Tổng hợp câu hay và khó chương 7 phần 4

Gọi $I$ là tâm mặt cầu cần tìm $\Rightarrow$$d\left( {I;\left( d \right)} \right) = IA$ và $d\left( {I;\left( {d'} \right)} \right) = IB.$

Mà $AB$ là đoạn vuông góc chung của $d$ và $d'$$\Rightarrow \,\,I$ là trung điểm của $AB.$

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {1;1; - 2} \right)$.

Ta có $d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {1 + 1 - \left( { - 2} \right) - m} \right|}}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{\left| {4 - m} \right|}}{{\sqrt 3 }} \ge 0 \Leftrightarrow d{\left( {I;\left( P \right)} \right)_{\min }} = 0 \Leftrightarrow m = 4$.

Giả sử $B\left( {a;b;0} \right)$ là hình chiếu của $I$ trên mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$.

Có : $\overrightarrow {IA}  = \left( {1 - a;\; - 1 - b;\;4 - c} \right);\;\;\overrightarrow {IB}  = \left( {0;\;0;\;c} \right).$

Theo bài ra, ta có $IA = IB \Leftrightarrow \,\,{\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} + {\left( {c - 4} \right)^2} = {c^2}$                         $\left( 1 \right).$

Mặt khác, mặt cầu tiếp xúc với các mặt phẳng tọa độ $\Rightarrow \,\,\left| a \right| = \left| b \right| = \left| c \right|$             $\left( 2 \right).$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra $a = 3;\,\,b =  - \,3;\,\,c = 3.$ 

Vậy $P = a - b + c = 9.$

Ta có $MA = MB \Rightarrow M$ thuộc mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$.

Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng trung trực của $AB \Rightarrow \left( P \right):2x + y - 3 = 0$.

Lại có $A$ và $C$ nằm hai phía của mặt phẳng $\left( P \right)$

Do đó $MB + MC = MA + MC \ge AC$.

Suy ra $\min \left( {MB + MC} \right) = AC$ khi $M = \left( P \right) \cap AC \Rightarrow M\left( {1;\,1;\,3} \right)$.

Dễ dàng thấy 3 mặt phẳng $\left( P \right);\left( Q \right);\left( R \right)$ song song với nhau và (P) nằm giữa (Q) và (R), ta tính được $d\left( {\left( P \right);\left( Q \right)} \right) = BH = 9;\,\,d\left( {\left( P \right);\left( R \right)} \right) = HK = 3$

Ta có: 

$\begin{array}{l}T = \dfrac{{A{B^2}}}{4} + \dfrac{{144}}{{AC}} = \dfrac{{A{B^2}}}{4} + \dfrac{{72}}{{AC}} + \dfrac{{72}}{{AC}}\\\mathop  \ge \limits^{Cauchy} 3\sqrt[3]{{\dfrac{{A{B^2}}}{4}.\dfrac{{72}}{{AC}}.\dfrac{{72}}{{AC}}}} = 3\sqrt[3]{{1296.{{\left( {\dfrac{{AB}}{{AC}}} \right)}^2}}}\end{array}$

Theo định lí Ta-let ta có :

$\dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{BH}}{{HK}} = 3 \Rightarrow T\mathop  \ge \limits^{Cauchy} 3\sqrt[3]{{{{1296.3}^2}}} = 54\sqrt[3]{2}$

Vậy $\min T = 54\sqrt[3]{2}$.

+ Ta tìm điểm $I\left( {a;b;c} \right)$ thỏa mãn $\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + 2\overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0$ hay:

$\left\{ \begin{array}{l}1 - a + 3 - a - 2a = 0\\ - b + 2 - b + 2\left( {5 - b} \right) = 0\\ - c + 4 - c + 2\left( {4 - c} \right) = 0\end{array} \right.$  $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 3\\c = 3\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {1;3;3} \right)$

+ Khi đó:

$\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + 2\overrightarrow {MC} } \right| = \left| {4\overrightarrow {MI} } \right| \ge 4IH$ với $H$ là hình chiếu của $I$ trên  $\left( {Oxy} \right)$ và $H\left( {1;3;0} \right)$

Do đó $\min \left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + 2\overrightarrow {MC} } \right| = 4IH = 12$ khi $H \equiv M$ hay $M\left( {1;3;0} \right)$

Phương trình mặt phẳng $\left( {OBC} \right)$ là $x - z = 0.$

Phương trình mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ là $5x + 3y + 4z - 15 = 0.$

Gọi $I\left( {x;y;z} \right)$ là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện $OABC$$\Rightarrow \,\,d\left( {I;\left( {OBC} \right)} \right) = d\left( {I;\left( {ABC} \right)} \right)$

$\dfrac{{\left| {x - z} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{\left| {5x + 3y + 4z - 15} \right|}}{{5\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \left| {5x - 5z} \right| = \left| {5x + 3y + 4z - 15} \right|$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y + 3z - 5 = 0\\10x + 3y - z - 15 = 0\end{array} \right.$

Mà mặt phẳng cần tìm có dạng $10x + ay + bz + d = 0$$\Rightarrow \,\,I \in \left( \alpha  \right):10x + 3y - z - 15 = 0.$

Đường thẳng $d$ đi qua $B\left( {1;0;1} \right),$ có vectơ chỉ phương $\vec u = \left( {1; - \,2;9} \right)$$\Rightarrow \,\,\left[ {\overrightarrow {AB} ;\vec u} \right] = \left( {9;0; - \,1} \right).$

