Khái niệm về mặt tròn xoay (mặt nón)

Diện tích xung quanh của hình nón đã cho là: \({S_{xq}} = \pi Rl = \pi .\sqrt 3 .4 = 4\sqrt 3 \pi .\)

Bán kính đáy của hình nón là: \(R = 2a:2 = a.\)

Thể tích khối nón đã cho là: \(V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h = \dfrac{1}{3}\pi .{a^2}.a = \dfrac{{\pi {a^3}}}{3}.\)

Bước 1: Xác định chiều cao của hình nón.

Ta có: R=a

=> AB=2a

\( \Rightarrow SH = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.AB = a\sqrt 3 \)

Bước 2: Tính thể tích hình nón

Thể tích hình nón là: \(V = \dfrac{1}{3}.SH.{a^2}\pi  = \dfrac{1}{3}.a\sqrt 3 .{a^2}\pi  = \dfrac{{{a^3}\pi \sqrt 3 }}{3}\)

Diện tích xung quanh của hình nón đã cho là: \({S_{xq}} = \pi Rl = \pi .3.\sqrt {{4^2} + {3^2}}  = 15\pi .\)

Thể tích khối nón đã cho là: \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{1}{3}\pi {.2^2}.4 = \dfrac{{16\pi }}{3}.\)

Theo bài ra ta có hình nón có đường sinh \(l = 5\,\,\left( {cm} \right)\), chiều cao \(h = 4\,\,\left( {cm} \right)\). Gọi \(r\) là bán kính đáy hình nón, cũng chính là bán kính hình cầu, ta có \(r = \sqrt {{l^2} - {h^2}}  = \sqrt {{5^2} - {4^2}}  = 3\,\,\left( {cm} \right)\).

Thể tích khối nón là: \({V_1} = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{1}{3}\pi {.3^2}.4 = 12\pi \,\,\left( {c{m^3}} \right)\).

Thể tích nửa khối cầu là: \({V_2} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{4}{3}\pi {r^3} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{4}{3}\pi {.3^3} = 18\pi \,\,\left( {c{m^3}} \right)\)

Vậy thể tích của đồ chơi bằng: \({V_1} + {V_2} = 12\pi  + 18\pi  = 30\pi \,\,\left( {c{m^3}} \right)\).

Hình nón \(\left( {\rm N} \right)\) có thiết diện qua trục là tam giác đều có cạnh bằng 4 \( \Rightarrow l = 4,\,\,\,r = \dfrac{4}{2} = 2\).

Diện tích toàn phần của hình nón \({S_{tp}} = \pi rl + \pi {r^2} = \pi .2.4 + \pi {.2^2} = 12\pi \).

Theo đề bài ta có: \(\widehat {ASB }= {60^0}\) \( \Rightarrow \widehat{ASO} = {30^0}.\)

\( \Rightarrow SA = \dfrac{{OA}}{{\sin \widehat {OSA}}} = \dfrac{4}{{\sin {{30}^0}}} = \dfrac{4}{{\dfrac{1}{2}}} = 8.\)

\( \Rightarrow \) Diện tích xung quanh của hình nón đã cho là: \({S_{xq}} = \pi rl = \pi .4.8 = 32\pi .\)

Gọi mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón là \(\left( {SAB} \right)\).

Do thiết diện của \(\left( {SAB} \right)\) và hình nón là tam giác đều cạnh \(2a\) nên \(SA = AB = AB = 2a\)

Kẻ \(OH \bot AB\). Nối \(S\) với \(H.\)

Khi đó \(H\) là trung điểm \(AB\) nên \(SH = a\sqrt 3 \)

Ta có: góc giữa \(\left( {SAB} \right)\) và mặt đáy là \(\angle SHO\)

Trong tam giác \(SHO\) vuông tại \(O\) ta có: \(\tan SHO = \dfrac{{SO}}{{OH}}\)\( \Rightarrow \tan {60^o} = \dfrac{{SO}}{{OH}} \Rightarrow SO = \sqrt 3 .OH\)

Theo định lí py-ta-go ta có: \(S{O^2} + O{H^2} = S{H^2}\)\( \Rightarrow 4O{H^2} = S{H^2} \Rightarrow OH = \dfrac{1}{2}SH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

\( \Rightarrow SO = \dfrac{{3a}}{2}\)\( \Rightarrow OA = \sqrt {S{A^2} - S{O^2}}  = \sqrt {4{a^2} - \dfrac{{9{a^2}}}{4}}  = \dfrac{{a\sqrt 7 }}{2}\)

Diện tích xung quanh của hình nón: \({S_{xq}} = \pi .\dfrac{{a\sqrt 7 }}{2}.2a = \pi \sqrt 7 {a^2}\)

Giả sử thiết diện qua trục là tam giác \(SAB\), \(O\) là tâm đường tròn đáy \( \Rightarrow O\) là trung điểm của \(AB\).

Tam giác \(SAB\) vuông tại \(S\) nên \({S_{\Delta SAB}} = \dfrac{1}{2}SA.SB = \dfrac{1}{2}S{A^2} = 8 \Leftrightarrow SA = 4 = l\).

