Bài toán tiếp tuyến với đồ thị và sự tiếp xúc của hai đường cong

Ta có \(y' = 4{x^3} - 4x = 0 \Leftrightarrow 4x\left( {{x^2} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x =  - 1\end{array} \right.\)

Lại có \(y'' = 12{x^2} - 4 \Rightarrow y''\left( 0 \right) =  - 4 < 0;\,y''\left( 1 \right) = y''\left( { - 1} \right) = 8 > 0\)  nên \(x = 0\) là điểm cực đại của hàm số và \(x = 1;x =  - 1\) là các điểm cực tiểu của hàm số.

Nhận thấy rằng đây là hàm trùng phương nên hai điểm cực tiểu sẽ đối xứng nhau qua \(Oy.\)

Từ đó để tiếp tuyến của đồ thị song song với trục \(Ox\) thì tiếp điểm là điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Do đó để có đúng 1 tiếp tuyến song song với trục \(Ox\) thì điểm cực đại hoặc cực tiểu phải nằm trên trục \(Ox.\)

Hay \(\left[ \begin{array}{l}y\left( 0 \right) = 0\\y\left( { \pm 1} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 2 = 0\\m - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\\m = 3\end{array} \right.\)

Vậy \(S = \left\{ {2;3} \right\} \Rightarrow \) tổng các phần tử của \(S\) là \(2 + 3 = 5.\)

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\). Ta có \(y' = \dfrac{{ - 4}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\).

Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là điểm thuộc đồ thị hàm số, phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại \(M\) là:

\(y = \dfrac{{ - 4}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + \dfrac{{{x_0} + 3}}{{{x_0} - 1}}\,\,\,\left( d \right)\)

Gọi \(A = d \cap Ox\).

Cho \(y = 0\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 0 = \dfrac{{ - 4}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + \dfrac{{{x_0} + 3}}{{{x_0} - 1}}\\ \Leftrightarrow 0 =  - 4\left( {x - {x_0}} \right) + \left( {{x_0} + 3} \right)\left( {{x_0} - 1} \right)\\ \Leftrightarrow 0 =  - 4x + 4{x_0} + x_0^2 + 2{x_0} - 3\\ \Leftrightarrow x = \dfrac{{x_0^2 + 6{x_0} - 3}}{4}\end{array}\)

\( \Rightarrow A\left( {\dfrac{{x_0^2 + 6{x_0} - 3}}{4};0} \right)\) \( \Rightarrow OA = \dfrac{{\left| {x_0^2 + 6{x_0} - 3} \right|}}{4}\).

Gọi \(B = d \cap Oy\).

Cho \(x = 0\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow y = \dfrac{{4{x_0}}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} + \dfrac{{{x_0} + 3}}{{{x_0} - 1}} = \dfrac{{4{x_0} + \left( {{x_0} + 3} \right)\left( {{x_0} - 1} \right)}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{4{x_0} + x_0^2 + 2{x_0} - 3}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{x_0^2 + 6{x_0} - 3}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\end{array}\)

\( \Rightarrow B\left( {0;\dfrac{{x_0^2 + 6{x_0} - 3}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}} \right) \Rightarrow OB = \dfrac{{\left| {x_0^2 + 6{x_0} - 3} \right|}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\).

Vì tam giác \(OAB\) vuông cân tại \(O\) nên \(OA = OB\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {x_0^2 + 6{x_0} - 3} \right|}}{4} = \dfrac{{\left| {x_0^2 + 6{x_0} - 3} \right|}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\\ \Leftrightarrow \left| {x_0^2 + 6{x_0} - 3} \right|\left( {\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} = 0\end{array}\)  

(Do \(A \ne B\) nên \(x_0^2 + 6{x_0} - 3 \ne 0\))

\( \Leftrightarrow {\left( {{x_0} - 1} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} - 1 = 2\\{x_0} - 1 =  - 2\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 3\\{x_0} =  - 1\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\).

Với \({x_0} = 3\) \( \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến: \(y =  - 1\left( {x - 3} \right) + 3 \Leftrightarrow y =  - x + 6\).

Với \({x_0} =  - 1\) \( \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến: \(y =  - 1\left( {x + 1} \right) - 1 \Leftrightarrow y =  - x - 2\).

