Bài toán liên quan đến điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện cho trước

$z = i - 2 =  - 2 + i$ nên điểm biểu diễn là $M\left( { - 2;1} \right)$ 

$\left( {1 + i} \right)z = 3 - i \Rightarrow z = \dfrac{{3 - i}}{{1 + i}} = \dfrac{{\left( {3 - i} \right)\left( {1 - i} \right)}}{{\left( {1 + i} \right)\left( {1 - i} \right)}} = \dfrac{{2 - 4i}}{{{1^2} + {1^2}}} = 1 - 2i \Rightarrow Q\left( {1; - 2} \right)$ là điểm biểu diễn $z$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{z_1} = 2 + i\\{z_2} = 1 - i\end{array} \right.$ $\Rightarrow {z_1} - {z_2} = \left( {2 - 1} \right) + \left( {1 + 1} \right)i = 1 + 2i$

$\Rightarrow N\left( {1;\,2} \right)$ là điểm biểu diễn số phức ${z_1} - {z_2}.$

Dựa vào hình vẽ ta thấy: $M\left( { - 1;\,\,2} \right) \Rightarrow z =  - 1 + 2i$ và $N\left( {2;\,\,1} \right) \Rightarrow {\rm{w}} = 2 + i.$

Khi đó ta có: $z + {\rm{w}} =  - 1 + 2i + 2 + i = 1 + 3i.$

Ta có

${z_1} = 4 - 3i \Rightarrow A\left( {4; - 3} \right)$

${z_2} = \left( {1 + 2i} \right)i =  - 2 + i \Rightarrow B\left( { - 2;1} \right)$

${z_3} = \dfrac{{1 - i}}{{1 + i}} =  - i \Rightarrow C\left( {0; - 1} \right)$

Vì ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC}$.

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2 - 4 = 0 - {x_D}\\1 - \left( { - 3} \right) =  - 1 - {y_D}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 6\\{y_D} =  - 5\end{array} \right.$.

Vậy số phức có điểm biểu diễn là điểm $D\left( {6; - 5} \right)$ có dạng $z = 6 - 5i.$

Bước 1: Giả sử $z = x + yi(x,y \in \mathbb{R})$. Giải $|z - 1 - 2i| \le 1$

Giả sử $z = x + yi(x,y \in \mathbb{R})$. Khi đó

$|z - 1 - 2i| \le 1$ $\Leftrightarrow |(x - 1) + (y - 2)i| \le 1$$\Leftrightarrow \sqrt {{{(x - 1)}^2} + {{(y - 2)}^2}}  \le 1$$\Leftrightarrow {(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} \le 1$

Bước 2: Giải $|z - 1 + 2i| \ge |z + 3 - 2i|$

Và $|z - 1 + 2i| \ge |z + 3 - 2i|$ $\Leftrightarrow \sqrt {{{(x - 1)}^2} + {{(y + 2)}^2}}$$\ge \sqrt {{{(x + 3)}^2} + {{(y - 2)}^2}}$

$\Leftrightarrow {(x - 1)^2} + {(y + 2)^2}$$\ge {(x + 3)^2} + {(y - 2)^2}$$\Leftrightarrow y \ge x + 1$

Bước 3: Gọi $(T)$ là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng $d:y = x + 1$, không chứa gốc tọa độ $O(0;0)$. Tính S.

Gọi $(T)$ là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng $d:y = x + 1$, không chứa gốc tọa độ $O(0;0)$. Khi đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn đề là nửa hình tròn $(C)$ tâm $I(1;2)$, bán kính $R = 1$ và thuộc $(T)$. Vì đường thẳng $d$ đi qua tâm $I(1;2)$ của hình tròn $(C)$ nên diện tích cần tìm là một nửa diện tích hình tròn $(C)$. Do đó $S = \dfrac{\pi }{2}$.

Đặt $z = a + bi$

Ta có $\left| {z + 2 - i} \right| = 2\sqrt 2  \Rightarrow {\left( {a + 2} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} = 8$  (*)

Mặt khác ${\left( {z - i} \right)^2} = {\left( {a + bi - i} \right)^2} = {a^2} - {\left( {b - 1} \right)^2} + 2a\left( {b - 1}\right)i$ là một số thực nên $2a\left( {b - 1} \right) = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = 0\\ b - 1 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = 0\\ b = 1 \end{array} \right.$

Với a=0, (*) trở thành: 

${\left( {b - 1} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} b = 3\\ b = - 1 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} z = 3i\\ z = - i \end{array} \right.$

Với b=1, (*) trở thành:

${\left( {a + 2} \right)^2} = 8 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = - 2 + 2\sqrt 2 \\ a = - 2 - 2\sqrt 2 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} z = - 2 + 2\sqrt 2 + i\\ z = - 2 - 2\sqrt 2 + i \end{array} \right.$

Vậy có 4 số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Điểm $M\left( { - 2;3} \right)$ là điểm biểu diễn của số phức ${z_1} =  - 2 + 3i$.

Ta có:

${z_1} = 5 - i \Rightarrow A\left( {5; - 1} \right)$.

${z_2} = {\left( {4 + i} \right)^2} = 15 + 8i \Rightarrow B\left( {15;8} \right)$.

${z_3} = {\left( {2i} \right)^3} =  - 8i \Rightarrow C\left( {0; - 8} \right)$.

