Câu hỏi:
2 năm trước
Trong không gian ${\rm{Ox}}yz$, cho đường thẳng $d:\,\,\dfrac{{x - 2}}{1} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 2}} = \dfrac{{z - 1}}{2}$ và hai điểm $A(3;2;1)$, $B(2;0;4)$. Gọi $\Delta $ là đường thẳng qua A, vuông góc với d sao cho khoảng cách từ B đến $\Delta $ là nhỏ nhất. Gọi $\overrightarrow u = (2;b;c)$ là một VTCP của $\Delta $. Khi đó, $\left| {\overrightarrow u } \right|$ bằng
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: b
$\overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 2;3} \right)$
$d:\,\,\dfrac{{x - 2}}{1} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 2}} = \dfrac{{z - 1}}{2}$ có 1 VTCP $\overrightarrow v \left( {1; - 2;2} \right)$ là một VTCP của $\Delta $
$\Delta $ là đường thẳng qua A, vuông góc với d $ \Rightarrow \Delta \subset \left( \alpha \right)$: mặt phẳng qua A và vuông góc d
Phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right):1(x - 3) - 2(y - 2) + 2(z - 1) = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 2z - 1 = 0$
Khi đó, $d{\left( {B;\Delta } \right)_{\min }} = d\left( {B;\left( \alpha \right)} \right)$ khi và chỉ khi $\Delta $ đi qua hình chiếu $H$ của B lên $\left( \alpha \right)$.
*) Tìm tọa độ điểm H:
Đường thẳng BH đi qua $B(2;0;4)$ và có VTCP là VTPT của $\left( \alpha \right)$ có phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = - 2t\\z = 4 + 2t\end{array} \right.$ $H \in BH \Rightarrow H\left( {2 + t; - 2t;4 + 2t} \right)$
$H \in \left( \alpha \right) \Rightarrow (2 + t) - 2( - 2t) + 2(4 + 2t) - 1 = 0 \Leftrightarrow 9t + 9 = 0 \Leftrightarrow t = - 1 \Rightarrow H\left( {1;2;2} \right)$
$\Delta $ đi qua $A(3;2;1)$, $H\left( {1;2;2} \right)$ có VTCP $\overrightarrow {HA} = \left( {2;0; - 1} \right) = \overrightarrow u \left( {2;b;c} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt 5 $
Hướng dẫn giải:
- Viết phương trình mặt phẳng \( (\alpha )\) đi qua \(A\) và vuông góc \(d\).
- Tìm tọa độ hình chiếu \(H\) của \(B\) lên \( (\alpha )\).
- Viết phương trình \(\Delta \) đi qua \(A\) và \(H\).
