Các bài toán về mặt phẳng và đường thẳng

Trọng tâm của tam giác $ABC$ là $G\left( {1; - 2;2} \right)$.

Gọi $d$ là đường thẳng qua $G$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$. Khi đó $H = d \cap \left( \alpha  \right)$ chính là hình chiếu vuông góc của $G$ lên mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$.

Phương trình tham số của $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y =  - 2 + t\\z = 2 + t\end{array} \right.$ , thay vào phương trình mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ ta có:

$\left( {1 + t} \right) + \left( { - 2 + t} \right) + \left( {2 + t} \right) - 4 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow H\left( {2; - 1;3} \right)$.

Bước 1: Giả sử phương trình của $(Q)$ có dạng $A(x - 1) + B(y + 2) + Cz = 0$. Gọi $\theta$ là góc giữa $(Q)$ và ${\ell _2}$. Biểu diễn $\sin \theta$ theo A, B.

Đường thẳng ${\ell _1}$ có một vectơ chỉ phương là ${\vec u_1} = (1;2; - 1)$ và đi qua điểm ${M_1} = (1; - 2;0).$ Vì $(Q)$ chứa ${\ell _1}$ nên đi qua ${M_1}$ và vectơ pháp tuyến của nó vuông góc với ${\vec u_1}.$ Do đó, ta có thể giả sử phương trình của $(Q)$ có dạng

$A(x - 1) + B(y + 2) + Cz = 0$ với $1 \cdot A + 2 \cdot B + ( - 1) \cdot C = 0$ và ${A^2} + {B^2} + {C^2} > 0$

Gọi $\theta$ là góc giữa $(Q)$ và ${\ell _2}$.

Do vectơ pháp tuyến của $(Q)$ là $\vec n = (A;B;C) =$ $(A;B;A + 2B)$ (vì $A + 2B = C$) và vectơ chỉ phương của ${\ell _2}$ là ${\vec u_2} = (2; - 1;2)$ nên ta có:

$\sin \theta  = \dfrac{{|4A + 3B|}}{{3\sqrt {2{A^2} + 4AB + 5{B^2}} }}$$= \dfrac{1}{3}\sqrt {\dfrac{{{{(4A + 3B)}^2}}}{{2{A^2} + 4AB + 5{B^2}}}}$

Bước 2: Ta xét hai trường hợp của B để tìm $\sin \theta$ rồi so sánh.

Ta xét hai trường hợp.

+) Trường hợp $B = 0$, thì $\sin \theta  = \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}$.

+) Trường hợp $B \ne 0$, ta đặt $r = \dfrac{A}{B}$ thì được $\sin \theta  = \dfrac{1}{3}\sqrt {\dfrac{{{{(4r + 3)}^2}}}{{2{r^2} + 4r + 5}}}$.

Từ đó, ta xét hàm số $f(r) = \dfrac{{{{(4r + 3)}^2}}}{{2{r^2} + 4r + 5}}$ trên $\mathbb{R}$.

${f^\prime }(r)$$= \dfrac{{8(4r + 3)\left( {2{r^2} + 4r + 5} \right) - {{(4r + 3)}^2}(4r + 4)}}{{{{\left( {2{r^2} + 4r + 5} \right)}^2}}}$$= \dfrac{{4(4r + 3)(r + 7)}}{{{{\left( {2{r^2} + 4r + 5} \right)}^2}}}$

Mặt khác $\mathop {\lim }\limits_{r \to  \pm \infty } f(r) = 8$ và $f\left( { - \dfrac{3}{4}} \right) = 0,f( - 7) = \dfrac{{25}}{3}$ nên ta lập được bảng biến thiên.

Từ đó thu được giá trị lớn nhất là $\dfrac{{25}}{3}$. Khi đó, $\sin \theta  = \dfrac{{5\sqrt 3 }}{9}$.

So sánh hai trường hợp trên, ta thu được $\sin \alpha  = \dfrac{{5\sqrt 3 }}{9}$. Từ đó $\cos \alpha  = \dfrac{{\sqrt 6 }}{9}$.

Giả sử $\left( \alpha  \right)$ cần tìm có 1 VTPT là $\overrightarrow n  = \left( {a;b;c} \right),\,\,\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} > 0} \right)$.

