Câu hỏi:
2 năm trước
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng ${d_1}:\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{y}{{ - 1}} = \dfrac{{z + 2}}{1}$ và ${d_2}:\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{{y - 1}}{7} = \dfrac{{z - 3}}{{ - 1}}$. Đường vuông góc chung của ${d_1}$ và ${d_2}$ lần lượt cắt ${d_1},\,\,{d_2}$ tại A và B. Diện tích tam giác OAB bằng
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: b
${d_1}:\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{y}{{ - 1}} = \dfrac{{z + 2}}{1}$ có phương trình tham số : $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2{t_1}\\y = - {t_1}\\z = - 2 + {t_1}\end{array} \right.$, có 1 VTCP $\overrightarrow {{u_1}} \left( {2; - 1;1} \right)$.
${d_2}:\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{{y - 1}}{7} = \dfrac{{z - 3}}{{ - 1}}$ có phương trình tham số : $\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + {t_2}\\y = 1 + 7{t_2}\\z = 3 - {t_2}\end{array} \right.$, có 1 VTCP $\overrightarrow {{u_1}} \left( {1;7; - 1} \right)$.
$A \in {d_1},\,\,B \in {d_2}$
Gọi $A(1 + 2{t_1}; - {t_1}; - 2 + {t_1}),\,\,B( - 1 + {t_2};1 + 7{t_2};3 - {t_2}) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {{t_2} - 2{t_1} - 2;7{t_2} + {t_1} + 1;\, - {t_2} - {t_1} + 5} \right)$
AB là đường vuông góc chung của ${d_1},\,\,{d_2}$ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_1}} = 0\\\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_2}} = 0\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2({t_2} - 2{t_1} - 2) - 1(7{t_2} + {t_1} + 1) + 1( - {t_2} - {t_1} + 5) = 0\\1({t_2} - 2{t_1} - 2) + 7(7{t_2} + {t_1} + 1) - 1( - {t_2} - {t_1} + 5) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 6{t_2} - 6{t_1} = 0\\51{t_2} + 6{t_1} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow {t_1} = {t_2} = 0$
$ \Rightarrow A(1;0; - 2),\,\,B( - 1;1;3) \Rightarrow \overrightarrow {OA} = (1;0; - 2),\,\,\overrightarrow {OB} = ( - 1;1;3)$
Diện tích tam giác OAB: ${S_{OAB}} = \dfrac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow {OB} } \right]} \right| = \dfrac{1}{2}\left| {\left( {2; - 1;1} \right)} \right| = \dfrac{{\sqrt 6 }}{2}$
Hướng dẫn giải:
Công thức tính diện tích tam giác ΔABC trong hệ tọa độ Oxyz là: ${S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right]} \right|$
