Các bài toán về mặt phẳng và đường thẳng

Đường thẳng có 1 VTCP là $\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {1;2;3} \right)$.

Vì $\left( P \right) \bot \left( d \right) \Rightarrow$ Mặt phẳng $\left( P \right)$ có 1 VTPT $\overrightarrow {{n_P}}  = \overrightarrow {{u_d}}  = \left( {1;2;3} \right)$.

Vậy phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là: $1.\left( {x - 3} \right) + 2.\left( {y + 4} \right) + 3.\left( {z - 5} \right) = 0$ $\Leftrightarrow x + 2y + 3z - 10 = 0$.

Mặt phẳng $\left( P \right):\,\,\,x + y - z - 1 = 0$ có 1 VTPT là $\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1;1; - 1} \right)$.

Trục $Oz$ có 1 VTCP là $\overrightarrow k  = \left( {0;0;1} \right)$.

Vì $\left\{ \begin{array}{l}d\parallel \left( P \right)\\d \bot Oz\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u .\overrightarrow {{n_P}}  = 0\\\overrightarrow u .\overrightarrow k  = 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 1 - b = 0\\b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 1\\b = 0\end{array} \right.$.

Vậy $a - b =  - 1 - 0 =  - 1.$

Ta có $\overrightarrow {AB}  = \left( {1;2;2} \right)$ là 1 VTPT của của mặt phẳng đi qua $A$ và vuông góc với $AB$.

Do đó phương trình mặt phẳng cần tìm là: $x + 2y + 2z - 2 = 0$.

$d:\dfrac{x}{2} = \dfrac{{y + 2}}{4} = \dfrac{{z - 3}}{{ - 1}}$$\Rightarrow {\vec u_d} = (2;4; - 1)$ là vecto chỉ phương.

Mặt phẳng đi qua $M(2; - 5;3)$ và có VTVP ${\vec u_d} = (2;4; - 1)$

Vậy $2(x - 2) + 4(y + 5) - (z - 3) = 0$$\Leftrightarrow 2x + 4y - z + 19 = 0$

Đường thẳng $d:\,\,\dfrac{{x - 2}}{3} = \dfrac{y}{2} = z - 1$ có 1 VTCP là $\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {3;2;1} \right)$.

Mặt phẳng $\left( Q \right):\,\,2x - y + z - 3 = 0$ có 1 VTPT là $\overrightarrow {{n_Q}}  = \left( {2; - 1;1} \right)$.

Gọi $\overrightarrow {{n_P}} \left( {a; - 1;c} \right)$ là 1 VTPT của $\left( P \right)$, theo bài ra ta có:

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right) \supset d\\\left( P \right) \bot \left( Q \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{u_d}}  = 0\\\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}}  = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3a - 2 + c = 0\\2a + 1 + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\c =  - 7\end{array} \right.\end{array}$

Khi đó phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ có dạng $3x - y - 7z + d = 0$.

Lấy $M\left( {2;0;1} \right) \in d$, vì $d \subset \left( P \right) \Rightarrow M \in \left( P \right)$.

$\Rightarrow 3.2 - 0 - 7.1 + d = 0 \Leftrightarrow d - 1 = 0 \Leftrightarrow d = 1$.

Vậy $a + c + d = 3 + \left( { - 7} \right) + 1 =  - 3$.

* Nhận thấy $I\left( {1;2; - 1} \right) \in d$ và cũng thuộc $\left( P \right)$.

$\Rightarrow d \cap \left( P \right) = I\left( {1;2; - 1} \right)$.

Gọi $d'$ là hình chiếu của $d$ trên $\left( P \right) \Rightarrow I \in d'$.

* Lấy $A\left( {2;3; - 3} \right) \in d$.

Gọi $\Delta$ là đường thẳng qua $A$ và vuông góc với $\left( P \right)$ $\Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }}  = \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}}  = \left( {1;2; - 1} \right)$.

$\Rightarrow$ Phương trình đường thẳng $\Delta :\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 3 + 2t\\z =  - 3 - t\end{array} \right.$.

Gọi $H = \Delta  \cap \left( P \right) \Rightarrow H \in \Delta  \Rightarrow H\left( {2 + t;\,\,3 + 2t;\,\, - 3 - t} \right)$.

Mà $H \in \left( P \right) \Rightarrow \left( {2 + t} \right) + 2\left( {3 + 2t} \right) - \left( { - 3 - t} \right) - 6 = 0 \Leftrightarrow 6t + 5 = 0 \Leftrightarrow t =  - \dfrac{5}{6}$.

$\Rightarrow H\left( {\dfrac{7}{6};\dfrac{4}{3}; - \dfrac{{13}}{6}} \right)$.