\( \Rightarrow AB = SA\sqrt 2  = 4\sqrt 2  \Rightarrow r = OA = 2\sqrt 2 \).

Vậy diện tích xung quanh hình nón là \({S_{xq}} = \pi rl = \pi .2\sqrt 2 .4 = 8\sqrt 2 \pi \).

Diện tích toàn phần của hình nón đã cho là: \({S_{tp}} = \pi Rl + \pi {R^2}\) \( = \pi .3.5 + \pi {.3^2} = 24\pi .\)

Giả sử thiết diện qua trục là tam giác \(ABC\), theo bài ra ta có \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\) có \(AB = a\sqrt 2 \).

\( \Rightarrow BC = AB\sqrt 2  = 2a\).

\( \Rightarrow \) Bán kính đáy của hình nón là \(r = \dfrac{1}{2}BC = a\) và chiều cao hình nón là \(h = OA = \dfrac{1}{2}BC = a\).

Vậy thể tích khối nón là \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{1}{3}\pi {a^2}.a = \dfrac{{\pi {a^3}}}{3}\).

Bước 1: Tính bán kính đường tròn đáy của hình nón.

Vì \(\Delta ABD\) đều nên tâm đường tròn nội tiếp tam giác trùng với trọng tâm của tam giác

\( \Rightarrow \) Bán kính đường tròn đáy của hình nón là: \(r = \dfrac{{BM}}{3} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}\).

Bước 2: Tính diện tích xung quanh của hình nón \({S_{xq}} = \pi rl + \pi {r^2}\)

Vì chiều cao của hình nón bằng chiều cao của lăng trụ nên ta có độ dài đường sinh là

\(l = \sqrt {{A^\prime }{O^2} - {r^2}} \)\( = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{3a}}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}} \right)}^2}}  = \dfrac{{a\sqrt {159} }}{6}\)

Vậy diện tích xung quanh của hình nón là: \({S_{xq}} = \pi rl + \pi {r^2}\)\( = \dfrac{{\pi {a^2}(\sqrt {53}  + 1)}}{{12}}\).

Bước 1: Tính \({S_{ABCD}};A'O\)

Ta có \({S_{ABCD}} = 2{S_{ABD}}\)\( = 2 \cdot \dfrac{1}{2}AB \cdot AD \cdot \sin {60^0 } = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2};\)\({A^\prime }O = \dfrac{{3a}}{2}\).

Bước 2: Tính \({V_{AC{B^\prime }{D^\prime }}} = \dfrac{1}{3}{V_{ABCD \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }}}\)

=> \({V_{AC{B^\prime }{D^\prime }}} = \dfrac{1}{3}{V_{ABCD \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }}}\)\( = \dfrac{1}{3} \cdot {A^\prime }O \cdot {S_{ABCD}}\)\( = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{{3a}}{2} \cdot \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\)

Bán kính của đường trón đáy là: \(r = \dfrac{a}{2}.\)

Diện tích xung quanh của hình nón đã cho là: \({S_{xq}} = \pi rl = \pi .\dfrac{a}{2}.\dfrac{a}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{\pi {a^2}\sqrt 2 }}{4}.\)

Bước 1: Xác định góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {BC{C^\prime }{B^\prime }} \right)\) và \((ABCD)\)

Gọi \(M\) là trung điểm $A D$

\( \Rightarrow BM \bot AD({\mathop{\rm tam}\nolimits} \) giác $A B D$ I$ là trung điểm $M D$

\( \Rightarrow OI \bot AD \Rightarrow \) góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {BC{C^\prime }{B^\prime }} \right)\) và \((ABCD)\) bằng \(\widehat {{A^\prime }IO}\).

Bước 2: Tính \(\tan \widehat {{A^\prime }IO}\)

Ta có \(AC = 2AO = 2 \cdot \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \).

Xét tam giác \(A{A^\prime }O\) vuông tại \(O\) có: \({A^\prime }O = AO \cdot \tan {60^0 } = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \cdot \sqrt 3  = \dfrac{{3a}}{2}\).

Xét \(\Delta BMD\) có: \(OI = \dfrac{1}{2}BM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\).

Xét tam giác \({A^\prime }IO\) vuông tại \(O\) có: \(\tan \widehat {{A^\prime }IO} = \dfrac{{{A^\prime }O}}{{OI}} = 2\sqrt 3 \)

Công thức tính diện tích xung quanh hình nón có bán kính đáy \(r\) và độ dài đường sinh \(l\) là: \({S_{xq}} = \pi rl\)

Áp dụng công thức \({S_{xq}} = \pi rl\) ta được: \({S_{xq}} = \pi .3.4 = 12\pi \left( {c{m^2}} \right)\)

Từ công thức \({S_{xq}} = \pi rl\) ta có: \(l = \dfrac{{{S_{xq}}}}{{\pi r}}\) 

Quan sát hình vẽ ta thấy: \(l = AB,r = OB,h = AO\).

Mà \(A{B^2} = A{O^2} + O{B^2}\) nên \({l^2} = {r^2} + {h^2}\)