Bài toán liên quan đến điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện cho trước

$z = i - 2 =  - 2 + i$ nên điểm biểu diễn là $M\left( { - 2;1} \right)$ 

$\left( {1 + i} \right)z = 3 - i \Rightarrow z = \dfrac{{3 - i}}{{1 + i}} = \dfrac{{\left( {3 - i} \right)\left( {1 - i} \right)}}{{\left( {1 + i} \right)\left( {1 - i} \right)}} = \dfrac{{2 - 4i}}{{{1^2} + {1^2}}} = 1 - 2i \Rightarrow Q\left( {1; - 2} \right)$ là điểm biểu diễn $z$.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} = 2 + i\\{z_2} = 1 - i\end{array} \right.\) \( \Rightarrow {z_1} - {z_2} = \left( {2 - 1} \right) + \left( {1 + 1} \right)i = 1 + 2i\)

\( \Rightarrow N\left( {1;\,2} \right)\) là điểm biểu diễn số phức \({z_1} - {z_2}.\)

Dựa vào hình vẽ ta thấy: \(M\left( { - 1;\,\,2} \right) \Rightarrow z =  - 1 + 2i\) và \(N\left( {2;\,\,1} \right) \Rightarrow {\rm{w}} = 2 + i.\)

Khi đó ta có: \(z + {\rm{w}} =  - 1 + 2i + 2 + i = 1 + 3i.\)

Ta có

\({z_1} = 4 - 3i \Rightarrow A\left( {4; - 3} \right)\)

\({z_2} = \left( {1 + 2i} \right)i =  - 2 + i \Rightarrow B\left( { - 2;1} \right)\)

\({z_3} = \dfrac{{1 - i}}{{1 + i}} =  - i \Rightarrow C\left( {0; - 1} \right)\)

Vì ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC} \).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2 - 4 = 0 - {x_D}\\1 - \left( { - 3} \right) =  - 1 - {y_D}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 6\\{y_D} =  - 5\end{array} \right.\).

Vậy số phức có điểm biểu diễn là điểm \(D\left( {6; - 5} \right)\) có dạng \(z = 6 - 5i.\)

Bước 1: Giả sử \(z = x + yi(x,y \in \mathbb{R})\). Giải \(|z - 1 - 2i| \le 1\)

Giả sử \(z = x + yi(x,y \in \mathbb{R})\). Khi đó

\(|z - 1 - 2i| \le 1\) \( \Leftrightarrow |(x - 1) + (y - 2)i| \le 1\)\( \Leftrightarrow \sqrt {{{(x - 1)}^2} + {{(y - 2)}^2}}  \le 1\)\( \Leftrightarrow {(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} \le 1\)

Bước 2: Giải \(|z - 1 + 2i| \ge |z + 3 - 2i|\)

Và \(|z - 1 + 2i| \ge |z + 3 - 2i|\) \( \Leftrightarrow \sqrt {{{(x - 1)}^2} + {{(y + 2)}^2}} \)\( \ge \sqrt {{{(x + 3)}^2} + {{(y - 2)}^2}} \)

\( \Leftrightarrow {(x - 1)^2} + {(y + 2)^2}\)\( \ge {(x + 3)^2} + {(y - 2)^2}\)\( \Leftrightarrow y \ge x + 1\)

Bước 3: Gọi \((T)\) là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng \(d:y = x + 1\), không chứa gốc tọa độ \(O(0;0)\). Tính S.

Gọi \((T)\) là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng \(d:y = x + 1\), không chứa gốc tọa độ \(O(0;0)\). Khi đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\) thỏa mãn đề là nửa hình tròn \((C)\) tâm \(I(1;2)\), bán kính \(R = 1\) và thuộc \((T)\). Vì đường thẳng \(d\) đi qua tâm \(I(1;2)\) của hình tròn \((C)\) nên diện tích cần tìm là một nửa diện tích hình tròn \((C)\). Do đó \(S = \dfrac{\pi }{2}\).

Đặt \(z = a + bi\)

Ta có \(\left| {z + 2 - i} \right| = 2\sqrt 2  \Rightarrow {\left( {a + 2} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} = 8\)  (*)

Mặt khác \({\left( {z - i} \right)^2} = {\left( {a + bi - i} \right)^2} = {a^2} - {\left( {b - 1} \right)^2} + 2a\left( {b - 1}\right)i \) là một số thực nên \(2a\left( {b - 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = 0\\
b - 1 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = 0\\
b = 1
\end{array} \right.\)

Với a=0, (*) trở thành: 

\({\left( {b - 1} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
b = 3\\
b = - 1
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
z = 3i\\
z = - i
\end{array} \right.\)

Với b=1, (*) trở thành:

\({\left( {a + 2} \right)^2} = 8 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = - 2 + 2\sqrt 2 \\
a = - 2 - 2\sqrt 2
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
z = - 2 + 2\sqrt 2 + i\\
z = - 2 - 2\sqrt 2 + i
\end{array} \right.\)

Vậy có 4 số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Điểm \(M\left( { - 2;3} \right)\) là điểm biểu diễn của số phức \({z_1} =  - 2 + 3i\).

Ta có:

\({z_1} = 5 - i \Rightarrow A\left( {5; - 1} \right)\).

\({z_2} = {\left( {4 + i} \right)^2} = 15 + 8i \Rightarrow B\left( {15;8} \right)\).

\({z_3} = {\left( {2i} \right)^3} =  - 8i \Rightarrow C\left( {0; - 8} \right)\).