Gọi tiếp điểm là \({A_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)\). Ta có: \({y_0} = 4x_0^3 - 6x_0^2 + 1\)

Ta có: \(y' = 12{x^2} - 12x \Rightarrow y'\left( {{x_0}} \right) = 12x_0^2 - 12{x_0}\)

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)là:

\(y = \left( {12x_0^2 - 12{x_0}} \right).\left( {x - {x_0}} \right) + 4x_0^3 - 6x_0^2 + 1\) (d)

Theo bài ra ta có: \(M\left( { - 1; - 9} \right) \in d \Rightarrow \)\( - 9 = \left( {12x_0^2 - 12{x_0}} \right).\left( { - 1 - {x_0}} \right) + 4x_0^3 - 6x_0^2 + 1\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow  - 9 =  - 12x_0^2 - 12x_0^3 + 12{x_0} + 12x_0^2 + 4x_0^3 - 6x_0^2 + 1\\ \Leftrightarrow 8x_0^3 + 6x_0^2 - 12{x_0} - 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} =  - 1\\{x_0} = \dfrac{5}{4}\end{array} \right.\end{array}\)

Dễ dàng kiểm tra, mỗi giá trị \({x_0}\) tìm được cho ta đúng một phương trình tiếp tuyến, hai đường tiếp tuyến tìm được là phân biệt.

Vậy qua \(M\left( { - 1; - 9} \right)\) kẻ được hai tiếp tuyến đến đồ thị hàm số.

Cho \(x = 0 \Rightarrow y =  - 2\), suy ra giao điểm của \(\left( C \right)\) với trục tung là \(M\left( {0; - 2} \right)\).

Ta có: \(y' =  - 3{x^2} + 3 \Rightarrow y'\left( 0 \right) = 3\).

Vậy phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(M\left( {0; - 2} \right)\) là: \(y = 3\left( {x - 0} \right) - 2 \Leftrightarrow y = 3x - 2\).

\(\begin{align}  h'\left( x \right)=\frac{f'\left( x \right).\left( 3-g\left( x \right) \right)+f\left( x \right).g'\left( x \right)}{{{\left( 3-g\left( x \right) \right)}^{2}}}=\frac{3f'\left( x \right)-f'\left( x \right)g\left( x \right)+f\left( x \right).g'\left( x \right)}{{{\left( 3-g\left( x \right) \right)}^{2}}} \\  f'\left( 2018 \right)=g'\left( 2018 \right)=h'\left( 2018 \right)=\frac{3f'\left( 2018 \right)-f'\left( 2018 \right)g\left( 2018 \right)+f\left( 2018 \right).g'\left( 2018 \right)}{{{\left( 3-g\left( 2018 \right) \right)}^{2}}}\ne 0 \\  \Leftrightarrow f'\left( 2018 \right)=\frac{3f'\left( 2018 \right)-f'\left( 2018 \right)g\left( 2018 \right)+f\left( 2018 \right).f'\left( 2018 \right)}{{{\left( 3-g\left( 2018 \right) \right)}^{2}}} \\  \Leftrightarrow 1=\frac{3-g\left( 2018 \right)+f\left( 2018 \right)}{{{\left( 3-g\left( 2018 \right) \right)}^{2}}}\left( f'\left( 2018 \right)\ne 0 \right) \\  \Leftrightarrow f\left( 2018 \right)={{\left( 3-g\left( 2018 \right) \right)}^{2}}-3+g\left( 2018 \right) \\ \Leftrightarrow f\left( 2018 \right)={{g}^{2}}\left( 2018 \right)-5g\left( 2018 \right)+6={{g}^{2}}\left( 2018 \right)-2.\frac{5}{2}g\left( 2018 \right)+\frac{25}{4}-\frac{1}{4} \\  \Leftrightarrow f\left( 2018 \right)={{\left[ g\left( 2018 \right)-\frac{5}{2} \right]}^{2}}-\frac{1}{4}\ge -\frac{1}{4} \\ \end{align}\)

Gọi \(A\left( a;\frac{a-1}{2a} \right);\ \,B\left( b;\frac{b-1}{2b} \right)\,\,\,\left( a\ne b \right)\). Ta có \(y=\frac{1}{2}-\frac{1}{2x}\,\,\xrightarrow{{}}\,\,{y}'=\frac{1}{2{{x}^{2}}};\,\,\forall x\ne 0.\)

Theo bài ra, ta có \({y}'\left( a \right)={y}'\left( b \right)\Leftrightarrow \frac{1}{2{{a}^{2}}}=\frac{1}{2{{b}^{2}}}\Rightarrow \,\,a=-\,b\) (vì \(a\ne b\)).

