Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, gọi $I\left( {a,b,c} \right)$ là tâm mặt cầu đi qua điểm $A\left( {1; - 1;4} \right)$ và tiếp xúc với tất cả các mặt phẳng tọa độ. Tính $P = a - b + c$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho hai đường thẳng $d:\dfrac{{x + 2}}{2} = \dfrac{{y + 3}}{5} = \dfrac{{z - 4}}{{ - \,1}}$ và $d':\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - t\\y = 1\\z = 10 + t\end{array} \right..$ Hai điểm $A \in d$ và $B \in d'$ thỏa mãn đường thẳng $AB$ vuông góc với cả hai đường thẳng $d,\,\,d'.$ Có bao nhiêu mặt cầu tiếp xúc với đường thẳng $d$ tại $A$ và tiếp xúc với đường thẳng $d'$ tại $B$ ?

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y + 4z - 20 = 0$ và mặt phẳng $\left( P \right):\,\,x + y - z - m = 0$. Tìm m để $\left( P \right)$ cắt $\left( S \right)$ theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính lớn nhất.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho ba điểm $A\left( { - 1;\,0;\,1} \right)$, $B\left( {3;\,2;\,1} \right)$, $C\left( {5;\,3;\,7} \right)$. Gọi $M\left( {a;\,b;\,c} \right)$ thỏa mãn $MA = MB$ và $MB + MC$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính $P = a + b + c.$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba mặt phẳng $\left( P \right):\,\,x - 2y + z - 1 = 0$, $\left( Q \right):\,\,x - 2y + z + 8 = 0$ và $\left( R \right):\,\,x - 2y + z - 4 = 0$. Một đường thẳng d thay đổi cắt ba mặt phẳng $\left( P \right);\left( Q \right);\left( R \right)$ lần lượt tại A, B, C. Đặt $T = \dfrac{{A{B^2}}}{4} + \dfrac{{144}}{{AC}}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $T$.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với $A(1;0;0),\,\,B(3;2;4),\,C(0;5;4)$. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho $\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + 2\overrightarrow {MC} } \right|$ nhỏ nhất.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho ba điểm $A\left( {3;0;0} \right),\,\,B\left( {1;2;1} \right)$ và $C\left( {2; - \,1;2} \right).$ Biết mặt phẳng qua $B,\,\,C$ và tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện $OABC$ có một vectơ pháp tuyến là $\left( {10;a;b} \right).$ Tổng $a + b$ là