Câu hỏi:
2 năm trước
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho điểm $A\left( {1;1;1} \right)$ và đường thẳng $d:\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{y}{{ - \,2}} = \dfrac{{z - 1}}{9}.$ Biết đường thẳng $\Delta $ qua $A,$ cắt $d$ và khoảng cách từ gốc tọa độ đến $\Delta $ nhỏ nhất, $\Delta $ có một vectơ chỉ phương là $\left( {1;a;b} \right).$ Tổng $a + b$ là
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
Đường thẳng $d$ đi qua $B\left( {1;0;1} \right),$ có vectơ chỉ phương $\vec u = \left( {1; - \,2;9} \right)$$ \Rightarrow \,\,\left[ {\overrightarrow {AB} ;\vec u} \right] = \left( {9;0; - \,1} \right).$
Phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ chứa $d$ và đi qua $A$ là $\left( \alpha \right):9x - z - 8 = 0.$
Gọi $I$ là hình chiếu của $O$ trên $\Delta ,$ $H$ là hình chiếu của $O$ trên $\left( \alpha \right).$
Ta có $d\left( {O;\left( \Delta \right)} \right) = OI \le OH \Rightarrow \,\,{d_{\min }} = OH$$ \Leftrightarrow $$H$ là hình chiếu của $O$ trên $\left( \alpha \right).$
Phương trình đường thẳng $OH$ là $\left\{ \begin{array}{l}x = 9t\\y = 0\\z = - \,t\end{array} \right.$$ \Rightarrow \,\,H\left( {9t;0; - \,t} \right) \in \left( \alpha \right)$$ \Rightarrow t = \dfrac{4}{{41}}.$
Vậy $H\left( {\dfrac{{36}}{{41}};0; - \,\dfrac{4}{{41}}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {HA} = \left( {\dfrac{5}{{41}};1;\dfrac{{45}}{{41}}} \right) = \dfrac{5}{{41}}\left( {1;\dfrac{{41}}{5};9} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{{41}}{5}\\b = 9\end{array} \right..$
\( \Rightarrow a + b = \dfrac{{41}}{5} + 9 = \dfrac{{86}}{5}.\)
Hướng dẫn giải:
Dựng hình, đưa về bài toán tìm điểm để khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng nhỏ nhất