Do $d \subset \left( \alpha  \right)$ nên $\overrightarrow n .\overrightarrow {{u_d}}  = 0 \Leftrightarrow  - a + 2b + c = 0 \Leftrightarrow a = 2b + c$$\Rightarrow \overrightarrow n  = \left( {2b + c;b;c} \right)$

Góc giữa hai mặt phẳng $\left( \alpha  \right),\left( P \right)$ được tính: 

$\cos \varphi  = \dfrac{{\left| {\left( {2b + c} \right).2 - b - 2c} \right|}}{{3.\sqrt {{{\left( {2b + c} \right)}^2} + {b^2} + {c^2}} }} = \dfrac{{\left| b \right|}}{{\sqrt {5{b^2} + 4bc + 2{c^2}} }} = \sqrt {\dfrac{{{b^2}}}{{5{b^2} + 4bc + 2{c^2}}}}$

+) $b = 0 \Rightarrow$$\cos \varphi  = 0 \Rightarrow \varphi  = {90^0}$

+) $b \ne 0 \Rightarrow$$\cos \varphi  = \sqrt {\dfrac{1}{{5 + 4.\dfrac{c}{b} + 2{{\left( {\dfrac{c}{b}} \right)}^2}}}}  = \sqrt {\dfrac{1}{{2{{\left( {\dfrac{c}{b} + 1} \right)}^2} + 3}}}  \Rightarrow 0 < \cos \varphi  \le \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}$

${\varphi _{\min }} \Leftrightarrow \dfrac{c}{b} =  - 1$. Chọn $b = 1,\,\,c =  - 1$, khi đó $a = 2.1 - 1 = 1 \Rightarrow$$\overrightarrow n  = \left( {1;1; - 1} \right)$.

Do $d \subset \left( \alpha  \right) \Rightarrow A\left( {0; - 1;2} \right) \in \left( \alpha  \right)$

Phương trình mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ là: $1\left( {x - 0} \right) + 1\left( {y + 1} \right) - 1\left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y - z + 3 = 0$.

Mặt phẳng $\left( P \right)$ có VTPT $\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {2;3; - 1} \right)$.

Gọi $d$ là đường thẳng qua $A\left( {3;5;0} \right)$ và vuông góc với $\left( P \right)$ nên có VTCP $\overrightarrow {{u_d}}  = \overrightarrow {{n_P}}  = \left( {2;3; - 1} \right)$.

Do đó $d:\dfrac{{x - 3}}{2} = \dfrac{{y - 5}}{3} = \dfrac{z}{{ - 1}}$.

Tọa độ hình chiếu $H$ vuông góc của $A$ trên $\left( P \right)$ là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{x - 3}}{2} = \dfrac{{y + 5}}{3} = \dfrac{z}{{ - 1}}\\2x + 3y - z - 7 = 0\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {1;2;1} \right)$.

Khi đó $H$ là trung điểm của $AA'$ nên $A'\left( { - 1; - 1;2} \right)$.

Ta có:

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}(P) \bot (d) \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}}  = \overrightarrow {{u_d}}  = ( - 1; - 2;3)\\A(1;2; - 3) \in (P)\end{array} \right.\\ \Rightarrow (P): - 1(x - 1) - 2(y - 2) + 3(z + 3) = 0\\ \Leftrightarrow  - x - 2y + 3z + 14 = 0\end{array}$

Vì $\left\{ \begin{array}{l}{{\vec n}_\alpha } \bot {{\vec u}_1}\\{\rm{ \;}}{{\vec n}_\alpha } \bot {{\vec u}_2}\end{array} \right.$ suy ra ${\vec n_\alpha } = \left[ {{{\vec u}_1};{{\vec u}_2}} \right] =$$\left( {1; - {\mkern 1mu} 5; - {\mkern 1mu} 3} \right)$ nên $\left( {\alpha {\rm{\;}}} \right):x - 5y - 3z + m = 0.$

$d\left( {{\mathop{\rm I}\nolimits} ,\left( \alpha  \right)} \right) = \dfrac{{\sqrt {35} }}{5} \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {m - 3} \right|}}{{\sqrt {35} }} = \dfrac{{\sqrt {35} }}{5} \Rightarrow \left| {m - 3} \right| = 7 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 10\\m =  - 4\end{array} \right..$

Vậy ta thu được hai phương trình mặt phẳng là $(P_1):\,x - 5y - 3z + 10 = 0$ và $(P_2):\,x - 5y - 3z - 4 = 0.$

Nhận thấy đường thẳng $\Delta_1$ nằm trong mặt phẳng $(P_2)$ nên chỉ có một mặt phẳng $(P_1):\,x - 5y - 3z + 10 = 0$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Đường thẳng $d$ có VTCP $\overrightarrow {{u_d}}  = \left( { - 1;5;3} \right)$.

Mặt phẳng $\left( P \right)$ có VTPT $\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {3; - 2;3} \right)$.

Gọi mặt phẳng $\left( Q \right)$ chứa $d$ và vuông góc với $\left( P \right)$.

Suy ra VTPT của $\left( Q \right)$ là $\overrightarrow {{n_Q}}  = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( {21;12; - 13} \right)$.

Vì $d'$ là hình chiếu của $d$ lên mặt phẳng $\left( P \right)$ nên $d' = \left( Q \right) \cap \left( P \right)$.

Do đó $d'$ có VTCP là $\overrightarrow {{u_{d'}}}  = \left[ {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} ,\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} } \right] = \left( {10; - 102; - 78} \right) = 2\left( {5; - 51; - 39} \right) =  - 2\left( { - 5;51;39} \right)$.

Gọi $\left( Q \right)$ là mặt phẳng chứa $\Delta$ và vuông góc với $\left( P \right)$, suy ra $\left( Q \right):2x + y - 3z + 1 = 0.$

Khi đó $\Delta '$ cần tìm là giao tuyến của $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ nên thỏa mãn hệ $\left\{ \begin{array}{l}x + y + z - 7 = 0\\2x + y - 3z + 1 = 0\end{array} \right..$

Đặt $z = t,$ ta có phương trình tham số của $\Delta '$ là $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  - 8 + 4t}\\{y = 15 - 5t}\\{z = t{\rm{       }}}\end{array}} \right..$

Mặt phẳng $\left( P \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {2;1; - 2} \right)$.

Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {1;2;0} \right)$.

Đường thẳng $\Delta$ song song với $\left( P \right)$ và vuông góc với $d$ nên có VTCP

          $\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( {4; - 2;3} \right)$.

Vậy phương trình đường thẳng $\Delta :\dfrac{{x - 1}}{4} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 2}} = \dfrac{{z - 1}}{3}$.

Đường thẳng $\Delta$ đi qua $M\left( {1;7;3} \right)$. 

Vì $\left( \beta  \right)$ là mặt phẳng chứa $\Delta$ và song song với mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ nên $d\left( {\left( \alpha  \right),\left( \beta  \right)} \right) = d\left( {M,\left( \alpha  \right)} \right)$ $= \dfrac{{\left| {3.1 - 2.7 - 3 + 5} \right|}}{{\sqrt {3{}^2 + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \dfrac{9}{{\sqrt {14} }}$.

Chọn $B(0;1; - 3) \in d$, suy ra $B \in (P)$

Ta có:$\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {3;4;1} \right)\\\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1; - 1; - 4} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ;\overrightarrow {AB} } \right] = ( - 15;11;1)$

Vì (P) chứa đường thẳng d và đi qua A, B $\Rightarrow \overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {AB} } \right]$ $= ( - 15;11;1)$

Ta có:

 $(P):\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_P}}  = ( - 15;11;1)\\A(1;2;1) \in (P)\end{array} \right.$ $\Rightarrow (P): - 15(x - 1) + 11(y - 2) + (z - 1) = 0$ $\Leftrightarrow  - 15x + 11y + z - 8 = 0$

Gọi I là trung điểm của CD, suy ra $I(1;1;1)$

Vì C, D khác phía so với (P) và khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P) nên $I \in (P)$.

Do đó, mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A,B,I.

Ta có

$\overrightarrow {AI}  = (0; - 1;0);\overrightarrow {BI}  = (3;0; - 2) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AI} ;\overrightarrow {BI} } \right] = (2;0;3)$

$(P):\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_P}}  = \left[ {\overrightarrow {AI} ,\overrightarrow {BI} } \right]{\rm{ = }}\left( {{\rm{2;0;3}}} \right)\\A(1;2;1)\end{array} \right. \Rightarrow (P):2(x - 1) + 3(z - 1) = 0 \Leftrightarrow 2x + 3z - 5 = 0$

Mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ có VTPT $\overrightarrow n  = \left( {1;1; - 1} \right)$.

Gọi $B = \Delta  \cap d$, suy ra $B \in d \Rightarrow B\left( {3 + t;3 + 3t;2t} \right)$.

Suy ra đường thẳng $\Delta$ có VTCP $\overrightarrow {AB}  = \left( {2 + t;1 + 3t;1 + 2t} \right)$.

Vì $\Delta \parallel \left( \alpha  \right)$ nên $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow n  = 0 \Leftrightarrow 2 + t + 1 + 3t - 2t - 1 = 0 \Leftrightarrow t =  - 1$.

Do đó phương trình $\Delta :\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 2}} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 1}}$.

Phương trình mặt phẳng trung trực của $AB$ là $\left( \alpha  \right):3x + y - 7 = 0$.

Đường thẳng cần tìm $d$ cách đều hai điểm $A,{\rm{ }}B$ nên sẽ thuộc mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$.

Lại có $d \subset \left( P \right)$, suy ra $d = \left( P \right) \cap \left( \alpha  \right)$ hay $d:\left\{ \begin{array}{l}x + y + z - 7 = 0\\3x + y - 7 = 0\end{array} \right.$

Chọn $z = t$, ta được $\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 7 - 3t\\z = t\end{array} \right.$.

Mặt phẳng $\left( P \right):\,\,3x - y + z - 7 = 0$ có 1 VTPT $\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {3; - 1;1} \right)$.

Vì đường thẳng $\Delta$ vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$ nên có 1 VTCP là $\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \overrightarrow {{n_P}}  = \left( {3; - 1;1} \right)$.

Vậy phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ là $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y =  - 3 - t\\z = 1 + t\end{array} \right.$.

Mặt phẳng $\left( P \right):2x + 2y + z - 1 = 0$ có vecto pháp tuyến là $\overrightarrow n  = \left( {2;2;1} \right)$.

Vì đường thẳng $d \bot \left( P \right)$ nên đường thẳng $d$ có 1 VTCP $\overrightarrow {{u_d}}  = \overrightarrow n  = \left( {2;2;1} \right)$.

Ta có:

$\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}}  = \left( {1;1;1} \right)$ là 1VTPT của (P).

$\overrightarrow {{u_{d'}}}  = \left( {1;3; - 1} \right)$ là một 1VTCP của (d’).

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}d \bot d' \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}}  \bot \overrightarrow {{u_{d'}}} \\d \subset \left( P \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}}  \bot \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} \end{array} \right.$$\Rightarrow$$\overrightarrow {{u_d}}$ cùng phương với $\left[ {\overrightarrow {{u_{d'}}} ,\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} } \right]$.

Lại có: $\left[ {\overrightarrow {{u_{d'}}} ,\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} } \right] = \left( {\left| \begin{array}{l}1\,\,\,\,\,\,\,1\\3\,\,\, - 1\end{array} \right|;\left| \begin{array}{l}1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1\\ - 1\,\,\,\,\,\,1\end{array} \right|;\left| \begin{array}{l}1\,\,\,\,\,\,\,1\\1\,\,\,\,\,\,\,3\end{array} \right|} \right) = \left( { - 4;2;2} \right)$.

Do đó có thể chọn $\overrightarrow {{u_d}}  = \dfrac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {{u_{d'}}} ,\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} } \right] = \dfrac{1}{2}\left( { - 4;2;2} \right) = \left( { - 2;1;1} \right)$ làm 1 VTCP của (d).

Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ thì $G\left( {1; - 2;2} \right)$.

Gọi $\Delta$  là đường thẳng đi qua $G$ và vuông góc với $\left( \alpha  \right):x + y + z - 4 = 0$.

Khi đó $\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \overrightarrow {{n_{\left( \alpha  \right)}}}  = \left( {1;1;1} \right)$ nên $\Delta$ có phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y =  - 2 + t\\z = 2 + t\end{array} \right.,t \in \mathbb{R}$

Vì $H$ là hình chiếu của $G$ lên $\left( \alpha  \right)$ nên $H = \Delta  \cap \left( \alpha  \right)$.

Khi đó, tọa độ điểm $H$ thỏa mãn : $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y =  - 2 + t\\z = 2 + t\\x + y + z - 4 = 0\end{array} \right.$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {1 + t} \right) + \left( { - 2 + t} \right) + \left( {2 + t} \right) - 4 = 0\\ \Leftrightarrow  - 3 + 3t = 0 \Leftrightarrow t = 1.\end{array}$

Vậy $H\left( {2; - 1;3} \right)$.

Ta có đường thẳng $d:\dfrac{{x + 1}}{2} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{z}{{ - 2}}$ có 1 vecto chỉ phương là $\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {2;1; - 2} \right)$ và đi qua $B\left( { - 1;1;0} \right)$.

Ta có: $A\left( {3;1; - 1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( { - 4;0;1} \right)$ $\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( {1;6;4} \right)$.

Gọi $\overrightarrow {{n_\alpha }}$ là 1 vecto pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ ta có: $\left\{ \begin{array}{l}d \subset \left( \alpha  \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }}  \bot \overrightarrow {{u_d}} \\AB \subset \left( \alpha  \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }}  \bot \overrightarrow {AB} \end{array} \right.$ $\Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( {1;6;4} \right)$.

Mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ đi qua $A\left( {3;1; - 1} \right)$ và có 1 VTPT $\overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left( {1;6;4} \right)$ có phương trình là:

$1.\left( {x - 3} \right) + 6.\left( {y - 1} \right) + 4.\left( {z + 1} \right) = 0$ $\Leftrightarrow x + 6y + 4z - 5 = 0$.

Thay tọa độ điểm $M\left( {1;0;1} \right)$ vào phương trình mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ ta có: $1 + 6.0 + 4.1 - 5 = 0 \Rightarrow M \in \left( \alpha  \right)$.

Gọi $d$ là đường thẳng cần tìm ta có: $d \bot \left( P \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}}  = \overrightarrow {{n_P}}  = \left( {2;1; - 3} \right)$.

$\Rightarrow$ Phương trình $d:\,\,\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y - 2}}{1} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 3}}$.