Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (hàm đa thức bậc ba)

Hàm số \(y =  - {x^3} + {x^2} + 1\,\) xác định với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Đáp án A: Hàm số xác định khi \(x \ne 0\) nên TXĐ \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\) loại.

Đáp án B: Hàm số đa thức bậc ba xác định trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn.

Đáp án C: Hàm số xác định khi \(x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1\) suy ra TXĐ \(D = \left[ {1; + \infty } \right)\) loại.

Đáp án D: Hàm số xác định nếu \(x \ne 0\) nên TXĐ \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\) loại.

Hàm đa thức bậc ba chỉ có thể có 2 cực trị hoặc không có cực trị nào nên số điểm cực trị nhiều nhất có thể có là \(2\)

Hàm đa thức bậc ba đồng biến trên \(\mathbb{R}\) thì \(y' \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\)

Quan sát các bbt ta thấy đáp án D thỏa mãn.

Quan sát bảng biến thiên ta thấy \(y' > 0,\forall x \in \left( {{x_1};{x_2}} \right)\) nên hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {{x_1};{x_2}} \right)\)

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số bậc ba có hoành độ là nghiệm của phương trình \(y'' = 0\)

Quan sát đồ thị ta thấy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  + \infty \) nên \(a < 0\).

- Đồ thị hàm số bậc ba có thể cắt trục hoành tại \(1,2\) hoặc \(3\) điểm nên A đúng.

Ngoài ra các đáp án còn lại đều không đúng.

- Hàm số bậc ba có 2 điểm cực trị thì đồ thị có thể cắt trục hoành tại \(1,2\) hoặc 3 điểm nên C, D sai.

- Đồ thị hàm số bậc ba cắt trục hoành tại \(1\) điểm duy nhất thì nó có thể có \(2\) điểm cực trị hoặc không có điểm cực trị nào.

Hàm số bậc ba luôn có \({y_{CD}} > {y_{CT}}\) nên nếu \({y_{CT}} = 0\) thì \({y_{CD}} > 0\).

Do đó điểm cực đại nằm phía trên trục hoành..

Quan sát các dáng đồ thị của hàm số bậc ba:

Ta thấy đồ thị hàm số bậc ba chỉ có \(2\) điểm chung với trục hoành nếu một trong hai điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm trên trục hoành hay một trong hai điểm cực trị của hàm số là nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = 0\)

Vì \({y_{CD}}.{y_{CT}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{y_{CD}} = 0\\{y_{CT}} = 0\end{array} \right.\) hay một trong hai điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm trên trục hoành.

Khi đó đồ thị hàm số chỉ có \(2\) giao điểm chung với \(Ox\)

Hai đạng đồ thị hàm số bậc ba mà có hai cực trị là:

Do \({y_{CT}} > 0\) nên \({y_{CD}} > {y_{CT}} > 0\) hay hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đều nằm phía trên trục hoành.

Từ đó đồ thị hàm số chỉ có \(1\) điểm chung duy nhất với \(Ox\).

Đáp án A: Đồ thị hàm số bậc ba luôn có điểm uốn nhưng chưa chắc thuộc trục tung nên A sai.

Đáp án B: Đồ thị hàm số bậc ba không có trục đối xứng nên B sai.

Đáp án C: Điểm uốn chính là tâm đối xứng của đồ thị hàm số bậc ba nên với mỗi điểm thuộc đồ thị, lấy đối xứng qua điểm đó ta cũng được một điểm thuộc đồ thị nên C đúng.

Đáp án D: Đồ thị hàm số bậc ba \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\left( {a \ne 0} \right)\) luôn chỉ có một điểm chung duy nhất với \(Oy\) nên D sai.

Hàm đa thức bậc ba xác định trên $R$.

$y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2} \Rightarrow $ có $2$ cực trị.

$y' = 0$ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép $ \Rightarrow $ không có cực trị.

Do đó hàm đa thức bậc ba chỉ có thể có $2$ cực trị hoặc không có cực trị nào.

Hàm đa thức bậc ba không có cực trị và nghịch biến thì đạo hàm $y'$ mang dấu âm với mọi $x \in \left( { - \infty ; + \infty } \right)$.

Quan sát bảng biến thiên ta thấy $y' < 0,\forall x \in \left( { - \infty ;{x_1}} \right) \cup \left( {{x_2}; + \infty } \right)$ nên hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( { - \infty ;{x_1}} \right)$ và $\left( {{x_2}; + \infty } \right)$.

Phương trình $y'' = 0$ luôn có nghiệm duy nhất nên đồ thị hàm số bậc ba luôn có 1 điểm uốn hay 1 tâm đối xứng duy nhất.

Quan sát đồ thị ta thấy $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  - \infty $ nên $a > 0$.