Suy ra \(A,\,\,B\) đối xứng nhau qua tâm đối xứng \(I\left( 0;\frac{1}{2} \right).\)

Phương trình tiếp tuyến của\(\left( C \right)\) tại A là \(\left( d \right):y=\frac{1}{2{{a}^{2}}}\left( x-a \right)+\frac{a-1}{2a}\)

Khoảng cách giữa 2 tiếp tuyến là \(d=2\,\,\times \,\,d\left( I;\left( d \right) \right)=\frac{\frac{2}{\left| a \right|}}{\sqrt{\frac{1}{4{{a}^{4}}}+1}}\le \frac{2}{\left| a \right|}:\sqrt{\frac{1}{{{a}^{2}}}}=2\).

Vì theo bất đẳng thức AM – GM, ta được \(\frac{1}{4{{a}^{4}}}+1\ge 2\sqrt{\frac{1}{4{{a}^{4}}}}=\frac{1}{{{a}^{2}}}\Rightarrow \sqrt{\frac{1}{4{{a}^{4}}}+1}\le \frac{1}{\left| a \right|}.\)

Vậy khoảng cách lớn nhất giữa tiếp tuyến \({{d}_{1}}\) và \({{d}_{2}}\) là \(2.\)

\(y = {x^3} - 3x \Rightarrow y' = 3{x^2} - 3\)

Lấy \(M\left( {{x_0};{x_0}^3 - 3{x_0}} \right) \in (C)\).  Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M:

       \(y = (3{x_0}^2 - 3)(x - {x_0}) + {x_0}^3 - 3{x_0} \Leftrightarrow y = (3{x_0}^2 - 3)x - 2{x_0}^3\) (d)

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và \((C):\)

\(\begin{array}{l}{x^3} - 3x = (3{x_0}^2 - 3)x - 2{x_0}^3 \Leftrightarrow {x^3} - 3{x_0}^2x + 2{x_0}^3 = 0 \Leftrightarrow {x^3} - {x_0}^2x - 2{x_0}^2x + 2{x_0}^3 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - {x_0}} \right)\left( {{x^2} + x.{x_0} - 2{x_0}^2} \right) = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - {x_0}} \right)^2}(2x + {x_0}) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {x_0}\\x =  - \frac{{{x_0}}}{2}\end{array} \right.\end{array}\)

+) \(x = {x_0} \Rightarrow \)Trùng \(M\left( {{x_0};{x_0}^3 - 3{x_0}} \right)\)

+) \(x =  - \frac{{{x_0}}}{2} \Rightarrow N\left( { - \frac{{{x_0}}}{2}; - \frac{{{x_0}^3}}{8} + \frac{{3{x_0}}}{2}} \right)\)

Ta có:  \(MN = \sqrt {333}  \Leftrightarrow M{N^2} = 333 \Leftrightarrow {\left( {\frac{{3{x_0}}}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{9{x_0}^3}}{8} - \frac{{9{x_0}}}{2}} \right)^2} = 333 \Leftrightarrow {\left( {\frac{{3{x_0}}}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{3{x_0}}}{2}} \right)^2}.{\left( {\frac{{3{x_0}^2}}{4} - 3} \right)^2} = 333\)   (1)

Đặt \({\left( {\frac{{3{x_0}}}{2}} \right)^2} = t,\,\left( {\,t \ge 0} \right)\), phương trình trở thành:

\(t + t{\left( {\frac{t}{3} - 3} \right)^2} = 333 \Leftrightarrow 9t + t{(t - 9)^2} = 2997 \Leftrightarrow {t^3} - 18{t^2} + 90t - 2997 = 0\) (2)

Xét \(f(t) = {t^3} - 18{t^2} + 90t - 2997,\,\,t \ge 0\) có \(f'(t) = 3{t^2} - 36t + 90 > 0,\,\,\forall t \Rightarrow \)Hàm số đồng biến trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\)

\( \Rightarrow \) Phương trình (2) có nhiều nhất 1 nghiệm.