Phương trình mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ chứa $d$ và đi qua $A$ là $\left( \alpha  \right):9x - z - 8 = 0.$

Gọi $I$ là hình chiếu của $O$ trên $\Delta ,$ $H$ là hình chiếu của $O$ trên $\left( \alpha  \right).$

Ta có $d\left( {O;\left( \Delta  \right)} \right) = OI \le OH \Rightarrow \,\,{d_{\min }} = OH$$\Leftrightarrow$$H$ là hình chiếu của $O$ trên $\left( \alpha  \right).$

Phương trình đường thẳng $OH$ là $\left\{ \begin{array}{l}x = 9t\\y = 0\\z =  - \,t\end{array} \right.$$\Rightarrow \,\,H\left( {9t;0; - \,t} \right) \in \left( \alpha  \right)$$\Rightarrow t = \dfrac{4}{{41}}.$

Vậy $H\left( {\dfrac{{36}}{{41}};0; - \,\dfrac{4}{{41}}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {HA}  = \left( {\dfrac{5}{{41}};1;\dfrac{{45}}{{41}}} \right) = \dfrac{5}{{41}}\left( {1;\dfrac{{41}}{5};9} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{{41}}{5}\\b = 9\end{array} \right..$

$\Rightarrow a + b = \dfrac{{41}}{5} + 9 = \dfrac{{86}}{5}.$

${d_1}:\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{y}{{ - 1}} = \dfrac{{z + 2}}{1}$ có phương trình tham số : $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2{t_1}\\y =  - {t_1}\\z =  - 2 + {t_1}\end{array} \right.$, có 1 VTCP $\overrightarrow {{u_1}} \left( {2; - 1;1} \right)$.

${d_2}:\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{{y - 1}}{7} = \dfrac{{z - 3}}{{ - 1}}$ có phương trình tham số : $\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + {t_2}\\y = 1 + 7{t_2}\\z = 3 - {t_2}\end{array} \right.$, có 1 VTCP $\overrightarrow {{u_1}} \left( {1;7; - 1} \right)$.

$A \in {d_1},\,\,B \in {d_2}$

Gọi $A(1 + 2{t_1}; - {t_1}; - 2 + {t_1}),\,\,B( - 1 + {t_2};1 + 7{t_2};3 - {t_2}) \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( {{t_2} - 2{t_1} - 2;7{t_2} + {t_1} + 1;\, - {t_2} - {t_1} + 5} \right)$

AB là đường vuông góc chung của ${d_1},\,\,{d_2}$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_1}}  = 0\\\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_2}}  = 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2({t_2} - 2{t_1} - 2) - 1(7{t_2} + {t_1} + 1) + 1( - {t_2} - {t_1} + 5) = 0\\1({t_2} - 2{t_1} - 2) + 7(7{t_2} + {t_1} + 1) - 1( - {t_2} - {t_1} + 5) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 6{t_2} - 6{t_1} = 0\\51{t_2} + 6{t_1} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow {t_1} = {t_2} = 0$

$\Rightarrow A(1;0; - 2),\,\,B( - 1;1;3) \Rightarrow \overrightarrow {OA}  = (1;0; - 2),\,\,\overrightarrow {OB}  = ( - 1;1;3)$

Diện tích tam giác OAB: ${S_{OAB}} = \dfrac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow {OB} } \right]} \right| = \dfrac{1}{2}\left| {\left( {2; - 1;1} \right)} \right| = \dfrac{{\sqrt 6 }}{2}$

$\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1; - 2;3} \right)$

$d:\,\,\dfrac{{x - 2}}{1} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 2}} = \dfrac{{z - 1}}{2}$ có 1 VTCP $\overrightarrow v \left( {1; - 2;2} \right)$ là một VTCP của $\Delta$  

$\Delta$ là đường thẳng qua A, vuông góc với d $\Rightarrow \Delta  \subset \left( \alpha  \right)$: mặt phẳng qua A và vuông góc d

Phương trình mặt phẳng $\left( \alpha  \right):1(x - 3) - 2(y - 2) + 2(z - 1) = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 2z - 1 = 0$

Khi đó,  $d{\left( {B;\Delta } \right)_{\min }} = d\left( {B;\left( \alpha  \right)} \right)$ khi và chỉ khi $\Delta$ đi qua hình chiếu $H$ của B lên $\left( \alpha  \right)$.

*) Tìm tọa độ điểm H:

 Đường thẳng BH đi qua $B(2;0;4)$ và có VTCP là VTPT của $\left( \alpha  \right)$ có phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y =  - 2t\\z = 4 + 2t\end{array} \right.$ $H \in BH \Rightarrow H\left( {2 + t; - 2t;4 + 2t} \right)$

$H \in \left( \alpha  \right) \Rightarrow (2 + t) - 2( - 2t) + 2(4 + 2t) - 1 = 0 \Leftrightarrow 9t + 9 = 0 \Leftrightarrow t =  - 1 \Rightarrow H\left( {1;2;2} \right)$

$\Delta$ đi qua $A(3;2;1)$, $H\left( {1;2;2} \right)$ có VTCP $\overrightarrow {HA}  = \left( {2;0; - 1} \right) = \overrightarrow u \left( {2;b;c} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt 5$