Tính \(P = \ln \left( {2\cos {1^0}} \right).\ln \left( {2\cos {2^0}} \right).\ln \left( {2\cos {3^0}} \right)...\ln \left( {2\cos {{89}^0}} \right)\), biết rằng trong tích đã cho có \(89\) thừa số có dạng \(\ln \left( {2\cos {a^0}} \right)\) với \(1 \le a \le 89\) và \(a \in \mathbb{Z}\).

Cho biết chu kì bán rã của chất phóng xạ Radi \(^{226}Ra\) là 1602 năm (tức là một lượng \(^{226}Ra\) sau 1602 năm phân hủy thì chỉ còn lại một nửa). Sự phân hủy được tính theo công thức \(S = A \cdot {{\rm{e}}^{rt}}\) trong đó \(A\) là lượng chất phóng xạ ban đầu, \(r\) là tỉ lệ phân hủy hàng năm \((r < 0),t\) là thời gian phân hủy, \(S\) là lượng còn lại sau thời gian phân hủy. Hỏi 5 gam \(^{226}Ra\) sau 4000 năm phân hủy sẽ còn lại bao nhiêu gam (làm tròn đến 3 chữ số thập phân)?

Cường độ ánh sáng đi qua môi trường nước biển giảm dần theo công thức \(I = {I_0}.{e^{ - \mu x}}\), với \({I_0}\) là cường độ ánh sáng bắt đầu đi vào môi trường nước biển và \(x\) là độ dày của môi trường đó (tính theo đơn vị mét). Biết rằng môi trường nước biển có hằng số hấp thụ là \(\mu  = 1,4\). Hỏi ở độ sâu 30 mét thì cường độ ánh sáng giảm đi bao nhiêu lần so với cường độ ánh sáng lúc ánh sáng bắt đầu đi vào nước biển?

Số lượng của một loại vi khuẩn được nuôi cấy trong phòng thí nghiệm tăng lên theo công thức \(S = A.{e^{rt}}\), trong đó \(A\) là số lượng ban đầu, \(t\) là thời gian (tính bằng giờ), \(r\) là tỉ lệ tăng trưởng, \(S\) là số lượng sau \(t\) giờ. Biết rằng \(A = 1000\) (con), \(r = 10\% \), hỏi cần khoảng mấy giờ để đạt được 20000 con?

Để dự báo dân số của một quốc gia, người ta sử dụng công thức \(S = A.{e^{nr}}\) , trong đó A là dân số của năm lấy làm mốc tính, S là dân số sau n năm, r là tỉ lệ gia tăng dân số hằng năm. Năm 2017, dân số Việt Nam là 93.671.600 người (Tổng cục Thống kê, Niên giám thống kê 2017, Nhà xuất bản Thống kê, Tr.79). Giả sử tỉ lệ tăng dân số hàng năm không đổi là 0,79%, dự báo dân số Việt Nam năm 2040 là bao nhiêu người (kết quả làm tròn đến chữ số hàng trăm)?

Để dự báo dân số của một quốc gia, người ta sử dụng công thức \(S = A{e^{nr}};\) trong đó \(A\) là dân số của năm lấy làm mốc tính, \(S\)là dân số sau \(n\) năm, \(r\) là tỉ lệ tăng dân số hàng năm. Năm \(2017\), dân số Việt Nam là \(93.671.600\) người (Tổng cục Thống kê, Niên giám thống kê \(2017,\) Nhà xuất bản Thống kê, Tr.79). Giả sử tỉ lệ tăng dân số hàng năm không đổi là \(0,81\% \), dự báo dân số Việt Nam năm \(2035\) là bao nhiêu người (kết quả làm tròn đến chữ số hàng trăm) ?

Chọn kết luận đúng:

Cho \(\log 3 = m;\ln 3 = n\). Hãy biểu diễn \(\ln 30\) theo \(m\) và \(n\).