Mà \(f(0).f(21) < 0 \Rightarrow \)Tồn tại \({t_0} \in \left( {0;21} \right)\) là nghiệm duy nhất của (2)

\( \Rightarrow \) Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.

\(y = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^2}}}{2} + x + 1 \Rightarrow y' = {x^2} - x + 1\)

Gọi \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right),\,\,B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) là 2 điểm trên đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^2}}}{2} + x + 1\) sao cho từ tiếp tuyến tại A và tại B vuông góc với nhau. Khi đó: \(y'\left( {{x_1}} \right).y'\left( {{x_2}} \right) =  - 1\)

\( \Leftrightarrow \left( {{x_1}^2 - {x_1} + 1} \right)\left( {{x_2}^2 - {x_2} + 1} \right) =  - 1\) : Vô lý, do \({x_1}^2 - {x_1} + 1,\,\,{x_2}^2 - {x_2} + 1 > 0,\,\,\forall {x_1},{x_2}\)

Vậy, không tồn tại tiếp điểm A, B thỏa mãn đề bài, suy ra, không tồn tại điểm mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến đến đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^2}}}{2} + x + 1\) sao cho hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau.

Gọi \(A\left( a;\dfrac{a-1}{2a} \right);\ \,B\left( b;\dfrac{b-1}{2b} \right)\,\,\,\left( a\ne b \right)\). Ta có \(y=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2x}\,\,\xrightarrow{{}}\,\,{y}'=\dfrac{1}{2{{x}^{2}}};\,\,\forall x\ne 0.\)

Theo bài ra, ta có \({y}'\left( a \right)={y}'\left( b \right)\Leftrightarrow \dfrac{1}{2{{a}^{2}}}=\dfrac{1}{2{{b}^{2}}}\Rightarrow \,\,a=-\,b\) (vì \(a\ne b\)).

Suy ra \(A,\,\,B\) đối xứng nhau qua tâm đối xứng \(I\left( 0;\dfrac{1}{2} \right).\)

Phương trình tiếp tuyến của\(\left( C \right)\) tại A là \(\left( d \right):y=\dfrac{1}{2{{a}^{2}}}\left( x-a \right)+\dfrac{a-1}{2a}\)

Khoảng cách giữa 2 tiếp tuyến là

\(d=2\,\,\times \,\,d\left( I;\left( d \right) \right)\)\(=\dfrac{\dfrac{2}{\left| a \right|}}{\sqrt{\dfrac{1}{4{{a}^{4}}}+1}}\le \dfrac{2}{\left| a \right|}:\sqrt{\dfrac{1}{{{a}^{2}}}}=2\).

Vì theo bất đẳng thức AM – GM, ta được \(\dfrac{1}{4{{a}^{4}}}+1\ge 2\sqrt{\dfrac{1}{4{{a}^{4}}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}\)\(\Rightarrow \sqrt{\dfrac{1}{4{{a}^{4}}}+1}\ge \dfrac{1}{\left| a \right|}.\)

Vậy khoảng cách lớn nhất giữa tiếp tuyến \({{d}_{1}}\) và \({{d}_{2}}\) là \(2.\)

Có \(y'=4{{x}^{3}}-4x\Rightarrow \) Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x₀ là \(y'\left( {{x}_{0}} \right)=4x_{0}^{3}-4{{x}_{0}}\)

Trục Ox có phương trình y = 0, để tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+m-1\) song song với trục Ox thì \(y'\left( {{x}_{0}} \right)=4x_{0}^{3}-4{{x}_{0}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & {{x}_{0}}=0 \\  & {{x}_{0}}=1 \\  & {{x}_{0}}=-1 \\ \end{align} \right.\)

Với \({{x}_{0}}=0\Rightarrow \) phương trình tiếp tuyến là \(y=m-1\)

