Đường tiệm cận của đồ thị hàm số và luyện tập

Ta có:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \dfrac{{{x^2} - x + 1}}{{{x^2} - x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \dfrac{{1 - \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}}}}{{1 - \dfrac{1}{x} - \dfrac{2}{{{x^2}}}}} = 1 \Rightarrow y = 1$ là TCN của đồ thị hàm số.

$\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{{x^2} - x + 1}}{{{x^2} - x - 2}} = \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \dfrac{{{x^2} - x + 1}}{{{x^2} - x - 2}} = \infty \end{array} \right. \Rightarrow x = 2,\,\,x =  - 1$ là các đường TCĐ của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 3 đường tiệm cận.

TXĐ: $D = \mathbb{R}\backslash 2$. Ta có:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{3x + 2}}{{x - 2}} =  + \infty$$=  >$Tiệm cận $x = 2$

Đồ thị hàm số $y = \dfrac{{2x - 1}}{{x - 1}}$ có TCĐ $x = 2$.

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \dfrac{{x - 1}}{{x + 2}}$ là $x =  - 2$

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = 0;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = 3 \Rightarrow$ Đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang $y = 0$ và $y = 3$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y =  + \infty  \Rightarrow$ Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng $x = 0$.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có tất cả 3 đường tiệm cận.

Ta có $y = \dfrac{{x - 3}}{{{x^3} - 3m{x^2} + \left( {2{m^2} + 1} \right)x - m}}$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \,f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \dfrac{{x - 3}}{{{x^3} - 3m{x^2} + \left( {2{m^2} + 1} \right)x - m}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \dfrac{{\dfrac{x}{{{x^3}}} - \dfrac{3}{{{x^3}}}}}{{1 - 3m\dfrac{{{x^2}}}{{{x^3}}} + \left( {2{m^2} + 1} \right)\dfrac{x}{{{x^3}}} - \dfrac{m}{{{x^3}}}}} = 0$ nên $y = 0$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vậy để đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận thì đồ thị hàm số phải có 3 đường tiệm cận đứng.

Hay phương trình ${x^3} - 3m{x^2} + \left( {2{m^2} + 1} \right)x - m = 0\,\,\left( 1 \right)$ có ba nghiệm phân biệt $x \ne 3.$

Ta có ${x^3} - 3m{x^2} + \left( {2{m^2} + 1} \right)x - m = 0 \Leftrightarrow \left( {x - m} \right)\left( {{x^2} - 2mx + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = m\\{x^2} - 2mx + 1 = 0\,\left( * \right)\end{array} \right.$

Để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt khác 3 thì $m \ne 3$ và phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác $m$ và khác $3.$

Do đó $\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = {m^2} - 1 > 0\\{3^2} - 2.m.3 + 1 \ne 0\\{m^2} - 2{m^2} + 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m <  - 1\\m > 1\end{array} \right.\\m \ne \dfrac{5}{3}\\m \ne  - 1\\m \ne 1\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m <  - 1\\m > 1\end{array} \right.\\m \ne \dfrac{5}{3}\end{array} \right.$

Kết hợp điều kiện $\left\{ \begin{array}{l}m \ne 3\\ - 6 \le m \le 6\end{array} \right. \Rightarrow m \in \left\{ { - 6; - 5; - 4; - 3; - 2;2;4;5;6} \right\}$

Vậy có 9 giá trị của m thỏa mãn điều kiện

Ta có:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 1}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \dfrac{{{x^2}\left( {1 - \dfrac{3}{x} + \dfrac{2}{{{x^2}}}} \right)}}{{{x^2}\left( {1 - \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \dfrac{{1 - \dfrac{3}{x} + \dfrac{2}{{{x^2}}}}}{{1 - \dfrac{1}{{{x^2}}}}} = 1$

Nên đường thẳng $y = 1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 1}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{x - 2}}{{x + 1}} = \dfrac{{ - 1}}{2}$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 1}} =  + \infty$ nên đường thẳng $x =  - 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 1 tiệm cận đứng và 1 tiệm cận ngang.

ĐKXĐ: $\left\{ \begin{array}{l}x + 2 \ge 0\\{x^2} - 6x + 2m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 2\\{x^2} - 6x + 2m > 0\end{array} \right.$.

Để đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng thì phương trình ${x^2} - 6x + 2m = 0$ có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn ${x_1} > {x_2} >  - 2$.

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\{x_1} + {x_2} >  - 4\\\left( {{x_1} + 2} \right)\left( {{x_2} + 2} \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9 - 2m > 0\\6 >  - 4\,\,\left( {luôn\,\,đúng} \right)\\{x_1}{x_2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4 > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < \frac{9}{2}\\2m + 2.6 + 4 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < \frac{9}{2}\\2m >  - 16\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow  - 8 < m < \frac{9}{2}\\ \Rightarrow S = \left\{ { - 7; - 6; - 5; - 4; - 3; - 2; - 1;0;1;2;3;4} \right\}\end{array}$

Vậy tập hợp $S$ có 12 phần tử.

