Khái niệm về mặt tròn xoay (mặt nón)

Diện tích xung quanh của hình nón đã cho là: ${S_{xq}} = \pi Rl = \pi .\sqrt 3 .4 = 4\sqrt 3 \pi .$

Bán kính đáy của hình nón là: $R = 2a:2 = a.$

Thể tích khối nón đã cho là: $V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h = \dfrac{1}{3}\pi .{a^2}.a = \dfrac{{\pi {a^3}}}{3}.$

Bước 1: Xác định chiều cao của hình nón.

Ta có: R=a

=> AB=2a

$\Rightarrow SH = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.AB = a\sqrt 3$

Bước 2: Tính thể tích hình nón

Thể tích hình nón là: $V = \dfrac{1}{3}.SH.{a^2}\pi  = \dfrac{1}{3}.a\sqrt 3 .{a^2}\pi  = \dfrac{{{a^3}\pi \sqrt 3 }}{3}$

Diện tích xung quanh của hình nón đã cho là: ${S_{xq}} = \pi Rl = \pi .3.\sqrt {{4^2} + {3^2}}  = 15\pi .$

Thể tích khối nón đã cho là: $V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{1}{3}\pi {.2^2}.4 = \dfrac{{16\pi }}{3}.$

Theo bài ra ta có hình nón có đường sinh $l = 5\,\,\left( {cm} \right)$, chiều cao $h = 4\,\,\left( {cm} \right)$. Gọi $r$ là bán kính đáy hình nón, cũng chính là bán kính hình cầu, ta có $r = \sqrt {{l^2} - {h^2}}  = \sqrt {{5^2} - {4^2}}  = 3\,\,\left( {cm} \right)$.

Thể tích khối nón là: ${V_1} = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{1}{3}\pi {.3^2}.4 = 12\pi \,\,\left( {c{m^3}} \right)$.

Thể tích nửa khối cầu là: ${V_2} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{4}{3}\pi {r^3} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{4}{3}\pi {.3^3} = 18\pi \,\,\left( {c{m^3}} \right)$

Vậy thể tích của đồ chơi bằng: ${V_1} + {V_2} = 12\pi  + 18\pi  = 30\pi \,\,\left( {c{m^3}} \right)$.

Hình nón $\left( {\rm N} \right)$ có thiết diện qua trục là tam giác đều có cạnh bằng 4 $\Rightarrow l = 4,\,\,\,r = \dfrac{4}{2} = 2$.

Diện tích toàn phần của hình nón ${S_{tp}} = \pi rl + \pi {r^2} = \pi .2.4 + \pi {.2^2} = 12\pi$.

Theo đề bài ta có: $\widehat {ASB }= {60^0}$ $\Rightarrow \widehat{ASO} = {30^0}.$

$\Rightarrow SA = \dfrac{{OA}}{{\sin \widehat {OSA}}} = \dfrac{4}{{\sin {{30}^0}}} = \dfrac{4}{{\dfrac{1}{2}}} = 8.$

$\Rightarrow$ Diện tích xung quanh của hình nón đã cho là: ${S_{xq}} = \pi rl = \pi .4.8 = 32\pi .$

Gọi mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón là $\left( {SAB} \right)$.

Do thiết diện của $\left( {SAB} \right)$ và hình nón là tam giác đều cạnh $2a$ nên $SA = AB = AB = 2a$

Kẻ $OH \bot AB$. Nối $S$ với $H.$

Khi đó $H$ là trung điểm $AB$ nên $SH = a\sqrt 3$

Ta có: góc giữa $\left( {SAB} \right)$ và mặt đáy là $\angle SHO$

Trong tam giác $SHO$ vuông tại $O$ ta có: $\tan SHO = \dfrac{{SO}}{{OH}}$$\Rightarrow \tan {60^o} = \dfrac{{SO}}{{OH}} \Rightarrow SO = \sqrt 3 .OH$

Theo định lí py-ta-go ta có: $S{O^2} + O{H^2} = S{H^2}$$\Rightarrow 4O{H^2} = S{H^2} \Rightarrow OH = \dfrac{1}{2}SH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$

$\Rightarrow SO = \dfrac{{3a}}{2}$$\Rightarrow OA = \sqrt {S{A^2} - S{O^2}}  = \sqrt {4{a^2} - \dfrac{{9{a^2}}}{4}}  = \dfrac{{a\sqrt 7 }}{2}$

Diện tích xung quanh của hình nón: ${S_{xq}} = \pi .\dfrac{{a\sqrt 7 }}{2}.2a = \pi \sqrt 7 {a^2}$

Giả sử thiết diện qua trục là tam giác $SAB$, $O$ là tâm đường tròn đáy $\Rightarrow O$ là trung điểm của $AB$.

Tam giác $SAB$ vuông tại $S$ nên ${S_{\Delta SAB}} = \dfrac{1}{2}SA.SB = \dfrac{1}{2}S{A^2} = 8 \Leftrightarrow SA = 4 = l$.