Với \({{x}_{0}}=\pm 1\Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến là \(y=m-2\)

\(\Rightarrow \) Để có duy nhất 1 đường tiếp tuyến của đồ thị hàm số song song với trục Ox thì một trong hai đường tiếp tuyến trên phải trùng với trục Ox 

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m - 1 = 0\\
m - 2 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 1\\
m = 2
\end{array} \right. \Rightarrow S = \left\{ {1;\;2} \right\}.\)

\(\Rightarrow \) tổng các phần tử của S là \(1+2=3.\)

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho là:

\(\begin{array}{l}
\;\;\;\;{x^4} - 6{x^3} + 15{x^2} - 20x + 5 = {x^3} - 2{x^2} - 3x - 1\\
\Leftrightarrow {x^4} - 7{x^3} + 17{x^2} - 17x + 6 = 0\\
\Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^3} - 6{x^2} + 11x - 6} \right) = 0\\
\Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {x - 3} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x - 1 = 0\\
x - 3 = 0\\
x - 2 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1 \Rightarrow y = - 5\\
x = 3 \Rightarrow y = - 1\\
x = 2 \Rightarrow y = - 7
\end{array} \right..
\end{array}\)

Khi đó ta thấy đáp án A, B, C đều có khả năng đúng.

Ta có: \(f'\left( x \right)=4{{x}^{3}}-18x+30x-20;\ \ g'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-4x-3.\)

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow f'\left( x \right) = g'\left( x \right)\\
\Leftrightarrow 4{x^3} - 18{x^2} + 30x - 20 = 3{x^2} - 4x - 3\\
\Leftrightarrow 4{x^3} - 21{x^2} + 34x - 17 = 0\\
\Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {4{x^2} - 17x + 17} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
x = \frac{{17 + \sqrt {17} }}{8}\\
x = \frac{{17 - \sqrt {17} }}{8}
\end{array} \right..
\end{array}\)

Kết hợp nghiệm của hai hệ phương trình ta thấy nghiệm chung duy nhất là \(x=1\Rightarrow \left( 1;-5 \right)\) là điểm tiếp xúc.

\(M\left( {{x}_{M}};{{y}_{M}} \right)\in (C):y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2\Rightarrow {{y}_{M}}=x_{M}^{3}-3x_{M}^{2}+2\)

\(y'=3{{x}^{2}}-6x\Rightarrow y'({{x}_{M}})=3x_{M}^{2}-6{{x}_{M}}\)

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M:  \(y=y'({{x}_{M}})(x-{{x}_{M}})+{{y}_{M}}\)

          \(\Leftrightarrow y=\left( 3x_{M}^{2}-6{{x}_{M}} \right)\left( x-{{x}_{M}} \right)+x_{M}^{3}-3x_{M}^{2}+2\Leftrightarrow y=\left( 3x_{M}^{2}-6{{x}_{M}} \right)x-2x_{M}^{3}+3x_{M}^{2}+2\) (d)

Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C):

\(\begin{array}{l}\left( {3x_M^2 - 6{x_M}} \right)x - 2x_M^3 + 3x_M^2 + 2 = {x^3} - 3{x^2} + 2 \Leftrightarrow 3x_M^2x - 6{x_M}x - 2x_M^3 + 3x_M^2 - {x^3} + 3{x^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {3x_M^2x - 2x_M^3 - {x^3}} \right) + \left( {3{x^2} - 6{x_M}x + 3x_M^2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {3x_M^2x - 3x_M^3} \right) + \left( {x_M^3 - {x^3}} \right) + 3{\left( {x - {x_M}} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow 3x_M^2\left( {x - {x_M}} \right) - \left( {x - {x_M}} \right)\left( {x_M^2 + x_M^{}x + {x^2}} \right) + 3{\left( {x - {x_M}} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - {x_M}} \right)\left( {3x_M^2 - x_M^2 - x_M^{}x - {x^2} + 3x - 3{x_M}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - {x_M}} \right)\left( {{x^2} + ({x_M} - 3)x - 2x_M^2 + 3{x_M}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - {x_M}} \right)^2}\left( {x + 2{x_M} - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {x_M}\\x = 3 - 2{x_M} = {x_N}\end{array} \right.\end{array}\)

