Với mọi a, b thỏa mãn \({\log _2}a - 3{\log _2}b = 2\), khẳng định nào dưới đây đúng?
Ta có \({\log _2}a - 3{\log _2}b = 2 \Leftrightarrow {\log _2}a - {\log _2}{b^3} = 2 \Leftrightarrow {\log _2}\dfrac{a}{{{b^3}}} = 2 \Leftrightarrow \dfrac{a}{{{b^3}}} = 4 \Leftrightarrow a = 4{b^3}\)
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 103
Với mọi \(a,\,\,b\) thỏa mãn \({\log _2}{a^3} + {\log _2}b = 7\), khẳng định nào dưới đây đúng?
Ta có: \({\log _2}{a^3} + {\log _2}b = 7 \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{a^3}b} \right) = 7\) \( \Leftrightarrow {a^3}b = {2^7} \Leftrightarrow {a^3}b = 128\).
Cho \(a\), \(b\) là các số dương thỏa mãn \({\log _9}a = {\log _{16}}b = {\log _{12}}\dfrac{{5b - a}}{2}\). Tính giá trị \(\dfrac{a}{b}\).
Đặt \({\log _9}a = {\log _{16}}b = {\log _{12}}\dfrac{{5b - a}}{2} = t\) ta được: \(a = {9^t},b = {16^t},\dfrac{{5b - a}}{2} = {12^t}\)
Suy ra \(\dfrac{{{{5.16}^t} - {9^t}}}{2} = {12^t} \Leftrightarrow {5.16^t} - {2.12^t} - {9^t} = 0 \)
\(\Leftrightarrow 5 - 2.{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^t} - {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^{2t}} = 0\)
Đặt $u = {\left( {\frac{3}{4}} \right)^t} > 0$ ta được:
$5 - 2u - {u^2} = 0 \Leftrightarrow {u^2} + 2u - 5 = 0 $ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
u = - 1 + \sqrt 6 \left( {TM} \right)\\
u = - 1 - \sqrt 6 \left( {KTM} \right)
\end{array} \right.$
Suy ra \( {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^t} = \sqrt 6 - 1\)
Do đó \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{{{9^t}}}{{{{16}^t}}} = {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^{2t}} = {\left( {\sqrt 6 - 1} \right)^2} = 7 - 2\sqrt 6 \).
Cho \(a > 0,\,\,a \ne 1,\,\,b > 0\) và \({\log _a}b = 2.\) Giá trị của \({\log _{ab}}\left( {{a^2}} \right)\) bằng:
Ta có: \({\log _{ab}}\left( {{a^2}} \right) = 2{\log _{ab}}a\) \( = \dfrac{2}{{{{\log }_a}ab}}\)\( = \dfrac{2}{{{{\log }_a}a + {{\log }_a}b}}\)\( = \dfrac{2}{{1 + 2}} = \dfrac{2}{3}.\)
Với các số \(a,b > 0\) thỏa mãn \({a^2} + {b^2} = 6ab\), biểu thức \({\log _2}\left( {a + b} \right)\) bằng:
Ta có \({a^2} + {b^2} = 6ab \Rightarrow {\left( {a + b} \right)^2} = 8ab\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow a + b = \sqrt {8ab} \\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {a + b} \right) = {\log _2}\sqrt {8ab} \\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {a + b} \right) = \frac{1}{2}{\log _2}\left( {8ab} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {a + b} \right) = \frac{1}{2}\left( {3 + {{\log }_2}a + {{\log }_2}b} \right)\end{array}\)
Cho \(a\) là số thực dương khác 1 và \(b > 0\) thỏa mãn \({\log _a}b = \sqrt 3 \). Tính \(A = {\log _{{a^2}b}}\dfrac{a}{{{b^2}}}\) bằng
Ta có:
\(\begin{array}{l}A = {\log _{{a^2}b}}\dfrac{a}{{{b^2}}} = {\log _{{a^2}b}}a - {\log _{{a^2}b}}{b^2}\\ = \dfrac{1}{{{{\log }_a}\left( {{a^2}b} \right)}} - 2{\log _{{a^2}b}}b\\ = \dfrac{1}{{{{\log }_a}\left( {{a^2}b} \right)}} - \dfrac{2}{{{{\log }_b}\left( {{a^2}b} \right)}}\\ = \dfrac{1}{{{{\log }_a}{a^2} + {{\log }_a}b}} - \dfrac{2}{{{{\log }_b}{a^2} + {{\log }_b}b}}\\ = \dfrac{1}{{2 + {{\log }_a}b}} - \dfrac{2}{{2{{\log }_b}a + 1}}\end{array}\)
Mà \({\log _a}b = \sqrt 3 \Rightarrow {\log _b}a = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\).
