{\pi }{4}} \right)} \right] = \dfrac{3}{2}\left( {\cos \dfrac{\pi }{{12}} + i\sin \dfrac{\pi }{{12}}} \right)$

Cho số phức $z = r\left( {\cos \varphi  + i\sin \varphi } \right)$. Khi đó ${z^n} = {\left[ {r\left( {\cos \varphi  + i\sin \varphi } \right)} \right]^n} = {r^n}\left( {\cos n\varphi  + i\sin n\varphi } \right)$

Phương trình ${z^2} + z + 1 = 0$ có $\Delta  = 1-4 = -3$  nên có $2$  nghiệm ${z_1} = \dfrac{{ - 1 + i\sqrt 3 }}{2};{z_2} = \dfrac{{ - 1 - i\sqrt 3 }}{2}$

$\begin{array}{l}z_1^{2017} + z_2^{2017} = {\left( { - \dfrac{1}{2} + i\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^{2017}} + {\left( { - \dfrac{1}{2} - i\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^{2017}}\\ = {\left( {\cos \dfrac{{2\pi }}{3} + i\sin \dfrac{{2\pi }}{3}} \right)^{2017}} + {\left[ {\cos \left( { - \dfrac{{2\pi }}{3}} \right) + i\sin \left( { - \dfrac{{2\pi }}{3}} \right)} \right]^{2017}}\\ = \cos \left( {\dfrac{{2017.2\pi }}{3}} \right) + i\sin \left( {\dfrac{{2017.2\pi }}{3}} \right) + \cos \left( { - \dfrac{{2017.2\pi }}{3}} \right) + i\sin \left( { - \dfrac{{2017.2\pi }}{3}} \right)\\ = 2\cos \dfrac{{4034\pi }}{3} = 2\cos \dfrac{{2\pi }}{3} =  - 1\end{array}$

Ta thấy $z + \dfrac{1}{z} = 1 \Leftrightarrow {z^2} - z + 1 = 0 \Rightarrow z = \dfrac{1}{2} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i$ 

Ta chỉ cần lấy 1 nghiệm do ${z_1}.{z_2} = 1$ và vai trò của ${z_1}$ và ${z_2}$ trong biểu thức ${z^{2017}} + \frac{1}{{{z^{2017}}}}$ là như nhau.

Lại có: $z = \cos \dfrac{\pi }{3} + i\sin \dfrac{\pi }{3} \Rightarrow {z^{2017}} = \cos \dfrac{{2017.\pi }}{3} + i\sin \dfrac{{2017.\pi }}{3} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i$

Suy ra $\dfrac{1}{{{z^{2017}}}} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i$

$\begin{array}{l}{\left( {1 + i} \right)^{19}} = \sum\limits_{k = 0}^{19} {C_9^k{i^k}}  = C_{19}^0{i^0} + C_{19}^1{i^1} + C_{19}^2{i^2} + C_{19}^3{i^3} + ... + C_{19}^{18}{i^{18}} + C_{19}^{19}{i^{19}}\\ = C_{19}^0 + C_{19}^1i - C_{19}^2 - C_{19}^3i + ... - C_{19}^{18} - C_{19}^{19}i\\ = \left( {C_{19}^0 - C_{19}^2 + C_{19}^4 - ... + C_{19}^{16} - C_{19}^{18}} \right) + i\left( {C_{19}^1 - C_{19}^3 + C_{19}^5 - ... + C_{19}^{17} - C_{19}^{19}} \right)\end{array}$

Nên phần thực của ${\left( {1 + i} \right)^{19}}$ là $C_{19}^0 - C_{19}^2 + C_{19}^4 - ... + C_{19}^{16} - C_{19}^{18}$

Lại có:

$\begin{array}{l}1 + i = \sqrt 2 \left( {\cos \dfrac{\pi }{4} + i\sin \dfrac{\pi }{4}} \right)\\ \Rightarrow {\left( {1 + i} \right)^{19}} = {\sqrt 2 ^{19}}\left( {\cos \dfrac{{19\pi }}{4} + i\sin \dfrac{{19\pi }}{4}} \right) = {\sqrt 2 ^{19}}\left( { - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} + i\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) \\ =  - \dfrac{{{{\sqrt 2 }^{20}}}}{2} + \dfrac{{{{\sqrt 2 }^{20}}}}{2}i =  - 512 + 512i\end{array}$

Vậy phần thực của ${\left( {1 + i} \right)^{19}}$ là $- 512$.

Do đó $C_{19}^0 - C_{19}^2 + C_{19}^4 - ... + C_{19}^{16} - C_{19}^{18} =  - 512$

Ta có: $z =  - 2 + 2\sqrt 3 i = 4\left( { - \dfrac{1}{2} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right) = 4\left( {\cos \dfrac{{2\pi }}{3} + i\sin \dfrac{{2\pi }}{3}} \right)$

$\Rightarrow {z^n} = {4^n}\left( {\cos \dfrac{{2n\pi }}{3} + i\sin \dfrac{{2n\pi }}{3}} \right)$

${z^n}$ là số thực $\Leftrightarrow \sin \dfrac{{2n\pi }}{3} = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{2n\pi }}{3} = k\pi  \Leftrightarrow n = \dfrac{{3k}}{2}$

Do $n$ nguyên dương nên $\dfrac{{3k}}{2} \in {N^*} \Leftrightarrow k = 2m,m \in {N^*} \Rightarrow n = \dfrac{{3k}}{2} = \dfrac{{3.2m}}{2} = 3m,m \in {N^*}$

Vậy $n = 3m,m \in {N^*}$.