Khối đa diện đều. Phép vị tự

Khối đa diện đều có nhiều đỉnh nhất là khối nhị thập diện đều (12 mặt đều) với 20 đỉnh.

Khối bát diện đều là khối đa diện loại $\left\{ {3;4} \right\}$.

Phép vị tự tâm $O$ tỉ số $k$ biến điểm $M$ thành $M'$ thì $OM' = \left| k \right|OM$

Phép vị tự tâm $O$ biến $M,N$ thành $M',N'$ nên $\overrightarrow {M'N'}  = k\overrightarrow {MN}$ và $M'N' = \left| k \right|MN$

Do $k < 0$ nên $M'N' =  - kMN$.

Có $2$ phép vị tự tâm $O$ là phép dời hình, đó là các phép vị tự tâm $O$ tỉ số vị tự bằng $\pm 1$.

Khối đa diện đều loại $\left\{ {3;5} \right\}$ là khối 20 mặt đều.

Khối 20 mặt đều thì 1 mặt là tam giác đều cạnh bằng 1 có diện tích một mặt bằng: $S = \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}$

Vậy diện tích tất cả các mặt của khối đa diện là $S' = 20.\dfrac{{\sqrt 3 }}{4} = 5\sqrt 3$.

Hình bát diện đều có số cạnh là 12.

Phép đối xứng tâm $O$ cố định là phép vị tự tâm $O$ tỉ số $k =  - 1$

Các khối đa diện mà mỗi mặt của nó là một tam giác đều là:

- Khối $\left\{ {3;3} \right\}$: Tứ diện đều.

- Khối $\left\{ {3;4} \right\}$: Bát diện đều.

- Khối $\left\{ {3;5} \right\}$: Khối 20 mặt đều.

Vậy có 3 khối đa diện mà mỗi mặt của nó là một tam giác đều.

Hai tứ diện đều thì đồng dạng nên A đúng.

Tam giác đều có cạnh bằng 2a có diện tích $S = \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}{\left( {2a} \right)^2} = {a^2}\sqrt 3 .$

Vậy diện tích toàn phần của bát diện đều là $8{a^2}\sqrt 3 .$

- Khối đa diện đều loại $\left\{ {n;p} \right\}$:

+ $n$ là số cạnh của mỗi mặt.

+ $p$ là số cạnh cùng đi qua một đỉnh.

Hình bát diện đều có 12 cạnh và 6 đỉnh.

Vậy tổng số cạnh và đỉnh là 12 + 6 = 18

Bát diện đều là hình có 8 mặt là tam giác đều, các mặt là tam giác đều cạnh $2$.

Diện tích một mặt là $S = \dfrac{{{2^2}\sqrt 3 }}{4} = \sqrt 3$.

Vậy tổng diện tích các mặt của hình bát diện đó là $8\sqrt 3$.

Ta có: $D = 8,M = 6$ thì $D - C + M = 2 \Leftrightarrow 8 - C + 6 = 2 \Leftrightarrow C = 12$

Vậy số cạnh là $12$.

Đa diện đều loại $\left\{ {5;3} \right\}$ có tên gọi là Mười hai mặt đều.

Khối đa diện đều loại $\left\{ {p;q} \right\}$ là khối đa diện lồi thỏa mãn mỗi mặt của nó là đa giác đều $p$ cạnh và mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng $q$ mặt.

Do đó đáp án đúng là B.

Hình bát diện đều có 6 đỉnh.

Phép vị tự tâm $O$ tỉ số $k$ biến điểm $M$ thành $M'$ nếu $\overrightarrow {OM'}  = k\overrightarrow {OM}$.

Các đáp án A, B, C đều đúng.

Đáp án D sai vì $\overrightarrow {M'N'} = k.\overrightarrow {MN} \Rightarrow M'N' = \left| k \right|MN \Rightarrow M'N' = - k.MN\left( {k < 0} \right)$