Câu hỏi:
2 năm trước
Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\dfrac{x}{{ - 1}} = \dfrac{{y + 1}}{2} = \dfrac{{z - 2}}{1}\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương trình \(2x - y - 2z + 4 = 0\). Mặt phẳng chứa đường thẳng \(d\) và tạo với mặt phẳng \(\left( P \right)\) góc với số đo nhỏ nhất có phương trình là:
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: d
Giả sử \(\left( \alpha \right)\) cần tìm có 1 VTPT là \(\overrightarrow n = \left( {a;b;c} \right),\,\,\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} > 0} \right)\).
Do \(d \subset \left( \alpha \right)\) nên \(\overrightarrow n .\overrightarrow {{u_d}} = 0 \Leftrightarrow - a + 2b + c = 0 \Leftrightarrow a = 2b + c\)\( \Rightarrow \overrightarrow n = \left( {2b + c;b;c} \right)\)
Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right),\left( P \right)\) được tính:
\(\cos \varphi = \dfrac{{\left| {\left( {2b + c} \right).2 - b - 2c} \right|}}{{3.\sqrt {{{\left( {2b + c} \right)}^2} + {b^2} + {c^2}} }} = \dfrac{{\left| b \right|}}{{\sqrt {5{b^2} + 4bc + 2{c^2}} }} = \sqrt {\dfrac{{{b^2}}}{{5{b^2} + 4bc + 2{c^2}}}} \)
+) \(b = 0 \Rightarrow \)\(\cos \varphi = 0 \Rightarrow \varphi = {90^0}\)
+) \(b \ne 0 \Rightarrow \)\(\cos \varphi = \sqrt {\dfrac{1}{{5 + 4.\dfrac{c}{b} + 2{{\left( {\dfrac{c}{b}} \right)}^2}}}} = \sqrt {\dfrac{1}{{2{{\left( {\dfrac{c}{b} + 1} \right)}^2} + 3}}} \Rightarrow 0 < \cos \varphi \le \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\)
\({\varphi _{\min }} \Leftrightarrow \dfrac{c}{b} = - 1\). Chọn \(b = 1,\,\,c = - 1\), khi đó \(a = 2.1 - 1 = 1 \Rightarrow \)\(\overrightarrow n = \left( {1;1; - 1} \right)\).
Do \(d \subset \left( \alpha \right) \Rightarrow A\left( {0; - 1;2} \right) \in \left( \alpha \right)\)
Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là: \(1\left( {x - 0} \right) + 1\left( {y + 1} \right) - 1\left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y - z + 3 = 0\).
Hướng dẫn giải:
Cho \(\left( \alpha \right):\,\,{a_1}x + {b_1}y + {c_1}z + {d_1} = 0,\,\,\,\left( \beta \right):\,\,{a_2}x + {b_2}y + {c_2}z + {d_2} = 0\) nhận \(\overrightarrow {{n_1}} = ({a_1};{b_1};{c_1}),\,\,\overrightarrow {{n_2}} = ({a_2};{b_2};{c_2})\) lần lượt là các VTPT. Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right),\left( \beta \right)\) được tính: \(\cos \angle \left( {\left( \alpha \right),\,\left( \beta \right)} \right) = \left| {\cos \angle \left( {\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}.\)
