Câu hỏi:
2 năm trước
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng ${\Delta _1}:\dfrac{{x - 2}}{1} = \dfrac{{y + 1}}{2} = \dfrac{{z - 1}}{{ - {\mkern 1mu} 3}}$ và ${\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\{\rm{ \;}}y = 2 - t\\{\rm{ \;}}z = 1 + 2t\end{array} \right.$. Phương trình mặt phẳng $\left( {\alpha {\rm{\;}}} \right)$ song song với hai đường thẳng ${\Delta _1},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\Delta _2}$ và cách điểm \(I\left( {1; - 1;3} \right)\) một khoảng bằng $\dfrac{{\sqrt {35} }}{5}$ là
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: d
Vì $\left\{ \begin{array}{l}{{\vec n}_\alpha } \bot {{\vec u}_1}\\{\rm{ \;}}{{\vec n}_\alpha } \bot {{\vec u}_2}\end{array} \right.$ suy ra ${\vec n_\alpha } = \left[ {{{\vec u}_1};{{\vec u}_2}} \right] = $$\left( {1; - {\mkern 1mu} 5; - {\mkern 1mu} 3} \right)$ nên $\left( {\alpha {\rm{\;}}} \right):x - 5y - 3z + m = 0.$
$d\left( {{\mathop{\rm I}\nolimits} ,\left( \alpha \right)} \right) = \dfrac{{\sqrt {35} }}{5} \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {m - 3} \right|}}{{\sqrt {35} }} = \dfrac{{\sqrt {35} }}{5} \Rightarrow \left| {m - 3} \right| = 7 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 10\\m = - 4\end{array} \right..$
Vậy ta thu được hai phương trình mặt phẳng là $(P_1):\,x - 5y - 3z + 10 = 0$ và $(P_2):\,x - 5y - 3z - 4 = 0.$
Nhận thấy đường thẳng $\Delta_1 $ nằm trong mặt phẳng \((P_2)\) nên chỉ có một mặt phẳng $(P_1):\,x - 5y - 3z + 10 = 0$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Hướng dẫn giải:
- Dựa vào yếu tố vuông góc với hai đường thẳng để tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng, từ đó có được dạng phương trình tổng quát của \(\left( \alpha \right)\)
- Dựa vào điều kiện khoảng cách tìm phương trình.