Thay \({\log _a}b = \sqrt 3 ,{\log _b}a = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\) vào A ta được:
\(\begin{array}{l}A = \dfrac{1}{{2 + \sqrt 3 }} - \dfrac{1}{{2.\dfrac{1}{{\sqrt 3 }} + 1}}\\ = 8 - 5\sqrt 3 \end{array}\)
Cho \({\log _2}x = \sqrt 2 \). Giá trị của biểu thức \(P = \log _2^2x + {\log _{\dfrac{1}{2}}}x + {\log _4}x\) bằng
Ta có: \(P = \log _2^2x + {\log _{\dfrac{1}{2}}}x + {\log _4}x\)
\(\begin{array}{l} = \log _2^2x + {\log _{{2^{ - 1}}}}x + {\log _{{2^2}}}x\\ = \log _2^2x - {\log _2}x + \dfrac{1}{2}{\log _2}x\\ = {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} - \sqrt 2 + \dfrac{1}{2}\sqrt 2 \\ = 2 - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{4 - \sqrt 2 }}{2}\end{array}\)
Cho \({\log _2}x = \sqrt 2 \). Giá trị của biểu thức \(P = \log _2^2x + {\log _{\dfrac{1}{2}}}x + {\log _4}x\) bằng
Ta có: \(P = \log _2^2x + {\log _{\dfrac{1}{2}}}x + {\log _4}x\)
\(\begin{array}{l} = \log _2^2x + {\log _{{2^{ - 1}}}}x + {\log _{{2^2}}}x\\ = \log _2^2x - {\log _2}x + \dfrac{1}{2}{\log _2}x\\ = {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} - \sqrt 2 + \dfrac{1}{2}\sqrt 2 \\ = 2 - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{4 - \sqrt 2 }}{2}\end{array}\)
Cho \({\log _a}x = 2\), \({\log _b}x = 3\) với \(a,\,\,b\) là các số thực lớn hơn 1. Tính \(P = {\log _{\dfrac{a}{{{b^2}}}}}x.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}P = {\log _{\dfrac{a}{{{b^2}}}}}x = \dfrac{{{{\log }_a}x}}{{{{\log }_a}\dfrac{a}{{{b^2}}}}} = \dfrac{2}{{1 - 2{{\log }_a}b}}\\\,\,\,\, = \dfrac{2}{{1 - 2.\dfrac{{{{\log }_x}b}}{{{{\log }_x}a}}}} = \dfrac{2}{{1 - 2.\dfrac{{{{\log }_a}x}}{{{{\log }_b}x}}}}\\\,\,\, = \dfrac{2}{{1 - 2.\dfrac{2}{3}}} = \dfrac{2}{{ - \dfrac{1}{3}}} = - 6\end{array}\) \(\left( {x > 0,x \ne 1;\,\,a,b > 1} \right)\)
Nếu \(\log 3 = a\) thì \(\log 9000\) bằng
Ta có \(\log 9000 = \log 9 + \log 1000 = \log {3^2} + \log {10^3} = 2\log 3 + 3 = 2a + 3.\)
Cho \(a,\,\,b > 0\) và \(2{\log _2}b - 3{\log _2}a = 2\). Mệnh đề nào sau đây là đúng ?
Ta có:
\(\begin{array}{l}2{\log _2}b - 3{\log _2}a = 2\\ \Leftrightarrow {\log _2}{b^2} - {\log _2}{a^3} = 2\\ \Leftrightarrow {\log _2}\dfrac{{{b^2}}}{{{a^3}}} = 2\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{b^2}}}{{{a^3}}} = 4\\ \Leftrightarrow {b^2} = 4{a^3}.\end{array}\)
Cho \({\log _a}\left( {\dfrac{{\sqrt[3]{{{a^7}}}.{a^{\frac{{11}}{3}}}}}{{{a^4}.\sqrt[7]{{{a^{ - 5}}}}}}} \right) = \dfrac{m}{n}\) với \(a > 0,\,\,m,\,\,n \in {\mathbb{N}^*}\) và \(\dfrac{m}{n}\) là phân số tối giản. Khẳng định nào sau đây đúng?
Đặt \(A = \dfrac{{\sqrt[3]{{{a^7}}}.{a^{\frac{{11}}{3}}}}}{{{a^4}.\sqrt[7]{{{a^{ - 5}}}}}} = \dfrac{{{a^{\frac{7}{3}}}.{a^{\frac{{11}}{3}}}}}{{{a^4}.{a^{ - \frac{5}{7}}}}} = \dfrac{{{a^6}}}{{{a^{\frac{{23}}{7}}}}} = {a^{\frac{{19}}{7}}}\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\log _a}A = {\log _a}{a^{\frac{{19}}{7}}} = \dfrac{{19}}{7} = \dfrac{m}{n}\\ \Rightarrow m = 19,\,\,n = 7\,\,\left( {tm} \right).\end{array}\)
Vậy \({m^2} - {n^2} = {19^2} - {7^2} = 312\).
Cho các số \(a,\,\,b,\,\,c\) thoả mãn \({\log _a}3 = 2,\,{\log _b}3 = \dfrac{1}{4}\) và \({\log _{abc}}3 = \dfrac{2}{{15}}\). Giá trị của \({\log _c}3\) bằng
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{\log _a}3 = 2\\{\log _b}3 = \dfrac{1}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{{{\log }_3}a}} = 2\\\dfrac{1}{{{{\log }_3}b}} = \dfrac{1}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\log _3}a = \dfrac{1}{2}\\{\log _3}b = 4\end{array} \right.\).
