Khối nón có chiều cao bằng bán kính đáy và có thể tích bằng 9π, chiều cao của khối nón đó bằng:
Gọi chiều cao khối nón là h và bán kính đáy là r, theo bài ra ta có h=r.
⇒V=13πr2h⇔9π=13π.r2.r ⇔r3=27⇔r=3=h.
Vậy khối nón có chiều cao h=3.
Trong tất cả các hình nón nội tiếp trong hình cầu có thể tích bằng 36π, bán kính r của hình nón có diện tích xung quanh lớn nhất là
Bước 1: Tính bán kính hình cầu và biểu diễn r và đường sinh l theo chiều cao h của hình nón.
Vì hình cầu có thể tích bằng 36π nên bán kính hình cầu là R=3.
Diện tích xung quanh của hình nón Sxq=πrl.
Gọi chiều cao của hình nón là h, khi đó h∈(0;6).
Ta có r2=h.(2R−h)=6h−h2, suy ra r=√6h−h2.
Lại có l2=h.2R=6h, nên Sxq=π√6h−h2⋅√6h=π√36h2−6h3.
Bước 2: Tìm h để diện tích xung quanh lớn nhất, từ đó tìm r.
Ta có 36h2−6h3=3h2(12−2h)=3⋅h⋅h⋅(12−2h)≤3⋅(h+h+12−2h3)3.
Hay 36h2−6h3≤192, dấu đẳng thức xảy ra khi h=4.
Khi đó r=√6h−h2=2√2.
Suy ra Sxq lớn nhất bằng 8√3π khi r=2√2.
Trong không gian, cho hình thang cân ABCD,AB//CD, AB=3a,CD=6a, đường cao MN=2a, với M,N lần lượt là trung điểm cảu AB và CD. Khi quay hình thang cân quang trục đối xứng MN thì được một hình nón cụt có diện tích xung quanh là:

Kéo dài AD và BC cắt nhau tại S.
Quay tam giác SCD quanh trục SN được hình nón (N) đỉnh S, đáy là đường tròn đường kính CD.
Gọi hình nón đỉnh S, đáy là đường tròn đường kính AB là (M).
Theo định lý Talet ta có: SASD=SMSN=ABAD=3a6a=12
⇒SMSN=12⇔SMSM+2a=12 ⇔2SM=SM+2a⇔SM=2a
⇒SN=SM+MN=4a.
Áp dụng định lý Pitago cho các tam giác SAM,SDN vuông tại M,N ta có:
{SA2=SM2+AM2SD2=SN2+DN2 ⇔{SA2=4a2+(3a2)2=25a24SD2=(4a)2+(6a2)2=25a2⇔{SA=5a2SD=5a.
⇒ Diện tích xung quanh hình chóp cụt cần tính là:
Sxq(N)−Sxq(M)=π.DN.SD−π.SA.AM=π.5a.3a−π.5a2.3a2=45πa24=11,25πa2.
Cho hình lập phương có cạnh bằng a. Diện tích toàn phần của hình nón có đỉnh là tâm của một mặt còn đáy là đường tròn nội tiếp mặt đối diện là
Bước 1: Gọi các điểm. Tính bán kính đáy và đường sinh của hình nón.
Giả sử ta có hình lập phương và các điểm như hình vẽ.
Bán kính đáy hình nón là r=OM=12BC=a2.
Đường sinh hình nón là
1=O′M=√OO′2+OM2=√a2+a24=a√52.
Bước 2: Tính diện tích toàn phần của hình nón
Diện tích toàn phần của hình nón là
Stp=Sxq+Sđáy=πrl+πr2=πa2(√5+1)4.
Cho khối nón có bán kính đáy r=√3 và chiều cao h=4. Tính thể tích V của khối nón đã cho.
Thể tích khối nón là V=13πr2h=13π(√3)2.4=4π.
Cho hình nón S có bán kính R=a√2, góc ở đỉnh bằng 600. Diện tích toàn phần của hình nón bằng :
Vì góc ở đỉnh bằng 600 nên thiết diện qua trục là tam giác đều cạnh 2R=2a√2, do đó độ dài đường sinh:
l=2R=2a√2⇒Sxq=πRl=π.a√2.2a√2=4πa2
Diện tích đáy Sd=πR2=π(a√2)2=2πa2
Diện tích toàn phần Stp=Sxq+Sd=4πa2+2πa2=6πa2
Cho khối nón có bán kính đáy bằng 3 và diện tích xung quanh bằng 12π. Hỏi thể tích của khối nón đã cho bằng bao nhiêu?
Gọi h,l lần lượt là chiều cao và độ dài đường sinh của khối nón.
