Giá trị biểu thức $C_{19}^0 - C_{19}^2 + C_{19}^4 - ... + C_{19}^{16} - C_{19}^{18}$ là:

$\begin{array}{l}{\left( {1 + i} \right)^{19}} = \sum\limits_{k = 0}^{19} {C_9^k{i^k}}  = C_{19}^0{i^0} + C_{19}^1{i^1} + C_{19}^2{i^2} + C_{19}^3{i^3} + ... + C_{19}^{18}{i^{18}} + C_{19}^{19}{i^{19}}\\ = C_{19}^0 + C_{19}^1i - C_{19}^2 - C_{19}^3i + ... - C_{19}^{18} - C_{19}^{19}i\\ = \left( {C_{19}^0 - C_{19}^2 + C_{19}^4 - ... + C_{19}^{16} - C_{19}^{18}} \right) + i\left( {C_{19}^1 - C_{19}^3 + C_{19}^5 - ... + C_{19}^{17} - C_{19}^{19}} \right)\end{array}$

Nên phần thực của ${\left( {1 + i} \right)^{19}}$ là $C_{19}^0 - C_{19}^2 + C_{19}^4 - ... + C_{19}^{16} - C_{19}^{18}$

Lại có:

$\begin{array}{l}1 + i = \sqrt 2 \left( {\cos \dfrac{\pi }{4} + i\sin \dfrac{\pi }{4}} \right)\\ \Rightarrow {\left( {1 + i} \right)^{19}} = {\sqrt 2 ^{19}}\left( {\cos \dfrac{{19\pi }}{4} + i\sin \dfrac{{19\pi }}{4}} \right) = {\sqrt 2 ^{19}}\left( { - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} + i\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) \\ =  - \dfrac{{{{\sqrt 2 }^{20}}}}{2} + \dfrac{{{{\sqrt 2 }^{20}}}}{2}i =  - 512 + 512i\end{array}$

Vậy phần thực của ${\left( {1 + i} \right)^{19}}$ là $- 512$.

Do đó $C_{19}^0 - C_{19}^2 + C_{19}^4 - ... + C_{19}^{16} - C_{19}^{18} =  - 512$