Tiếp tục có :
\(\begin{array}{l}{\log _{abc}}3 = \dfrac{2}{{15}} \Leftrightarrow {\log _3}\left( {abc} \right) = \dfrac{{15}}{2}\\ \Leftrightarrow {\log _3}a + {\log _3}b + {\log _3}c = \dfrac{{15}}{2}\\ \Leftrightarrow {\log _3}a + {\log _3}b + {\log _3}c = \dfrac{{15}}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} + 4 + {\log _3}c = \dfrac{{15}}{2}\\ \Leftrightarrow {\log _3}c = 3 \Leftrightarrow {\log _c}3 = \dfrac{1}{3}.\end{array}\).
Đặt \({\log _3}2 = a,\) khi đó \({\log _{16}}27\) bằng
Ta có \({\log _{16}}27 = {\log _{{2^4}}}\left( {{3^3}} \right) = \dfrac{3}{4}{\log _2}3 = \dfrac{3}{4}.\dfrac{1}{{{{\log }_3}2}} = \dfrac{3}{{4a}}\)
Đề thi THPT QG – 2021 lần 1– mã 104
Với mọi \(a,b\) thỏa mãn \({\log _2}{a^3} + {\log _2}b = 5,\) khẳng định nào dưới đây đúng?
Ta có: \({\log _2}{a^3} + {\log _2}b = 5 \Rightarrow {\log _2}{a^3}b = 5 \Rightarrow {a^3}b = {2^5} = 32\)
Với \(a,\,b\) là các số thực dương bất kì, \({\log _2}\dfrac{a}{{{b^2}}}\) bằng:
Ta có: \({\log _2}\dfrac{a}{{{b^2}}} = {\log _2}a - {\log _2}{b^2} = {\log _2}a - 2{\log _a}b.\)
Cho $a,{\rm{ }}b$ là các số thực dương và $a \ne 1$. Khẳng định nào sau đây đúng?
Ta có ${\log _{\sqrt a }}\left( {{a^2} + ab} \right) = {\log _{{a^{\dfrac{1}{2}}}}}\left[ {a\left( {a + b} \right)} \right] = 2{\log _a}\left[ {a\left( {a + b} \right)} \right] = 2\left[ {{{\log }_a}a + {{\log }_a}\left( {a + b} \right)} \right]$
$ = 2{\log _a}a + 2{\log _a}\left( {a + b} \right) = 2 + 2{\log _a}\left( {a + b} \right)$.
Trong các giá trị của \(a\) được cho trong bốn phương án A, B, C, D dưới đây, giá trị nào của \(a\) thỏa mãn ${\log _{0,5}}a > {\log _{0,5}}{a^2}$?
Điều kiện: $a > 0$. Loại A.
Vì cơ số \(0,5 < 1\) nên ${\log _{0,5}}a > {\log _{0,5}}{a^2} \Leftrightarrow a < {a^2} \Leftrightarrow a\left( {a - 1} \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a > 1\\a < 0\end{array} \right.$.
Đối chiếu với điều kiện ta được: $a > 1$.
Do đó trong các số đã cho chỉ có \(\dfrac{5}{4}\) là thỏa mãn.
Cho các số thực dương $a,\,\,b$ với $a \ne 1$ và ${\log _a}b > 0.$ Khẳng định nào sau đây là đúng?
Với điều kiện $a,\,\,b > 0$ và $a \ne 1$, ta xét các trường hợp sau:
TH1: $0 < a < 1$, ta có ${\log _a}b > 0 \Leftrightarrow {\log _a}b > {\log _a}1 \Leftrightarrow b < 1.$
TH2: $a > 1$, ta có ${\log _a}b > 0 \Leftrightarrow {\log _a}b > {\log _a}1 \Leftrightarrow b > 1.$
Từ hai trường hợp trên, ta được $\left[ \begin{array}{l}0 < a,\,\,b < 1\\a > 1,\,\,b > 1\end{array} \right..$
Cho \({\log _3}a = 2\) và \({\log _2}b = \dfrac{1}{2}\). Tính giá trị biểu thức \(I = 2{\log _3}\left[ {{{\log }_3}\left( {3a} \right)} \right] + {\log _{\dfrac{1}{4}}}{b^2}\).
Ta có \({\log _3}a = 2 \Rightarrow a = {3^2} = 9\) và \({\log _2}b = \dfrac{1}{2} \Rightarrow b = {2^{\dfrac{1}{2}}} = \sqrt 2 .\)
Vậy \(I = 2{\log _3}\left[ {{{\log }_3}\left( {3.9} \right)} \right] + {\log _{\dfrac{1}{4}}}{\left( {\sqrt 2 } \right)^2}{\rm{ = }}2 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}.\)