Khi đó:
Sxq=πrl⇔12π=π.3.l⇔l=4⇒h=√l2−r2=√42−32=√7
Vậy thể tích khối nón là V=13πr2h=13π.32.√7=3√7π.
Cho hình nón có bán kính đáy bằng 4a và chiều cao bằng 3a. Diện tích toàn phần của hình nón bằng:
Độ dài đường sinh của hình nón l=√r2+h2=5a
Diện tích xung quanh của hình nón Sxq=πrl=π.4a.5a=20πa2.
Diện tích đáy Sd=πr2=π(4a)2=16πa2.
Diện tích toàn phần Stp=Sxq+Sd=20πa2+16πa2=36πa2
Đề thi THPT QG 2019 – mã đề 104
Thể tích của khối nón có chiều cao h và bán kính đáy r là
Thể tích của khối nón có chiều cao h và bán kính đáy r là 13πr2h.
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 103
Cắt hình nón (ℵ) bởi mặt phẳng đi qua đỉnh và tạo với mặt phẳng chứa đáy một góc bằng 300, ta được thiết diện là tam giác đều cạnh 4a. Diện tích xung quanh của (ℵ) bằng:
+ Sxq=πRl⇒ Cần tìm R,l.
+ Thiết diện là ΔSMN đều cạnh 4a ⇒l=SM=SN=4a.
+ ∠((SMN);(day))=∠SHO=300.
Mà SH=√32(canhΔSMN)=√32.4a=2a√3.
⇒SO=SH.sin∠SHO=2√3a.sin300=√3a.
⇒OM=√SM2−SO2=√(4a)2−(√3a)2=a√13.
⇒R=OM=a√13.
Vậy Sxq=πRl=π.a√13.4a=4√13πa2.
Cho khối nón có độ dài đường sinh bằng 2a và bán kính đáy bằng a. Thể tích của khối nón đã cho bằng
Xét ΔSAO vuông tại O có: SO=√SA2−AO2=√(2a)2−a2=a√3.
Khi đó ta có: V=13πR2h=13π.a2.a√3=πa3√33.
Cho khối nón có độ dài đường cao bằng 2a và bán kính đáy bằng a. Thể tích của khối nón đã cho bằng:
Thể tích khối nón đã cho là: V=13πR2h=13π.2a.a2=2πa33.
Đề thi THPT QG – 2021 lần 1– mã 104
Cắt hình nón (ℵ) bởi mặt phẳng đi qua đỉnh và tạo với mặt phẳng chứa đáy một góc bằng 30o, ta được thiết diện là tam giác đều cạnh 2a. Diện tích xung quanh của (ℵ) bằng
Gọi mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón là (SMN).
Do thiết diện của (SMN) và hình nón là tam giác đều cạnh 2a nên SM=MN=SN=2a
Kẻ OH⊥AB. Nối S với H.
Khi đó H là trung điểm MN nên SH=a√3
Ta có: góc giữa (SMN) và mặt đáy là ∠SHO
Trong tam giác SHO vuông tại O ta có: tanSHO=SOOH⇒tan30o=SOOH⇒SO=√33.OH
Theo định lí py-ta-go ta có: SO2+OH2=SH2⇒43OH2=SH2⇒OH=√32SH=3a2
⇒SO=√32a⇒OM=√SM2−SO2=√4a2−3a24=a√132
Diện tích xung quanh của hình nón: Sxq=π.a√132.2a=π√13a2
Cho hình nón chứa bốn mặt cầu cùng có bán kính là √2, trong đó ba mặt cầu tiếp xúc với đáy, tiếp xúc lẫn nhau và tiếp xúc với mặt xung quanh của hình nón. Mặt cầu thứ tư tiếp xúc với ba mặt cầu kia và tiếp xúc với mặt xung quanh của hình nón. Tính bán kính đáy của hình nón.
Xét trường hợp tổng quát là bốn mặt cầu có bán kính r.
Bước 1: Gọi tâm các mặt cầu là S, A, B, C trong đó S là tâm của mặt cầu trên cùng. Gọi I là tâm của tam giác ABC. Tính AI và SI.
Gọi tâm các mặt cầu là S, A, B, C trong đó S là tâm của mặt cầu trên cùng. Do các mặt cầu tiếp xúc ngoài nhau nên S.ABC là chóp đều cạnh 2r
Gọi I là tâm của tam giác ABC, khi đó SI vuông góc với mặt phẳng (ABC) và AI=2r√33.
Tam giác SAI vuông tại I, có
SI=√SA2−AI2=√4r2−(2r√33)2=2r√63
Bước 2: Kẻ đường sinh JP của hình nón tiếp xúc với hai mặt cầu tâm S và tâm A lần lượt tại H, K.