* $d'$ là đường thẳng đi qua $I$ và $H$.

Ta có $\overrightarrow {IH}  = \left( {\dfrac{1}{6}; - \dfrac{2}{3}; - \dfrac{7}{6}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_{d'}}}  =  - 6\overrightarrow {IH}  = \left( { - 1;4;7} \right)$.

$\Rightarrow$ Phương trình đường thẳng $d':\,\,\dfrac{{x - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{y - 2}}{4} = \dfrac{{z + 1}}{7}$.

Xét hệ $\left\{ \begin{array}{l}x + 2y + z - 1 = 0\\x - y - z + 2 = 0\end{array} \right.$.

Cho $z = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 1\\x - y =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y = 1\end{array} \right.$ $\Rightarrow A\left( { - 1;1;0} \right) \in \Delta$.

Cho $z = 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2y =  - 1\\x - y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{1}{3}\\y =  - \dfrac{1}{3}\end{array} \right.$ $\Rightarrow B\left( { - \dfrac{1}{3}; - \dfrac{1}{3};2} \right) \in \Delta$.

Ta có $\overrightarrow {AB}  = \left( {\dfrac{2}{3}; - \dfrac{4}{3};2} \right)$ $\Rightarrow \overrightarrow u  = \dfrac{3}{2}\overrightarrow {AB}  = \left( {1; - 2;3} \right)$ là 1 VTCP của $\Delta$.

Vậy phương trình đường thẳng $\Delta$ là : $\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + t\\y = 1 - 2t\\z = 3t.\end{array} \right.$.

Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng cần tìm và $\overrightarrow {{n_P}}$ là 1 VTPT của mặt phẳng $\left( P \right)$.

Đường thẳng ${d_1}:\,\,\dfrac{{x + 2}}{{ - 1}} = \dfrac{{y - 1}}{2} = \dfrac{z}{2}$ có 1 VTCP là $\overrightarrow {{u_1}}  = \left( { - 1;2;2} \right)$, đường thẳng ${d_2}:\,\,\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{y}{{ - 1}} = \dfrac{{z - 3}}{{ - 2}}$ có 1 VTCP là $\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {1; - 1; - 2} \right)$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{d_1}\parallel \left( P \right)\\{d_2}\parallel \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{n_P}}  = 0\\\overrightarrow {{u_2}} .\overrightarrow {{n_P}}  = 0\end{array} \right.$ $\Rightarrow \overrightarrow {{n_P}}  = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( { - 2;0; - 1} \right)$.

Vậy phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là:

$- 2\left( {x - 0} \right) - 1.\left( {z - 2} \right) = 0$$\Leftrightarrow  - 2x - z + 2 = 0$ $\Leftrightarrow 2x + z - 2 = 0$.

Ta có : $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( 3;\ 1;\ 1 \right),\ \ \overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}}=\left( 1;\ 2;\ 1 \right).$

Gọi $d$ là giao tuyến của $\left( P \right)$ và $\left( Q \right).$

Ta có $\left\{ \begin{align} & {{{\vec{u}}}_{d}}\bot {{{\vec{n}}}_{\left( P \right)}} \\ & {{{\vec{u}}}_{d}}\bot {{{\vec{n}}}_{\left( Q \right)}} \\ \end{align} \right.\Rightarrow \,\,{{\vec{u}}_{d}}=\left[ {{{\vec{n}}}_{\left( P \right)}};{{{\vec{n}}}_{\left( Q \right)}} \right]=$$\left( -\,1;-\,2;5 \right)$

Xét hệ $\left\{ \begin{align} & 3x+y+z-5=0 \\ & x+2y+z-4=0 \\ \end{align} \right.,$

Chọn $x = 0 \Rightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l} y + z = 5\\ 2y + z = 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l} y = - \,1\\ z = 6 \end{array} \right. \Rightarrow M\left( {0; - 1;6} \right) \in d.$

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là $d:\left\{ \begin{align} & x=t \\ & y=-\,1+2t \\ & z=6-5t \\ \end{align} \right..$

Gọi $d$ là đường thẳng cần tìm ta có $d \bot \left( P \right)$ thì ${\overrightarrow u _d} // {\overrightarrow n _{\left( P \right)}}$

Chọn ${\overrightarrow u _d} = {\overrightarrow n _{\left( P \right)}} = \left( {1; - 2;1} \right)$.

