Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \(\left| {z + 2 - i} \right| = 2\sqrt 2 \) và \({\left( {z - i} \right)^2}\) là một số thực?

Đặt \(z = a + bi\)

Ta có \(\left| {z + 2 - i} \right| = 2\sqrt 2  \Rightarrow {\left( {a + 2} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} = 8\)  (*)

Mặt khác \({\left( {z - i} \right)^2} = {\left( {a + bi - i} \right)^2} = {a^2} - {\left( {b - 1} \right)^2} + 2a\left( {b - 1}\right)i \) là một số thực nên \(2a\left( {b - 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = 0\\
b - 1 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = 0\\
b = 1
\end{array} \right.\)

Với a=0, (*) trở thành: 

\({\left( {b - 1} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
b = 3\\
b = - 1
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
z = 3i\\
z = - i
\end{array} \right.\)

Với b=1, (*) trở thành:

\({\left( {a + 2} \right)^2} = 8 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = - 2 + 2\sqrt 2 \\
a = - 2 - 2\sqrt 2
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
z = - 2 + 2\sqrt 2 + i\\
z = - 2 - 2\sqrt 2 + i
\end{array} \right.\)

Vậy có 4 số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán.