Cho biết chu kì bán rã của chất phóng xạ Radi \(^{226}Ra\) là 1602 năm (tức là một lượng \(^{226}Ra\) sau 1602 năm phân hủy thì chỉ còn lại một nửa). Sự phân hủy được tính theo công thức \(S = A \cdot {{\rm{e}}^{rt}}\) trong đó \(A\) là lượng chất phóng xạ ban đầu, \(r\) là tỉ lệ phân hủy hàng năm \((r < 0),t\) là thời gian phân hủy, \(S\) là lượng còn lại sau thời gian phân hủy. Hỏi 5 gam \(^{226}Ra\) sau 4000 năm phân hủy sẽ còn lại bao nhiêu gam (làm tròn đến 3 chữ số thập phân)?
Bước 1: Dựa vào chu kì bán rã tìm r.
Do \(A\) là lượng chất phóng xạ ban đầu và sau 1602 năm thì còn lại một nửa nên ta có:
\(\dfrac{A}{2} = A \cdot {e^{r.1602}} \Leftrightarrow r = - \dfrac{{\ln 2}}{{1602}}\).
Bước 2: Thay \(A = 5,t = 4000\) và r tìm được ở Bước 1 để tìm S sau 4000 năm phân hủy.
Thay \(A = 5,t = 4000,r = - \dfrac{{\ln 2}}{{1602}}\).
Suy ra \(S = 5.{e^{ - \frac{{\ln 2}}{{1602}} \cdot 4000}} \approx 0,886{\rm{gam}}.\)
Cường độ ánh sáng đi qua môi trường nước biển giảm dần theo công thức \(I = {I_0}.{e^{ - \mu x}}\), với \({I_0}\) là cường độ ánh sáng bắt đầu đi vào môi trường nước biển và \(x\) là độ dày của môi trường đó (tính theo đơn vị mét). Biết rằng môi trường nước biển có hằng số hấp thụ là \(\mu = 1,4\). Hỏi ở độ sâu 30 mét thì cường độ ánh sáng giảm đi bao nhiêu lần so với cường độ ánh sáng lúc ánh sáng bắt đầu đi vào nước biển?
Cường độ ánh sáng ở độ sâu 30m là: \({I_1} = {I_0}.{e^{ - 30\mu }}\).
Cường độ ánh sáng lúc ánh sáng bắt đầu đi vào nước biển là \({I_2} = {I_0}\).
Ta có: \(\dfrac{{{I_1}}}{{{I_2}}} = \dfrac{{{I_0}.{e^{ - 30\mu }}}}{{{I_0}}} = {e^{ - 30\mu }} = {e^{ - 30.1,4}} = {e^{ - 42}}\) \( \Rightarrow {I_1} = {e^{ - 42}}{I_2} = \dfrac{{{I_2}}}{{{e^{42}}}}\).
Vậy ở độ sâu 30 mét thì cường độ ánh sáng giảm đi \({e^{42}}\) lần so với cường độ ánh sáng lúc ánh sáng bắt đầu đi vào nước biển.
Số lượng của một loại vi khuẩn được nuôi cấy trong phòng thí nghiệm tăng lên theo công thức \(S = A.{e^{rt}}\), trong đó \(A\) là số lượng ban đầu, \(t\) là thời gian (tính bằng giờ), \(r\) là tỉ lệ tăng trưởng, \(S\) là số lượng sau \(t\) giờ. Biết rằng \(A = 1000\) (con), \(r = 10\% \), hỏi cần khoảng mấy giờ để đạt được 20000 con?
Thời gian để đạt được 20000 con là:
\(\begin{array}{l}20000 = 1000.{e^{10\% .t}} \Leftrightarrow {e^{10\% .t}} = 20\\ \Leftrightarrow 10\% .t = \ln 20 \Leftrightarrow t = \dfrac{{\ln 20}}{{10\% }} \approx 29,96\,\,\,\left( h \right)\end{array}\)
Để dự báo dân số của một quốc gia, người ta sử dụng công thức \(S = A.{e^{nr}}\) , trong đó A là dân số của năm lấy làm mốc tính, S là dân số sau n năm, r là tỉ lệ gia tăng dân số hằng năm. Năm 2017, dân số Việt Nam là 93.671.600 người (Tổng cục Thống kê, Niên giám thống kê 2017, Nhà xuất bản Thống kê, Tr.79). Giả sử tỉ lệ tăng dân số hàng năm không đổi là 0,79%, dự báo dân số Việt Nam năm 2040 là bao nhiêu người (kết quả làm tròn đến chữ số hàng trăm)?
Từ năm 2017 đến năm 2040 có \(2040 - 2017 = 23\) năm \( \Rightarrow n = 23\).
Áp dụng công thức \(S = A.{e^{nr}}\) ta có dự báo dân số Việt Nam năm 2040 là:
\(S = A.{e^{nr}} = 93.671.600.{e^{23.0,79\% }} \approx 112.336.100\).
Để dự báo dân số của một quốc gia, người ta sử dụng công thức \(S = A{e^{nr}};\) trong đó \(A\) là dân số của năm lấy làm mốc tính, \(S\)là dân số sau \(n\) năm, \(r\) là tỉ lệ tăng dân số hàng năm. Năm \(2017\), dân số Việt Nam là \(93.671.600\) người (Tổng cục Thống kê, Niên giám thống kê \(2017,\) Nhà xuất bản Thống kê, Tr.79). Giả sử tỉ lệ tăng dân số hàng năm không đổi là \(0,81\% \), dự báo dân số Việt Nam năm \(2035\) là bao nhiêu người (kết quả làm tròn đến chữ số hàng trăm) ?
Từ năm 2017 đến năm 2035 là \(2035 - 2017 = 18\) năm \( \Rightarrow n = 18\).
Theo bài ra ta có: \(A = 93\,671\,600\), \(r = 0,81\% \).
Vậy dự báo dân số Việt Nam năm 2035 là:
\(S = A{e^{nr}} = 93\,671\,600.{e^{18.0,81\% }} \approx 108\,374\,741,3\) (người)
Chọn kết luận đúng:
Ta có: \(\ln a = b \Leftrightarrow a = {e^b}\)
Cho \(\log 3 = m;\ln 3 = n\). Hãy biểu diễn \(\ln 30\) theo \(m\) và \(n\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\ln 30 = \ln \left( {3.10} \right) = \ln 3 + \ln 10 = \ln 3 + \dfrac{{{{\log }_3}10}}{{{{\log }_3}e}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \ln 3 + \dfrac{{\dfrac{1}{{\log 3}}}}{{\dfrac{1}{{\ln 3}}}} = \ln 3 + \dfrac{{\ln 3}}{{\log 3}} = n + \dfrac{n}{m}\end{array}\)
Số lượng loại vi khuẩn \(A\) trong một phòng thí nghiệm được tính theo công thức \(s\left( t \right) = s\left( 0 \right){.2^t}\), trong đó \(s\left( 0 \right)\) là số lượng vi khuẩn \(A\) lúc ban đầu, \(s\left( t \right)\) là số lượng vi khuẩn \(A\) có sau \(t\) phút. Biết sau \(3\) phút thì số vi khuẩn \(A\) là \(625\) nghìn con. Hỏi sau bao lâu kể từ lúc ban đầu, số lượng vi khuẩn \(A\) là \(20\) triệu con.
có: \(s\left( 3 \right) = s\left( 0 \right){.2^3} \Leftrightarrow 625000 = s\left( 0 \right).8 \Leftrightarrow s\left( 0 \right) = 78125\).
\( \Rightarrow s\left( t \right) = {78125.2^t} \Rightarrow 20000000 = {78125.2^t} \Leftrightarrow {2^t} = 256 \Leftrightarrow t = {\log _2}256 = 8\).
Vậy sau \(8\) phút thì số lượng vi khuẩn tăng lên \(20\) triệu con.
Một người gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 7%/năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu để tính lãi cho năm tiếp theo. Hỏi người đó phải gửi ít nhất bao nhiêu năm để nhận được tổng số tiền cả vốn ban đầu và lãi nhiều hơn 131 triệu đồng, nếu trong khoảng thời gian gửi người đó không rút tiền ra và lãi suất không thay đổi?
Giả sử sau \(n\) năm để người đó nhận được tổng số tiền cả vốn ban đầu và lãi nhiều hơn 131 triệu đồng, ta có:
\(100{\left( {1 + 7\% } \right)^n} > 131 \Leftrightarrow n > 3,99\).
Vậy sau 4 năm người đó nhận được tổng số tiền cả vốn ban đầu và lãi nhiều hơn 131 triệu đồng.
Giá trị của \(x\) thỏa mãn \(\ln x = - 1\) là:
Ta có: \(\ln x = - 1 \Leftrightarrow x = {e^{ - 1}} = \dfrac{1}{e}\)
Cho các số dương \(a,b\). Chọn mệnh đề đúng:
Ta có:
\(\ln \left( {{a^n}b} \right) = \ln {a^n} + \ln b = n\ln a + \ln b\) nên A sai.
\(\ln \left( {\dfrac{a}{b}} \right) = \ln a - \ln b\) nên B sai.
\(\ln \left( {a{b^n}} \right) = \ln a + \ln {b^n} = \ln a + n\ln b\) nên C đúng.
\(\ln {e^2} = 2\ln e = 2.1 = 2\) nên D sai.
Cho các số thực $a < b < 0$. Mệnh đề nào sau đây là sai?
Vì $a < b < 0$ nên $\ln a$ và $\ln b$ không có nghĩa.
Cho $a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c$ là các số thực dương thỏa mãn ${a^2} = bc.$ Tính $S = 2\ln a - \ln b - \ln c$.
Ta có $S = 2\ln a - \left( {\ln b + \ln c} \right) = \ln {a^2} - \ln \left( {bc} \right) = \ln \left( {bc} \right) - \ln \left( {bc} \right) = 0.$
Cho các mệnh đề sau:
(I). Cơ số của logarit phải là số nguyên dương.
(II). Chỉ số thực dương mới có logarit.
(III). $\ln \left( {A + B} \right) = \ln A + \ln B$ với mọi \(A > 0,{\rm{ }}B > 0\).
(IV) ${\log _a}b.{\log _b}c.{\log _c}a = 1$, với mọi $a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c \in \mathbb{R}$.
Số mệnh đề đúng là:
Cơ số của lôgarit phải là số dương khác \(1\). Do đó (I) sai.
Rõ ràng (II) đúng theo điều kiện xác định của \({\log _a}b\) là \(b > 0\).
Ta có $\ln A + \ln B = \ln \left( {A.B} \right)$ với mọi \(A > 0,{\rm{ }}B > 0\). Do đó (III) sai.
Ta có ${\log _a}b.{\log _b}c.{\log _c}a = 1$ với mọi $0 < a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c \ne 1$. Do đó (IV) sai.
Vậy chỉ có mệnh đề (II) đúng.
Đặt \(a = \ln 3,{\rm{ }}b = \ln 5.\) Tính \(I = \ln \dfrac{3}{4} + \ln \dfrac{4}{5} + \ln \dfrac{5}{6} + ... + \ln \dfrac{{124}}{{125}}\) theo \(a\) và \(b.\)
Ta có \(I = \ln \left( {\dfrac{3}{4}.\dfrac{4}{5}.\dfrac{5}{6}...\dfrac{{124}}{{125}}} \right) = \ln \dfrac{3}{{125}} = \ln 3 - \ln 125 = \ln 3 - 3\ln 5 = a - 3b.\)
Tính \(P = \ln \left( {2\cos {1^0}} \right).\ln \left( {2\cos {2^0}} \right).\ln \left( {2\cos {3^0}} \right)...\ln \left( {2\cos {{89}^0}} \right)\), biết rằng trong tích đã cho có \(89\) thừa số có dạng \(\ln \left( {2\cos {a^0}} \right)\) với \(1 \le a \le 89\) và \(a \in \mathbb{Z}\).
Trong tích trên có \(\ln \left( {2\cos {{60}^0}} \right) = \ln \left( {2.\dfrac{1}{2}} \right) = \ln 1 = 0\). Vậy \(P = 0\).
Một quần thể sinh vật hiện tại có \(A\) con. Số lượng sinh vật trong quần thể ước tính tăng theo công thức tăng trưởng mũ với tỉ lệ tăng trưởng \(r\% \) mỗi năm. Số lượng sinh vật trong quần thể sau \(N\) năm là:
Áp dụng công thức tăng trưởng mũ ta có: \(T = A{e^{Nr\% }}\).
Một quần thể sinh vật tại thời điểm hiện tại có khoảng \(1500\) con, biết quần thể đó có tỉ lệ tăng trưởng \(1,5\% \) theo năm, hỏi số sinh vật trong quần thể từ \(2\) năm trước là khoảng bao nhiêu?
Ta có: \(T = A.{e^{Nr}} \Rightarrow A = \dfrac{T}{{{e^{Nr}}}} = \dfrac{{1500}}{{{e^{2.1,5\% }}}} \approx 1456\) con.
Biết rằng năm 2001, dân số Việt Nam là $78685800$ người và tỉ lệ tăng dân số năm đó là $1,7\% $. Cho biết sự tăng dân số được ước tính theo công thức $S = A.{e^{N.r}}$ (trong đó $A$: là dân số của năm lấy làm mốc tính, $S$ là dân số sau $N$ năm, $r$ là tỉ lệ tăng dân số hàng năm). Cứ tăng dân số với tỉ lệ như vậy thì đến năm nào dân số nước ta ở mức 120 triệu người?
Ta có $S = A.{e^{N.r}} \Rightarrow N = \dfrac{1}{r}.\ln \dfrac{S}{A}.$
Để dân số nước ta ở mức 120 triệu người thì cần số năm $N = \dfrac{{100}}{{1,7}}.\ln \dfrac{{{{120.10}^6}}}{{78685800}} \approx 25.$
Lúc đấy là năm $2001 + 25 = 2026.$
Một người đã thả một lượng bèo hoa dâu chiếm $4\% $ diện tích mặt hồ. Biết rằng cứ sau đúng một tuần bèo phát triển thành $3$ lần lượng đã có và tốc độ phát triển của bèo ở mọi thời điểm như nhau. Sau bao nhiêu ngày, lượng bèo sẽ vừa phủ kín mặt hồ?
Gọi $A$ là lượng bèo ban đầu, để phủ kín mặt hồ thì lượng bèo là $\dfrac{{100}}{4}A.$
Sau một tuần số lượng bèo là $3A$ $ \Rightarrow $ sau $n$ tuần lượng bèo là $A{.3^n}$
Để lượng bèo phủ kín mặt hồ thì $A{.3^n} = \dfrac{{100}}{4}.A$
$ \Rightarrow n = {\log _3}\dfrac{{100}}{4} = {\log _3}25$ \( \Rightarrow \) thời gian để bèo phủ kín mặt hồ là $t = 7{\log _3}25$.
