Các bài toán về mặt phẳng và đường thẳng

Đường thẳng \(\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {1;2;3} \right)\).

Vì \(\left( P \right) \bot \left( d \right) \Rightarrow \) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có 1 VTPT \(\overrightarrow {{n_P}}  = \overrightarrow {{u_d}}  = \left( {1;2;3} \right)\).

Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là: \(1.\left( {x - 3} \right) + 2.\left( {y + 4} \right) + 3.\left( {z - 5} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x + 2y + 3z - 10 = 0\).

Mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,\,x + y - z - 1 = 0\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1;1; - 1} \right)\).

Trục \(Oz\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow k  = \left( {0;0;1} \right)\).

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}d\parallel \left( P \right)\\d \bot Oz\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u .\overrightarrow {{n_P}}  = 0\\\overrightarrow u .\overrightarrow k  = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 1 - b = 0\\b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 1\\b = 0\end{array} \right.\).

Vậy \(a - b =  - 1 - 0 =  - 1.\)

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1;2;2} \right)\) là 1 VTPT của của mặt phẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(AB\).

Do đó phương trình mặt phẳng cần tìm là: \(x + 2y + 2z - 2 = 0\).

\(d:\dfrac{x}{2} = \dfrac{{y + 2}}{4} = \dfrac{{z - 3}}{{ - 1}}\)\( \Rightarrow {\vec u_d} = (2;4; - 1)\) là vecto chỉ phương.

Mặt phẳng đi qua \(M(2; - 5;3)\) và có VTVP \({\vec u_d} = (2;4; - 1)\)

Vậy \(2(x - 2) + 4(y + 5) - (z - 3) = 0\)\( \Leftrightarrow 2x + 4y - z + 19 = 0\)

Đường thẳng \(d:\,\,\dfrac{{x - 2}}{3} = \dfrac{y}{2} = z - 1\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {3;2;1} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( Q \right):\,\,2x - y + z - 3 = 0\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow {{n_Q}}  = \left( {2; - 1;1} \right)\).

Gọi \(\overrightarrow {{n_P}} \left( {a; - 1;c} \right)\) là 1 VTPT của \(\left( P \right)\), theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right) \supset d\\\left( P \right) \bot \left( Q \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{u_d}}  = 0\\\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}}  = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3a - 2 + c = 0\\2a + 1 + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\c =  - 7\end{array} \right.\end{array}\)

Khi đó phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) có dạng \(3x - y - 7z + d = 0\).

Lấy \(M\left( {2;0;1} \right) \in d\), vì \(d \subset \left( P \right) \Rightarrow M \in \left( P \right)\).

\( \Rightarrow 3.2 - 0 - 7.1 + d = 0 \Leftrightarrow d - 1 = 0 \Leftrightarrow d = 1\).

Vậy \(a + c + d = 3 + \left( { - 7} \right) + 1 =  - 3\).

* Nhận thấy \(I\left( {1;2; - 1} \right) \in d\) và cũng thuộc \(\left( P \right)\).

\( \Rightarrow d \cap \left( P \right) = I\left( {1;2; - 1} \right)\).

Gọi \(d'\) là hình chiếu của \(d\) trên \(\left( P \right) \Rightarrow I \in d'\).

* Lấy \(A\left( {2;3; - 3} \right) \in d\).

Gọi \(\Delta \) là đường thẳng qua \(A\) và vuông góc với \(\left( P \right)\) \( \Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }}  = \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}}  = \left( {1;2; - 1} \right)\).

\( \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng \(\Delta :\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 3 + 2t\\z =  - 3 - t\end{array} \right.\).

Gọi \(H = \Delta  \cap \left( P \right) \Rightarrow H \in \Delta  \Rightarrow H\left( {2 + t;\,\,3 + 2t;\,\, - 3 - t} \right)\).

Mà \(H \in \left( P \right) \Rightarrow \left( {2 + t} \right) + 2\left( {3 + 2t} \right) - \left( { - 3 - t} \right) - 6 = 0 \Leftrightarrow 6t + 5 = 0 \Leftrightarrow t =  - \dfrac{5}{6}\).

\( \Rightarrow H\left( {\dfrac{7}{6};\dfrac{4}{3}; - \dfrac{{13}}{6}} \right)\).

* \(d'\) là đường thẳng đi qua \(I\) và \(H\).