Xét hàm số: $y = \dfrac{{\sqrt {x - 2} }}{{\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {2x - 7} \right)}}$

TXĐ: $D = \left( {2; + \infty } \right)\backslash \left\{ {\dfrac{7}{2}} \right\}.$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{7}{2}} \dfrac{{\sqrt {x - 2} }}{{\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {2x - 7} \right)}}$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{7}{2}} \dfrac{1}{{\sqrt {x - 2} \left( {x + 2} \right)\left( {2x - 7} \right)}} = \infty$ $\Rightarrow x = \dfrac{7}{2}$ là đường TCĐ của đồ thị hàm số.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{\sqrt {x - 2} }}{{\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {2x - 7} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{1}{{\left( {x + 2} \right)\sqrt {x - 2} \left( {2x - 7} \right)}} = \infty$ $\Rightarrow x = 2$ là đường TCĐ của đồ thị hàm số.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{\sqrt {x - 2} }}{{\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {2x - 7} \right)}}$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{1}{{\sqrt {x - 2} \left( {x + 2} \right)\left( {2x - 7} \right)}} = 0$ $\Rightarrow y = 0$ là TCN của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có tất cả 3 đường tiệm cận.

Xét hàm số: $y = \frac{{2x + 1}}{{\sqrt {{x^2} - 3} }}$ ta có:

TXĐ: $D = \left( { - \infty ;\,\, - \sqrt 3 } \right) \cup \left( {\sqrt 3 ; + \infty } \right)$

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \frac{{2x + 1}}{{\sqrt {{x^2} - 3} }} =  + \infty$ $\Rightarrow x = \sqrt 3$ là TCĐ của đồ thị hàm số.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \sqrt 3 } \frac{{2x + 1}}{{\sqrt {{x^2} - 3} }} =  - \infty$ $\Rightarrow x =  - \sqrt 3$ là TCĐ của đồ thị hàm số.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{2x + 1}}{{\sqrt {{x^2} - 3} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{2 + \frac{1}{x}}}{{ - \sqrt {1 - \frac{3}{{{x^2}}}} }} =  - 2$ $\Rightarrow y =  - 2$ là TCN của đồ thị hàm số.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2x + 1}}{{\sqrt {{x^2} - 3} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2 + \frac{1}{x}}}{{  \sqrt {1 - \frac{3}{{{x^2}}}} }} =   2$ $\Rightarrow y =   2$ là TCN của đồ thị hàm số.

$\Rightarrow$ Đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận.

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  - 3 \Rightarrow y =  - 3$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = 3 \Rightarrow y = 3$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} y =  + \infty  \Rightarrow x =  - 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y =  + \infty ,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y =  - \infty  \Rightarrow x = 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số có tổng 4 đường tiệm cận.

TXĐ: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$.

Ta có:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{{x - 1}} =  + \infty ,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{{x - 1}} =  - \infty$

Suy ra $x = 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{{x - 1}} = 1,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{{x - 1}} =  - 1$

Suy ra $y = 1,\,\,y =  - 1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có tất cả 3 đường tiệm cận.

ĐKXĐ: $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 4x + 3 \ne 0\\x - 2 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1,\,\,x \ne 3\\x > 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 2\\x \ne 3\end{array} \right.$ $\Rightarrow$ TXĐ: $D = \left( {2; + \infty } \right)\backslash \left\{ 3 \right\}$.

Ta có:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = 0 \Rightarrow$ Đồ thị hàm số có TCN $y = 0$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = 0 \Rightarrow$$x = 2$ không là TCĐ của đồ thị hàm số.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) =  - \infty  \Rightarrow$ Đồ thị hàm số có TCĐ $x = 3$.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có tổng 2 đường tiệm cận.

TXĐ: $D = \mathbb{R}.$

Có: $\sqrt {{x^2} + 1}  = 0$ vô nghiệm $\Rightarrow$ đồ thị hàm số không có TCĐ.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{1}{{\sqrt {1 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} }} = 1$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{1}{{ - \sqrt {1 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} }} =  - 1.$

Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang.

ĐKXĐ: $\left\{ \begin{array}{l}m{x^2} \ge 4\\x \ne 1\end{array} \right.$ $\Rightarrow m > 0$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{\sqrt {m{x^2} - 4} }}{{x - 1}} = \sqrt m \\\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{\sqrt {m{x^2} - 4} }}{{x - 1}} =  - \sqrt m \end{array} \right. \Rightarrow$ Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang $y =  \pm \sqrt m$ $\left( {m > 0} \right)$.

Để đồ thị hàm số $y = \dfrac{{\sqrt {m{x^2} - 4} }}{{x - 1}}$ có 3 đường tiệm cận thì đồ thị hàm số phải có 1 đường tiệm cận đứng.