Khi đó phương trình đường thẳng $d$ đi qua điểm $A\left( {1;2;0} \right)$ và nhận ${\overrightarrow u _d} = \left( {1; - 2;1} \right)$ làm vecto chỉ phương là: $\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 2}} = \dfrac{z}{1}$

Ta có: ${{\overrightarrow{u}}_{d}}=\left( 1;-2;-1 \right);\,\,{{\overrightarrow{u}}_{d'}}=\left( -2;4;2 \right)=-2\left( 1;-2;-1 \right)\Rightarrow d//d'$

Lấy $M\left( 0;0;-1 \right)\in d$ ta thấy $\frac{0-1}{-2}=\frac{0-2}{-4}=\frac{1}{2}\Rightarrow M\in d'\Rightarrow d\equiv d'\Rightarrow$  Có vô số mặt phẳng chứa cả d và d’.

Ta thấy cả 3 đáp án A, B, D, mặt phẳng (Q) đều không chứa điểm M, do đó không chứa d và d’.

Gọi phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là $ax+by+cz+d=0$ với ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ne 0.$

Vì $\left( P \right)$ đi qua hai điểm $A\left( -\,1;1;1 \right),\,\,B\left( 1;0;1 \right)$ suy ra$\left\{ \begin{array}{l} - \,a + b + c + d = 0\\ a + c + d = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} b = 2a\\ d = - \,a - c \end{array} \right..$

Khi đó, phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là $ax+2ay+cz-a-c=0.$

Khoảng cách từ điểm $O$ đến mặt phẳng $\left( P \right)$ là $d\left( O;\left( P \right) \right)=\frac{\left| a+c \right|}{\sqrt{5{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}}$

Ta có ${{\left( a+c \right)}^{2}}={{\left( \frac{1}{\sqrt{5}}.a\sqrt{5}+c \right)}^{2}}\le \left( {{\left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right)}^{2}}+{{1}^{2}} \right)\left( 5{{a}^{2}}+{{c}^{2}} \right)$

     $\Leftrightarrow \frac{{{\left( a+c \right)}^{2}}}{5{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}\le \frac{6}{5}\Leftrightarrow \frac{\left| a+c \right|}{\sqrt{5{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}}\le \frac{\sqrt{30}}{5}.$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $c=5a$$\Rightarrow d=-\,6a.$

Vậy $\left( P \right):x+2y+5z-6=0.$

Theo bài ra ta có: $A = d \cap \left( P \right)$.

+ $A \in d$ nên gọi $A\left( { - 1 + 2t;\,\,1 - t;\,\, - 3 + 3t} \right)$.

+ $A \in \left( P \right)$ $\Rightarrow  - 1 + 2t - 2\left( {1 - t} \right) + \left( { - 3 + 3t} \right) - 1 = 0$ $\Leftrightarrow 7t - 7 = 0 \Leftrightarrow t = 1.$

$\Rightarrow A\left( {1;0;0} \right)$.

$\Rightarrow a = 1,\,\,b = 0,\,\,c = 0$.

Vậy $a + b + c = 1 + 0 + 0 = 1.$

Gọi $M = d \cap d' \Rightarrow M\left( {2 + 3t;2 + t;2 + 5t} \right)$$\Rightarrow \overrightarrow {AM}  = \left( {1 + 3t;t; - 2 + 5t} \right)$

$\begin{array}{l}AM//\left( P \right) \Rightarrow \overrightarrow {AM}  \bot \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}}  \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}}  = 0\\ \Leftrightarrow 2\left( {1 + 3t} \right) + t + \left( { - 2 + 5t} \right) = 0 \Leftrightarrow 12t = 0 \Leftrightarrow t = 0\end{array}$

$\Rightarrow M\left( {2;2;2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AM}  = \left( {1;0; - 2} \right) \Rightarrow AM:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2\\z = 4 - 2t\end{array} \right.$

Gọi $\Delta$ là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q).

Tọa độ các giao điểm của hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ thỏa mãn hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}x + y + z - 1 = 0\\x - y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = x\\z = 1 - x - y\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = x\\z = 1 - 2x\end{array} \right.$.

Cho $x = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 0\\z = 1\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {0;0;1} \right) \in \Delta$.

Cho $x = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1\\z =  - 1\end{array} \right.$ $\Rightarrow B\left( {1;1; - 1} \right) \in \Delta$.

Ta có: $\overrightarrow {AB}  = \left( {1;1; - 2} \right)$ là 1 VTCP của đường thẳng $\Delta$.

$\Rightarrow$ Phương trình đường thẳng $\Delta$ có dạng: $\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = t\\z = 1 - 2t\end{array} \right.\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$,

Chọn $t =  - 1$ ta có điểm $C\left( { - 1; - 1;3} \right) \in \Delta$.

Vậy phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua $C\left( { - 1; - 1;3} \right)$ và có 1 VTCP $\left( {1;1; - 2} \right)$ là: $\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{{y + 1}}{1} = \dfrac{{z - 3}}{{ - 2}}$.