Ta có \(\overrightarrow {IH}  = \left( {\dfrac{1}{6}; - \dfrac{2}{3}; - \dfrac{7}{6}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_{d'}}}  =  - 6\overrightarrow {IH}  = \left( { - 1;4;7} \right)\).

\( \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng \(d':\,\,\dfrac{{x - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{y - 2}}{4} = \dfrac{{z + 1}}{7}\).

Xét hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y + z - 1 = 0\\x - y - z + 2 = 0\end{array} \right.\).

Cho \(z = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 1\\x - y =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y = 1\end{array} \right.\) \( \Rightarrow A\left( { - 1;1;0} \right) \in \Delta \).

Cho \(z = 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2y =  - 1\\x - y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{1}{3}\\y =  - \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow B\left( { - \dfrac{1}{3}; - \dfrac{1}{3};2} \right) \in \Delta \).

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {\dfrac{2}{3}; - \dfrac{4}{3};2} \right)\) \( \Rightarrow \overrightarrow u  = \dfrac{3}{2}\overrightarrow {AB}  = \left( {1; - 2;3} \right)\) là 1 VTCP của \(\Delta \).

Vậy phương trình đường thẳng \(\Delta \) là : \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + t\\y = 1 - 2t\\z = 3t.\end{array} \right.\).

Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng cần tìm và \(\overrightarrow {{n_P}} \) là 1 VTPT của mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Đường thẳng \({d_1}:\,\,\dfrac{{x + 2}}{{ - 1}} = \dfrac{{y - 1}}{2} = \dfrac{z}{2}\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( { - 1;2;2} \right)\), đường thẳng \({d_2}:\,\,\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{y}{{ - 1}} = \dfrac{{z - 3}}{{ - 2}}\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {1; - 1; - 2} \right)\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{d_1}\parallel \left( P \right)\\{d_2}\parallel \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{n_P}}  = 0\\\overrightarrow {{u_2}} .\overrightarrow {{n_P}}  = 0\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}}  = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( { - 2;0; - 1} \right)\).

Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là:

\( - 2\left( {x - 0} \right) - 1.\left( {z - 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow  - 2x - z + 2 = 0\) \( \Leftrightarrow 2x + z - 2 = 0\).

Ta có : \(\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( 3;\ 1;\ 1 \right),\ \ \overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}}=\left( 1;\ 2;\ 1 \right).\)

Gọi \(d\) là giao tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right).\)

Ta có \(\left\{ \begin{align} & {{{\vec{u}}}_{d}}\bot {{{\vec{n}}}_{\left( P \right)}} \\ & {{{\vec{u}}}_{d}}\bot {{{\vec{n}}}_{\left( Q \right)}} \\ \end{align} \right.\Rightarrow \,\,{{\vec{u}}_{d}}=\left[ {{{\vec{n}}}_{\left( P \right)}};{{{\vec{n}}}_{\left( Q \right)}} \right]=\)\(\left( -\,1;-\,2;5 \right)\)

Xét hệ \(\left\{ \begin{align} & 3x+y+z-5=0 \\ & x+2y+z-4=0 \\ \end{align} \right.,\)

Chọn \(x = 0 \Rightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}
y + z = 5\\
2y + z = 4
\end{array} \right. \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}
y = - \,1\\
z = 6
\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {0; - 1;6} \right) \in d.\)

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là \(d:\left\{ \begin{align} & x=t \\ & y=-\,1+2t \\ & z=6-5t \\ \end{align} \right..\)

Gọi $d$ là đường thẳng cần tìm ta có \(d \bot \left( P \right)\) thì \( {\overrightarrow u _d} // {\overrightarrow n _{\left( P \right)}}\)

Chọn \({\overrightarrow u _d} = {\overrightarrow n _{\left( P \right)}} = \left( {1; - 2;1} \right)\).

Khi đó phương trình đường thẳng $d$ đi qua điểm \(A\left( {1;2;0} \right)\) và nhận \({\overrightarrow u _d} = \left( {1; - 2;1} \right)\) làm vecto chỉ phương là: \(\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 2}} = \dfrac{z}{1}\)

Ta có: \({{\overrightarrow{u}}_{d}}=\left( 1;-2;-1 \right);\,\,{{\overrightarrow{u}}_{d'}}=\left( -2;4;2 \right)=-2\left( 1;-2;-1 \right)\Rightarrow d//d'\)

Lấy \(M\left( 0;0;-1 \right)\in d\) ta thấy \(\frac{0-1}{-2}=\frac{0-2}{-4}=\frac{1}{2}\Rightarrow M\in d'\Rightarrow d\equiv d'\Rightarrow \)  Có vô số mặt phẳng chứa cả d và d’.

