Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn $\left| {z + 2 - i} \right| = 2\sqrt 2$ và ${\left( {z - i} \right)^2}$ là một số thực?

Đặt $z = a + bi$

Ta có $\left| {z + 2 - i} \right| = 2\sqrt 2  \Rightarrow {\left( {a + 2} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} = 8$  (*)

Mặt khác ${\left( {z - i} \right)^2} = {\left( {a + bi - i} \right)^2} = {a^2} - {\left( {b - 1} \right)^2} + 2a\left( {b - 1}\right)i$ là một số thực nên $2a\left( {b - 1} \right) = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = 0\\ b - 1 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = 0\\ b = 1 \end{array} \right.$

Với a=0, (*) trở thành: 

${\left( {b - 1} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} b = 3\\ b = - 1 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} z = 3i\\ z = - i \end{array} \right.$

Với b=1, (*) trở thành:

${\left( {a + 2} \right)^2} = 8 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = - 2 + 2\sqrt 2 \\ a = - 2 - 2\sqrt 2 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} z = - 2 + 2\sqrt 2 + i\\ z = - 2 - 2\sqrt 2 + i \end{array} \right.$

Vậy có 4 số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán.