Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 3y - z - 7 = 0\) và điểm \(A\left( {3;5;0} \right)\). Gọi \(A'\) là điểm đối xứng của \(A\) qua mặt phẳng \(\left( P \right)\). Điểm \(A'\) có tọa độ là:
Trả lời bởi giáo viên
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có VTPT \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;3; - 1} \right)\).
Gọi \(d\) là đường thẳng qua \(A\left( {3;5;0} \right)\) và vuông góc với \(\left( P \right)\) nên có VTCP \(\overrightarrow {{u_d}} = \overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;3; - 1} \right)\).
Do đó \(d:\dfrac{{x - 3}}{2} = \dfrac{{y - 5}}{3} = \dfrac{z}{{ - 1}}\).
Tọa độ hình chiếu \(H\) vuông góc của \(A\) trên \(\left( P \right)\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{x - 3}}{2} = \dfrac{{y + 5}}{3} = \dfrac{z}{{ - 1}}\\2x + 3y - z - 7 = 0\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {1;2;1} \right)\).
Khi đó \(H\) là trung điểm của \(AA'\) nên \(A'\left( { - 1; - 1;2} \right)\).
Hướng dẫn giải:
- Tìm tọa độ hình chiếu của điểm trên mặt phẳng.
- Lấy đối xứng điểm \(A\) qua hình chiếu vừa tìm được.