Ta thấy cả 3 đáp án A, B, D, mặt phẳng (Q) đều không chứa điểm M, do đó không chứa d và d’.

Gọi phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(ax+by+cz+d=0\) với \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ne 0.\)

Vì \(\left( P \right)\) đi qua hai điểm \(A\left( -\,1;1;1 \right),\,\,B\left( 1;0;1 \right)\) suy ra\(\left\{ \begin{array}{l}
- \,a + b + c + d = 0\\
a + c + d = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b = 2a\\
d = - \,a - c
\end{array} \right..\)

Khi đó, phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(ax+2ay+cz-a-c=0.\)

Khoảng cách từ điểm \(O\) đến mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(d\left( O;\left( P \right) \right)=\frac{\left| a+c \right|}{\sqrt{5{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}}\)

Ta có \({{\left( a+c \right)}^{2}}={{\left( \frac{1}{\sqrt{5}}.a\sqrt{5}+c \right)}^{2}}\le \left( {{\left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right)}^{2}}+{{1}^{2}} \right)\left( 5{{a}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\)

     \(\Leftrightarrow \frac{{{\left( a+c \right)}^{2}}}{5{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}\le \frac{6}{5}\Leftrightarrow \frac{\left| a+c \right|}{\sqrt{5{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}}\le \frac{\sqrt{30}}{5}.\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(c=5a\)\(\Rightarrow d=-\,6a.\)

Vậy \(\left( P \right):x+2y+5z-6=0.\)

Theo bài ra ta có: \(A = d \cap \left( P \right)\).

+ \(A \in d\) nên gọi \(A\left( { - 1 + 2t;\,\,1 - t;\,\, - 3 + 3t} \right)\).

+ \(A \in \left( P \right)\) \( \Rightarrow  - 1 + 2t - 2\left( {1 - t} \right) + \left( { - 3 + 3t} \right) - 1 = 0\) \( \Leftrightarrow 7t - 7 = 0 \Leftrightarrow t = 1.\)

\( \Rightarrow A\left( {1;0;0} \right)\).

\( \Rightarrow a = 1,\,\,b = 0,\,\,c = 0\).

Vậy \(a + b + c = 1 + 0 + 0 = 1.\)

Gọi \(M = d \cap d' \Rightarrow M\left( {2 + 3t;2 + t;2 + 5t} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {AM}  = \left( {1 + 3t;t; - 2 + 5t} \right)\)

\(\begin{array}{l}AM//\left( P \right) \Rightarrow \overrightarrow {AM}  \bot \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}}  \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}}  = 0\\ \Leftrightarrow 2\left( {1 + 3t} \right) + t + \left( { - 2 + 5t} \right) = 0 \Leftrightarrow 12t = 0 \Leftrightarrow t = 0\end{array}\)

\( \Rightarrow M\left( {2;2;2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AM}  = \left( {1;0; - 2} \right) \Rightarrow AM:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2\\z = 4 - 2t\end{array} \right.\)

Gọi \(\Delta \) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q).

Tọa độ các giao điểm của hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) thỏa mãn hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z - 1 = 0\\x - y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = x\\z = 1 - x - y\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = x\\z = 1 - 2x\end{array} \right.\).

Cho \(x = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 0\\z = 1\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {0;0;1} \right) \in \Delta \).

Cho \(x = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1\\z =  - 1\end{array} \right.\) \( \Rightarrow B\left( {1;1; - 1} \right) \in \Delta \).

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1;1; - 2} \right)\) là 1 VTCP của đường thẳng \(\Delta \).

\( \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng \(\Delta \) có dạng: \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = t\\z = 1 - 2t\end{array} \right.\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\),

Chọn \(t =  - 1\) ta có điểm \(C\left( { - 1; - 1;3} \right) \in \Delta \).

Vậy phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(C\left( { - 1; - 1;3} \right)\) và có 1 VTCP \(\left( {1;1; - 2} \right)\) là: \(\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{{y + 1}}{1} = \dfrac{{z - 3}}{{ - 2}}\).