$\Rightarrow AB = SA\sqrt 2  = 4\sqrt 2  \Rightarrow r = OA = 2\sqrt 2$.

Vậy diện tích xung quanh hình nón là ${S_{xq}} = \pi rl = \pi .2\sqrt 2 .4 = 8\sqrt 2 \pi$.

Diện tích toàn phần của hình nón đã cho là: ${S_{tp}} = \pi Rl + \pi {R^2}$ $= \pi .3.5 + \pi {.3^2} = 24\pi .$

Giả sử thiết diện qua trục là tam giác $ABC$, theo bài ra ta có $\Delta ABC$ vuông cân tại $A$ có $AB = a\sqrt 2$.

$\Rightarrow BC = AB\sqrt 2  = 2a$.

$\Rightarrow$ Bán kính đáy của hình nón là $r = \dfrac{1}{2}BC = a$ và chiều cao hình nón là $h = OA = \dfrac{1}{2}BC = a$.

Vậy thể tích khối nón là $V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{1}{3}\pi {a^2}.a = \dfrac{{\pi {a^3}}}{3}$.

Bước 1: Tính bán kính đường tròn đáy của hình nón.

Vì $\Delta ABD$ đều nên tâm đường tròn nội tiếp tam giác trùng với trọng tâm của tam giác

$\Rightarrow$ Bán kính đường tròn đáy của hình nón là: $r = \dfrac{{BM}}{3} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}$.

Bước 2: Tính diện tích xung quanh của hình nón ${S_{xq}} = \pi rl + \pi {r^2}$

Vì chiều cao của hình nón bằng chiều cao của lăng trụ nên ta có độ dài đường sinh là

$l = \sqrt {{A^\prime }{O^2} - {r^2}}$$= \sqrt {{{\left( {\dfrac{{3a}}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}} \right)}^2}}  = \dfrac{{a\sqrt {159} }}{6}$

Vậy diện tích xung quanh của hình nón là: ${S_{xq}} = \pi rl + \pi {r^2}$$= \dfrac{{\pi {a^2}(\sqrt {53}  + 1)}}{{12}}$.

Bước 1: Tính ${S_{ABCD}};A'O$

Ta có ${S_{ABCD}} = 2{S_{ABD}}$$= 2 \cdot \dfrac{1}{2}AB \cdot AD \cdot \sin {60^0 } = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2};$${A^\prime }O = \dfrac{{3a}}{2}$.

Bước 2: Tính ${V_{AC{B^\prime }{D^\prime }}} = \dfrac{1}{3}{V_{ABCD \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }}}$

=> ${V_{AC{B^\prime }{D^\prime }}} = \dfrac{1}{3}{V_{ABCD \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }}}$$= \dfrac{1}{3} \cdot {A^\prime }O \cdot {S_{ABCD}}$$= \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{{3a}}{2} \cdot \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}$

Bán kính của đường trón đáy là: $r = \dfrac{a}{2}.$

Diện tích xung quanh của hình nón đã cho là: ${S_{xq}} = \pi rl = \pi .\dfrac{a}{2}.\dfrac{a}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{\pi {a^2}\sqrt 2 }}{4}.$

Bước 1: Xác định góc giữa hai mặt phẳng $\left( {BC{C^\prime }{B^\prime }} \right)$ và $(ABCD)$

Gọi $M$ là trung điểm $A D$

$\Rightarrow BM \bot AD({\mathop{\rm tam}\nolimits}$ giác $A B D$ I$là trung điểm$M D$

$\Rightarrow OI \bot AD \Rightarrow$ góc giữa hai mặt phẳng $\left( {BC{C^\prime }{B^\prime }} \right)$ và $(ABCD)$ bằng $\widehat {{A^\prime }IO}$.

Bước 2: Tính $\tan \widehat {{A^\prime }IO}$

Ta có $AC = 2AO = 2 \cdot \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3$.

Xét tam giác $A{A^\prime }O$ vuông tại $O$ có: ${A^\prime }O = AO \cdot \tan {60^0 } = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \cdot \sqrt 3  = \dfrac{{3a}}{2}$.

Xét $\Delta BMD$ có: $OI = \dfrac{1}{2}BM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}$.

Xét tam giác ${A^\prime }IO$ vuông tại $O$ có: $\tan \widehat {{A^\prime }IO} = \dfrac{{{A^\prime }O}}{{OI}} = 2\sqrt 3$

Công thức tính diện tích xung quanh hình nón có bán kính đáy $r$ và độ dài đường sinh $l$ là: ${S_{xq}} = \pi rl$

Áp dụng công thức ${S_{xq}} = \pi rl$ ta được: ${S_{xq}} = \pi .3.4 = 12\pi \left( {c{m^2}} \right)$

Từ công thức ${S_{xq}} = \pi rl$ ta có: $l = \dfrac{{{S_{xq}}}}{{\pi r}}$ 

Quan sát hình vẽ ta thấy: $l = AB,r = OB,h = AO$.

Mà $A{B^2} = A{O^2} + O{B^2}$ nên ${l^2} = {r^2} + {h^2}$