Câu hỏi:
2 năm trước
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với $A(1;0;0),\,\,B(3;2;4),\,C(0;5;4)$. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho $\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} } \right|$ nhỏ nhất.
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
+ Ta tìm điểm \(I\left( {a;b;c} \right)\) thỏa mãn \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + 2\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \) hay:
\(\left\{ \begin{array}{l}1 - a + 3 - a - 2a = 0\\ - b + 2 - b + 2\left( {5 - b} \right) = 0\\ - c + 4 - c + 2\left( {4 - c} \right) = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 3\\c = 3\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {1;3;3} \right)\)
+ Khi đó:
$\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} } \right| = \left| {4\overrightarrow {MI} } \right| \ge 4IH$ với \(H\) là hình chiếu của \(I\) trên \(\left( {Oxy} \right)\) và \(H\left( {1;3;0} \right)\)
Do đó \(\min \left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} } \right| = 4IH = 12\) khi \(H \equiv M\) hay \(M\left( {1;3;0} \right)\)
Hướng dẫn giải:
- Tìm điểm \(I\) sao cho \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + 2\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \)
- Chứng minh khoảng độ dài véc tơ tổng đạt \(\min \) khi \(M\) là hình chiếu của \(I\) trên \(\left( {Oxy} \right)\)