Ta có: \(\overrightarrow {{u_{Oy}}}  = \overrightarrow j  = \left( {0;\,\,1;\,\,0} \right)\)

Vì \(\left( P \right) \bot Oy\) \( \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}}  = \overrightarrow {{u_{Oy}}}  = \left( {0;\,\,1;\,\,0} \right)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(M\left( {2; - 3;\,\,4} \right)\) và vuông góc với trục \(Oy\) có phương trình:\(y + 3 = 0 \Leftrightarrow y =  - 3.\) 

Ta có: \({\overrightarrow u _d} = {\overrightarrow n _{\left( P \right)}} = \left( {3;2; - 1} \right)\)

Đường thẳng đi qua \(M\) và vuông góc với \(\left( P \right)\) có phương trình là: \(\dfrac{{x - 2}}{3} = \dfrac{{y - 1}}{2} = \dfrac{{z + 2}}{{ - 1}}\)

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2;2;1} \right)\)

Mặt phẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(AB\) có phương trình là: \(2x + 2y + z - 2 = 0\)

Xét vị trí tương đối của đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) với : \(vtcp\,\overrightarrow {{u_d}} \left( {1;2; - 1} \right);\,\,vtpt\,\overrightarrow {{n_P}} \left( {1;1;1} \right)\) ta có :

\(\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{n_P}}  = 1.1 + 2.1 + \left( { - 1} \right).1 = 2 \ne 0\) . Nên (d) cắt (P)

Gọi \(H = d \cap \left( P \right) \Rightarrow H\left( {t;2t - 1; - t + 2} \right) \in \left( P \right) \Rightarrow t + 2t - 1 - t + 2 - 3 = 0 \Leftrightarrow 2t - 2 = 0 \Rightarrow t = 1\)

\( \Rightarrow H\left( {1;1;1} \right)\)

Lấy \(A\left( {2;3;0} \right) \in d\). Pt đường thẳng đi qua A vuông góc với (P) \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 3 + t\\z = t\end{array} \right.\)

Gọi K là hình chiếu của A lên (P) \( \Rightarrow K\left( {2 + t;3 + t;t} \right) \in \left( P \right)\)

\( \Rightarrow 2 + t + 3 + t + t - 3 = 0 \Leftrightarrow 3t + 2 = 0 \Leftrightarrow t =  - \dfrac{2}{3} \Rightarrow K\left( {\dfrac{4}{3};\dfrac{7}{3};\dfrac{{ - 2}}{3}} \right)\) 

\(\overrightarrow {HK}  = \left( {\dfrac{1}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{{ - 5}}{3}} \right)//\left( {1;4; - 5} \right)\) đi qua \(H\left( {1;1;1} \right)\)

Gọi giao điểm của \(d\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) là điểm \(I.\)

Do \(I \in d \Rightarrow I\left( {t; - t;1 + 2t} \right)\). Mà \(I \in \left( P \right)\)

\( \Rightarrow t - 2t - 2\left( {1 + 2t} \right) + 2 = 0 \Rightarrow  - 5t = 0 \Rightarrow t = 0 \Rightarrow I\left( {0;0;1} \right)\)

Lấy \(A\left( {1; - 1;3} \right) \in d\).Gọi \(\Delta \) là đường thẳng qua \(A\) và vuông góc với \(\left( P \right) \Rightarrow {\overrightarrow u _\Delta } = {\overrightarrow n _{\left( P \right)}} = \left( {1;2; - 2} \right)\)

Phương trình đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y =  - 1 + 2t\\z = 3 - 2t\end{array} \right.\)

Gọi \(H\) là giao điểm của \(\Delta \) và \(\left( P \right)\)\( \Rightarrow H\left( {1 + t; - 1 + 2t;3 - 2t} \right)\)

Mà \(H \in \left( P \right) \Rightarrow 1 + t + 2\left( { - 1 + 2t} \right) - 2\left( {3 - 2t} \right) + 2 = 0\)\( \Rightarrow 9t = 5 \Rightarrow t = \dfrac{5}{9}\)\( \Rightarrow H\left( {\dfrac{{14}}{9};\dfrac{1}{9};\dfrac{{17}}{9}} \right)\)

Ta có: \(\overrightarrow {IH}  = \left( {\dfrac{{14}}{9};\dfrac{1}{9};\dfrac{8}{9}} \right)\)

Phương trình đường thẳng \(d'\) qua \(I\) và nhận \(9\overrightarrow {IH} \) làm vtcp: \(\dfrac{x}{{14}} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z - 1}}{8}\)