Ta có ΔSAI∽ nên \dfrac{{SJ}}{{SA}} = \dfrac{{SH}}{{AI}}
\Rightarrow SJ = \dfrac{{SA \cdot SH}}{{AI}} = 2r \cdot r \cdot \dfrac{3}{{2r\sqrt 3 }}. = r\sqrt 3
Bước 3: Biểu diễn chiều cao và bán kính của khói nón theo r
Chiều cao của khối nón là
h = JS + SI + IO = r\sqrt 3 + \dfrac{{2r\sqrt 6 }}{3} + r = r\left( {1 + \sqrt 3 + \dfrac{{2\sqrt 6 }}{3}} \right)
Bán kính khối nón là R = OP = JO \cdot \tan \widehat {SJH}
\Leftrightarrow R = h.\tan ASI = r\left( {1 + \sqrt 3 + \dfrac{{2\sqrt 6 }}{3}} \right) \cdot \dfrac{{AI}}{{SI}} = r\left( {1 + \sqrt 3 + \dfrac{{2\sqrt 6 }}{3}} \right)\dfrac{{2r\sqrt 3 }}{3} \cdot \dfrac{3}{{2r\sqrt 6 }} = r\left( {1 + \sqrt 3 + \dfrac{{2\sqrt 6 }}{3}} \right)\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}
Bước 4: Tính R khi r = \sqrt 2
Áp dụng với r = \sqrt 2 ta được
R = \sqrt 2 \cdot \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \cdot \left( {1 + \sqrt 3 + \dfrac{{2\sqrt 6 }}{3}} \right) = 1 + \sqrt 3 + \dfrac{{2\sqrt 6 }}{3}
Mệnh đề nào dưới đây là sai?
+ Đáp án A: đúng.
+ Đáp án B: Sai vì diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay là giới hạn của diện tích xung quanh của hình chóp đều nội tiếp hình nón đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.
+ Đáp án C: đúng.
+ Đáp án D: đúng.
Thể tích khối nón có bán kính đáy r và chiều cao h được tính theo công thức nào dưới đây?
Thể tích khối nón có bán kính đáy r và chiều cao h được tính theo công thức V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h.
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Cắt hình nón \left( \aleph \right) bởi mặt phẳng đi qua đỉnh và tạo với mặt phẳng chứa đáy một góc bằng {60^0}, ta được thiết diện là tam giác đều cạnh 4{\rm{a}}. Diện tích xung quanh của \left( \aleph \right) bằng
+ {S_{xq}} = \pi Rl \Rightarrow Cần tìm R,\,\,l.
+ Thiết diện là \Delta SMN đều cạnh 4a \Rightarrow l = SM = SN = 4a.
+ \angle \left( {\left( {SMN} \right);\left( {day} \right)} \right) = \angle SHO = {60^0}.
Mà SH = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {canh\,\,\Delta SMN} \right) = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.4a = 2a\sqrt 3 .
\Rightarrow SO = SH.\sin \angle SHO = 2\sqrt 3 a.\sin {60^0} = 3a.
\Rightarrow OM = \sqrt {S{M^2} - S{O^2}} = \sqrt {{{\left( {4a} \right)}^2} - {{\left( {3a} \right)}^2}} = a\sqrt 7 .
\Rightarrow R = OM = a\sqrt 7 .
Vậy {S_{xq}} = \pi Rl = \pi .a\sqrt 7 .4a = 4\sqrt 7 \pi {a^2}.
Diện tích xung quanh của hình nón có bán kính đường tròn đáy R và chiều cao h bằng:
Hình nón có bán kính đáy R và chiều cao h thì đường sinh l = \sqrt {{R^2} + {h^2}} .
Khi đó diện tích xung quanh hình nón là {S_{xq}} = \pi Rl = \pi R\sqrt {{R^2} + {h^2}} .
Cho tam giác ABC vuông cân tại A, AB = a. Cho tam giác ABC quay xung quanh cạnh AC ta được một khối tròn xoay. Tính thể tích khối tròn xoay đó.
Quay tam giác ABC vuông cân tại A quanh cạnh AC thu được khối nón có chiều cao h = AC = a, bán kính đáy r = AB = a.
Khi đó thể tích khối nón là V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{1}{3}\pi {a^3}.
Cho hình nón có bán kính đường tròn đáy bằng R, chiều cao bằng h, độ dài đường sinh bằng l. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình nón có bán kính đáy R, chiều cao h và đường sinh l thì ta có: {l^2} = {h^2} + {R^2}.
\Rightarrow l = \sqrt {{R^2} + {h^2}} .