Ta có: $\overrightarrow {{u_{Oy}}}  = \overrightarrow j  = \left( {0;\,\,1;\,\,0} \right)$

Vì $\left( P \right) \bot Oy$ $\Rightarrow \overrightarrow {{n_P}}  = \overrightarrow {{u_{Oy}}}  = \left( {0;\,\,1;\,\,0} \right)$.

Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $M\left( {2; - 3;\,\,4} \right)$ và vuông góc với trục $Oy$ có phương trình:$y + 3 = 0 \Leftrightarrow y =  - 3.$ 

Ta có: ${\overrightarrow u _d} = {\overrightarrow n _{\left( P \right)}} = \left( {3;2; - 1} \right)$

Đường thẳng đi qua $M$ và vuông góc với $\left( P \right)$ có phương trình là: $\dfrac{{x - 2}}{3} = \dfrac{{y - 1}}{2} = \dfrac{{z + 2}}{{ - 1}}$

Ta có: $\overrightarrow {AB}  = \left( {2;2;1} \right)$

Mặt phẳng đi qua $A$ và vuông góc với $AB$ có phương trình là: $2x + 2y + z - 2 = 0$

Xét vị trí tương đối của đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) với : $vtcp\,\overrightarrow {{u_d}} \left( {1;2; - 1} \right);\,\,vtpt\,\overrightarrow {{n_P}} \left( {1;1;1} \right)$ ta có :

$\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{n_P}}  = 1.1 + 2.1 + \left( { - 1} \right).1 = 2 \ne 0$ . Nên (d) cắt (P)

Gọi $H = d \cap \left( P \right) \Rightarrow H\left( {t;2t - 1; - t + 2} \right) \in \left( P \right) \Rightarrow t + 2t - 1 - t + 2 - 3 = 0 \Leftrightarrow 2t - 2 = 0 \Rightarrow t = 1$

$\Rightarrow H\left( {1;1;1} \right)$

Lấy $A\left( {2;3;0} \right) \in d$. Pt đường thẳng đi qua A vuông góc với (P) $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 3 + t\\z = t\end{array} \right.$

Gọi K là hình chiếu của A lên (P) $\Rightarrow K\left( {2 + t;3 + t;t} \right) \in \left( P \right)$

$\Rightarrow 2 + t + 3 + t + t - 3 = 0 \Leftrightarrow 3t + 2 = 0 \Leftrightarrow t =  - \dfrac{2}{3} \Rightarrow K\left( {\dfrac{4}{3};\dfrac{7}{3};\dfrac{{ - 2}}{3}} \right)$ 

$\overrightarrow {HK}  = \left( {\dfrac{1}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{{ - 5}}{3}} \right)//\left( {1;4; - 5} \right)$ đi qua $H\left( {1;1;1} \right)$

Gọi giao điểm của $d$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ là điểm $I.$

Do $I \in d \Rightarrow I\left( {t; - t;1 + 2t} \right)$. Mà $I \in \left( P \right)$

$\Rightarrow t - 2t - 2\left( {1 + 2t} \right) + 2 = 0 \Rightarrow  - 5t = 0 \Rightarrow t = 0 \Rightarrow I\left( {0;0;1} \right)$

Lấy $A\left( {1; - 1;3} \right) \in d$.Gọi $\Delta$ là đường thẳng qua $A$ và vuông góc với $\left( P \right) \Rightarrow {\overrightarrow u _\Delta } = {\overrightarrow n _{\left( P \right)}} = \left( {1;2; - 2} \right)$

Phương trình đường thẳng $\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y =  - 1 + 2t\\z = 3 - 2t\end{array} \right.$

Gọi $H$ là giao điểm của $\Delta$ và $\left( P \right)$$\Rightarrow H\left( {1 + t; - 1 + 2t;3 - 2t} \right)$

Mà $H \in \left( P \right) \Rightarrow 1 + t + 2\left( { - 1 + 2t} \right) - 2\left( {3 - 2t} \right) + 2 = 0$$\Rightarrow 9t = 5 \Rightarrow t = \dfrac{5}{9}$$\Rightarrow H\left( {\dfrac{{14}}{9};\dfrac{1}{9};\dfrac{{17}}{9}} \right)$

Ta có: $\overrightarrow {IH}  = \left( {\dfrac{{14}}{9};\dfrac{1}{9};\dfrac{8}{9}} \right)$

Phương trình đường thẳng $d'$ qua $I$ và nhận $9\overrightarrow {IH}$ làm vtcp: $\dfrac{x}{{14}} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z - 1}}{8}$