Ta có

\(\begin{array}{l}AB = \sqrt {{{10}^2} + {9^2}}  = \sqrt {181} \\AC = \sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2} + {{\left( { - 7} \right)}^2}}  = \sqrt {74} \\BC = \sqrt {{{\left( { - 15} \right)}^2} + {{\left( { - 16} \right)}^2}}  = \sqrt {481} \end{array}\)

Gọi \(p\) là nửa chu vi tam giác \(ABC\) ta có: \(p = \dfrac{{AB + AC + BC}}{2} = \dfrac{{\sqrt {181}  + \sqrt {74}  + \sqrt {481} }}{2}\).

Vậy diện tích tam giác \(ABC\) là: \(S = \sqrt {p\left( {p - AB} \right)\left( {p - AC} \right)\left( {p - BC} \right)}  = \dfrac{{25}}{2}\).

Gọi \(A\) là điểm biểu diễn số phức, suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{x_A} = 2\\{y_A} =  - 3\end{array} \right.\).

Vậy \(A\left( {2; - 3} \right)\).

Số phức \(z = 3 - 4i\) biểu diễn điểm có tọa độ là \(\left( {3; - 4} \right)\), đây chính là điểm D.

Dựa vào hình vẽ ta thấy

Điểm $M$ là điểm biểu diễn số phức ${z_1}\, = \,1 + 2i.$

Điểm $Q$ là điểm biểu diễn số phức ${z_4}\, = \,1 - 2i.$

Điểm $N$ là điểm biểu diễn số phức ${z_2} = \, - 1 + 2i.$

Điểm $P$ là điểm biểu diễn số phức ${z_3}\, = \, - 1 - 2i.$

$\overline z = 2 - 5i \Rightarrow w = i\left( {2 + 5i} \right) + 2 - 5i =  - 3 - 3i$.

Đặt $z = a + bi{\rm{ }}\left( {a;{\rm{ }}b \in \mathbb{R}} \right)$, suy ra $\bar z = a - bi$.

Theo giả thiết, ta có $\left( {1 - i} \right)\left( {a + bi} \right) + 2i\left( {a - bi} \right) = 5 + 3i \Leftrightarrow \left( {a + 3b - 5} \right) + \left( {a + b - 3} \right)i = 0$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 3b - 5 = 0\\a + b - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 1\end{array} \right.$ $ \Rightarrow z = 2 + i \Rightarrow \bar z = 2 - i$

Vậy $w = z + 2\bar z = \left( {2 + i} \right) + 2\left( {2 - i} \right) = 6 - i$.

Đặt $z = x + yi{\rm{ }}\left( {x;{\rm{ }}y \in \mathbb{R}} \right)$, suy ra $iz = i\left( {x + yi} \right) =  - y + xi$ $ \Rightarrow \overline {iz}  =  - y - xi$

Theo giả thiết, ta có $x + yi + 2 - 4i = \left( {2 - i} \right)\left( { - y - xi} \right)$

$ \Leftrightarrow x + 2 + \left( {y - 4} \right)i = \left( { - 2y - x} \right) + \left( {y - 2x} \right)i$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2 =  - 2y - x\\y - 4 = y - 2x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y =  - 3\end{array} \right. \Rightarrow z = 2 - 3i$

Khi đó $w = {z^3} - i = {\left( {2 - 3i} \right)^3} - i =  - 46 - 10i$.

Gọi ${z_1} = m.i{\rm{ }}\left( {m \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}z_1^2 = {\left( {m.i} \right)^2} = {m^2}.{i^2} =  - {m^2}\\\left| {{z_1}} \right| = \sqrt {{0^2} + {m^2}}  = \left| m \right| \Rightarrow {\left| {{z_1}} \right|^2} = {m^2}\end{array} \right..$

Khi đó $z = z_1^2 + {\left| {{z_1}} \right|^2} =  - {m^2} + {m^2} = 0$.

\(2{z_1} + {z_2} = 2\left( {2 - i} \right) + 1 + i = 4 - 2i + 1 + i = 5 - i\).

Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) điểm biểu diễn số phức \(2{z_1} + {z_2}\) có tọa độ là \(\left( {5; - 1} \right)\).

Ta có $\dfrac{{1 - i}}{{z + 1}} = 1 + i \Leftrightarrow z + 1 = \dfrac{{1 - i}}{{1 + i}}$ $ \Leftrightarrow z + 1 =  - i \Rightarrow z =  - 1 - i$

Suy ra $w = {z^3} + 1 = {\left( { - 1 - i} \right)^3} + 1 =  - {\left( {1 + i} \right)^3} + 1 = 3 - 2i$

$ \Rightarrow M\left( {3; - 2} \right)$

Gọi \(z = x + yi{\rm{ }}\left( {x;{\rm{ }}y \in \mathbb{R}} \right)\) được biểu diễn bởi \(A\).

Từ giả thiết, ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 1\\x > 0;{\rm{ }}y > 0\end{array} \right..\)

Ta có \(w = \dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{{x + yi}} = \dfrac{{x - yi}}{{{x^2} + {y^2}}} = x - yi = \bar z\).

Vì hai số phức \(z\) và \(\bar z\) có điểm biểu diễn đối xứng qua trục hoành nên ta chọn điểm \(Q\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Gọi \(z = x + yi\,\,\left( {x,\,\,y \in \mathbb{R}} \right)\), khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\left| {x + yi + 2 + i} \right| = \left| {x - yi + i} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = {x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 4x + 4 + 2y + 1 =  - 2y + 1\\ \Leftrightarrow 4x + 4y + 4 = 0\\ \Leftrightarrow x + y + 1 = 0\end{array}\)

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức \(z\) là đường thẳng có phương trình \(x + y + 1 = 0\).