$\Rightarrow x = 1$ phải thỏa mãn điều kiện $m{x^2} \ge 4 \Leftrightarrow m \ge 4$.

Do đó, $m \ge 4$ thì hàm số đã cho có 1 đường tiệm cận đứng và 2 đường tiệm cận ngang.

Mặt khác $m \in \left[ { - 10;10} \right]$, $m \in \mathbb{Z}$  nên $m \in \left\{ {4;5;6;7;8;9;10} \right\}$.

Vậy có tất cả 7 giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa mãn bài toán.

Từ BBT của hàm số đã cho ta có:

+) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) = 2;\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = 6$ nên đồ thị hàm số đã cho có 2 đường tiệm cận ngang là $y = 2;\,\,y = 6$.

+) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) =  + \infty$ nên đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ có 1 đường tiệm cận đứng là $x = 1$.

Vậy đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ có tất cả 3 đường tiệm cận.

Quan sát BBT của $y = f\left( x \right)$, ta thấy, $f\left( x \right) = 0$ có 3 nghiệm phân biệt ${x_1},\,\,{x_2},\,\,{x_3}\,\,\left( {{x_1} <  - 1 < {x_2} < 3 < {x_3}} \right)$

Xét hàm số $y = \dfrac{{2019}}{{f\left( x \right)}}$, có: TXĐ $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {{x_1};{x_2};{x_3}} \right\}$

Giới hạn của hàm số $y = \dfrac{{2019}}{{f\left( x \right)}}$ tới các điểm ${x_1};{x_2};{x_3}$ đều là vô cực $\Rightarrow$ Hàm số $y = \dfrac{{2019}}{{f\left( x \right)}}$ có 3 TCĐ là: $x = {x_1},\,\,x = {x_2},\,\,x = {x_3}$.

Đồ thị hàm số $y = \dfrac{{3x + 1}}{{x - 4}}$ (C) có TCĐ là: $x = 4$, TCN là: $y = 3$

Lấy điểm $M$ bất kì thuộc (C), giả sử $M\left( {{x_0};\dfrac{{3{x_0} + 1}}{{{x_0} - 4}}} \right)\,\,\left( {{x_0} \ne 4} \right)$. Tích khoảng cách từ M tới 2 đường tiệm cận là:

$\left| {{x_0} - 4} \right|.\left| {\dfrac{{3{x_0} + 1}}{{{x_0} - 4}} - 3} \right| = \left| {{x_0} - 4} \right|.\left| {\dfrac{{13}}{{{x_0} - 4}}} \right| = 13$

ĐKXĐ: $\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 6\\{x^2} - 8x + 2m > 0\end{array} \right.$

Để đồ thị hàm số $y = \dfrac{{20 + \sqrt {6x - {x^2}} }}{{\sqrt {{x^2} - 8x + 2m} }}$ có hai đường tiệm cận đứng thì phương trình ${x^2} - 8x + 2m = 0$ có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn $\left[ {0;6} \right]$ $\Leftrightarrow$ Phương trình ${x^2} - 8x =  - 2m$ có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn $\left[ {0;6} \right]$(*). Xét hàm số $f\left( x \right) = {x^2} - 8x$ ta có: $f'\left( x \right) = 2x - 8 = 0 \Leftrightarrow x = 4.$

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thì  $\left( * \right) \Leftrightarrow  - 16 <  - 2m \le  - 12 \Leftrightarrow 6 \le m < 8.$

Vậy $m \in \left[ {6;8} \right)$.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \dfrac{{x - 1}}{{{x^2} + 2mx - m + 2}} = 0$.

Do đó, đồ thị hàm số đã cho luôn nhận đường thẳng $y = 0$ là tiệm cận ngang với mọi giá trị của $m$.

Đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận khi và chỉ khi nó có đúng 1 đường tiệm cận đứng.

Đồ thị hàm số có đúng 1 tiệm cận đứng khi và chỉ khi phương trình ${x^2} + 2mx - m + 2 = 0$ hoặc có nghiệm kép, hoặc có 2 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm bằng $1$.     (1)

Phương trình ${x^2} + 2mx - m + 2 = 0$ có $\Delta ' = {m^2} - \left( { - m + 2} \right) = {m^2} + m - 2$

$\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\Delta ' = 0\\\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\{1^2} + 2m.1 - m + 2 = 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} + m - 2 = 0\\\left\{ \begin{array}{l}{m^2} + m - 2 > 0\\3 + m = 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m =  - 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m > 1\\m <  - 2\\m =  - 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m =  - 2\\m =  - 3\end{array} \right.$

Do đó, tập các giá trị của tham số $m$ thỏa mãn là $S = \left\{ {1; - 2; - 3} \right\}$.

Vậy tổng tất cả các phần tử của tập hợp $S$ bằng $1 - 2 - 3 =  - 4$.