Ta có

$\begin{array}{l}AB = \sqrt {{{10}^2} + {9^2}}  = \sqrt {181} \\AC = \sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2} + {{\left( { - 7} \right)}^2}}  = \sqrt {74} \\BC = \sqrt {{{\left( { - 15} \right)}^2} + {{\left( { - 16} \right)}^2}}  = \sqrt {481} \end{array}$

Gọi $p$ là nửa chu vi tam giác $ABC$ ta có: $p = \dfrac{{AB + AC + BC}}{2} = \dfrac{{\sqrt {181}  + \sqrt {74}  + \sqrt {481} }}{2}$.

Vậy diện tích tam giác $ABC$ là: $S = \sqrt {p\left( {p - AB} \right)\left( {p - AC} \right)\left( {p - BC} \right)}  = \dfrac{{25}}{2}$.

Gọi $A$ là điểm biểu diễn số phức, suy ra $\left\{ \begin{array}{l}{x_A} = 2\\{y_A} =  - 3\end{array} \right.$.

Vậy $A\left( {2; - 3} \right)$.

Số phức $z = 3 - 4i$ biểu diễn điểm có tọa độ là $\left( {3; - 4} \right)$, đây chính là điểm D.

Dựa vào hình vẽ ta thấy

Điểm $M$ là điểm biểu diễn số phức ${z_1}\, = \,1 + 2i.$

Điểm $Q$ là điểm biểu diễn số phức ${z_4}\, = \,1 - 2i.$

Điểm $N$ là điểm biểu diễn số phức ${z_2} = \, - 1 + 2i.$

Điểm $P$ là điểm biểu diễn số phức ${z_3}\, = \, - 1 - 2i.$

$\overline z = 2 - 5i \Rightarrow w = i\left( {2 + 5i} \right) + 2 - 5i =  - 3 - 3i$.

Đặt $z = a + bi{\rm{ }}\left( {a;{\rm{ }}b \in \mathbb{R}} \right)$, suy ra $\bar z = a - bi$.

Theo giả thiết, ta có $\left( {1 - i} \right)\left( {a + bi} \right) + 2i\left( {a - bi} \right) = 5 + 3i \Leftrightarrow \left( {a + 3b - 5} \right) + \left( {a + b - 3} \right)i = 0$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 3b - 5 = 0\\a + b - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 1\end{array} \right.$ $\Rightarrow z = 2 + i \Rightarrow \bar z = 2 - i$

Vậy $w = z + 2\bar z = \left( {2 + i} \right) + 2\left( {2 - i} \right) = 6 - i$.

Đặt $z = x + yi{\rm{ }}\left( {x;{\rm{ }}y \in \mathbb{R}} \right)$, suy ra $iz = i\left( {x + yi} \right) =  - y + xi$ $\Rightarrow \overline {iz}  =  - y - xi$

Theo giả thiết, ta có $x + yi + 2 - 4i = \left( {2 - i} \right)\left( { - y - xi} \right)$

$\Leftrightarrow x + 2 + \left( {y - 4} \right)i = \left( { - 2y - x} \right) + \left( {y - 2x} \right)i$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2 =  - 2y - x\\y - 4 = y - 2x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y =  - 3\end{array} \right. \Rightarrow z = 2 - 3i$

Khi đó $w = {z^3} - i = {\left( {2 - 3i} \right)^3} - i =  - 46 - 10i$.

Gọi ${z_1} = m.i{\rm{ }}\left( {m \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}z_1^2 = {\left( {m.i} \right)^2} = {m^2}.{i^2} =  - {m^2}\\\left| {{z_1}} \right| = \sqrt {{0^2} + {m^2}}  = \left| m \right| \Rightarrow {\left| {{z_1}} \right|^2} = {m^2}\end{array} \right..$

Khi đó $z = z_1^2 + {\left| {{z_1}} \right|^2} =  - {m^2} + {m^2} = 0$.

$2{z_1} + {z_2} = 2\left( {2 - i} \right) + 1 + i = 4 - 2i + 1 + i = 5 - i$.

Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy,$ điểm biểu diễn số phức $2{z_1} + {z_2}$ có tọa độ là $\left( {5; - 1} \right)$.

Ta có $\dfrac{{1 - i}}{{z + 1}} = 1 + i \Leftrightarrow z + 1 = \dfrac{{1 - i}}{{1 + i}}$ $\Leftrightarrow z + 1 =  - i \Rightarrow z =  - 1 - i$

Suy ra $w = {z^3} + 1 = {\left( { - 1 - i} \right)^3} + 1 =  - {\left( {1 + i} \right)^3} + 1 = 3 - 2i$

$\Rightarrow M\left( {3; - 2} \right)$

Gọi $z = x + yi{\rm{ }}\left( {x;{\rm{ }}y \in \mathbb{R}} \right)$ được biểu diễn bởi $A$.

Từ giả thiết, ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 1\\x > 0;{\rm{ }}y > 0\end{array} \right..$

Ta có $w = \dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{{x + yi}} = \dfrac{{x - yi}}{{{x^2} + {y^2}}} = x - yi = \bar z$.

Vì hai số phức $z$ và $\bar z$ có điểm biểu diễn đối xứng qua trục hoành nên ta chọn điểm $Q$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Gọi $z = x + yi\,\,\left( {x,\,\,y \in \mathbb{R}} \right)$, khi đó ta có:

$\begin{array}{l}\left| {x + yi + 2 + i} \right| = \left| {x - yi + i} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = {x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 4x + 4 + 2y + 1 =  - 2y + 1\\ \Leftrightarrow 4x + 4y + 4 = 0\\ \Leftrightarrow x + y + 1 = 0\end{array}$

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ là đường thẳng có phương trình $x + y + 1 = 0$.