(Điều kiện \(3-2{{x}_{M}}\ne {{x}_{M}}\Leftrightarrow {{x}_{M}}\ne 1\))

Khi đó, \(P=5x_{M}^{2}+x_{N}^{2}=5x_{M}^{2}+{{\left( 3-2{{x}_{M}} \right)}^{2}}=9x_{M}^{2}-12{{x}_{M}}+9={{\left( 3{{x}_{M}}-2 \right)}^{2}}+5\ge 5\)

\(\Rightarrow {{P}_{\min }}=5\) khi và chỉ khi \({{x}_{M}}=\frac{2}{3}\) . Khi đó, \(M\left( \frac{2}{3};\frac{26}{27} \right)\) \(\Rightarrow OM=\frac{10\sqrt{10}}{27}\).

Ta có: \(y'=\frac{1}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}\).

Xét phương trình hoành độ giao điểm \(\frac{x+1}{x+2}=-2x+m-1\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-\left( m-6 \right)x+3-2m=0\left( x\ne -2 \right)\).

Đường thẳng \(d\) cắt \(\left( C \right)\) tạo hai điểm phân biệt 

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\x \ne - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 6} \right)^2} - 8\left( {3 - 2m} \right) > 0\\2.{\left( { - 2} \right)^2} - \left( {m - 6} \right).\left( { - 2} \right) + 3 - 2m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 4m + 12 > 0\\ - 1 \ne 0\end{array} \right.\)

(luôn đúng)

Do đó \(d\) cắt \(\left( C \right)\) tạo hai điểm phân biệt \(A\left( {{x}_{1}};-2{{x}_{1}}+m-1 \right),B\left( {{x}_{2}};-2{{x}_{2}}+m-1 \right)\) thỏa mãn: \(\left\{ \begin{align}  & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{m-6}{2} \\  & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{3-2m}{2} \\ \end{align} \right.\)

Hệ số góc của các tiếp tuyến tại \(A,B\) lần lượt là \({{k}_{1}}=\frac{1}{{{\left( {{x}_{1}}+2 \right)}^{2}}};{{k}_{2}}=\frac{1}{{{\left( {{x}_{2}}+2 \right)}^{2}}}\) .

\(\begin{align}  & \Rightarrow {{k}_{1}}+{{k}_{2}}=\frac{1}{{{\left( {{x}_{1}}+2 \right)}^{2}}}+\frac{1}{{{\left( {{x}_{2}}+2 \right)}^{2}}}=\frac{x_{2}^{2}+4{{x}_{2}}+4+x_{1}^{2}+4{{x}_{1}}+4}{{{\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}}+2\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+4 \right)}^{2}}}=\frac{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}+4\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}+8}{{{\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}}+2\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+4 \right)}^{2}}} \\  & =\frac{{{\left( \frac{m-6}{2} \right)}^{2}}+4.\frac{m-6}{2}-2.\frac{3-2m}{2}+8}{{{\left( \frac{3-2m}{2}+2.\frac{m-6}{2}+4 \right)}^{2}}}=\frac{{{m}^{2}}+4m+8}{4}:\frac{1}{4}={{m}^{2}}+4m+8 \\  & {{k}_{1}}{{k}_{2}}=\frac{1}{{{\left( {{x}_{1}}+2 \right)}^{2}}}.\frac{1}{{{\left( {{x}_{2}}+2 \right)}^{2}}}=\frac{1}{{{\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}}+2\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+4 \right)}^{2}}}=\frac{1}{1/4}=4 \\ \end{align}\)

Khi đó:

\(\begin{align}  & {{\left( 3{{k}_{1}}+1 \right)}^{2}}+{{\left( 3{{k}_{2}}+1 \right)}^{2}}=9\left( k_{1}^{2}+k_{2}^{2} \right)+6\left( {{k}_{1}}+{{k}_{2}} \right)+2=9\left[ {{\left( {{k}_{1}}+{{k}_{2}} \right)}^{2}}-2{{k}_{1}}{{k}_{2}} \right]+6\left( {{k}_{1}}+{{k}_{2}} \right)+2 \\  & =9\left[ {{\left( {{m}^{2}}+4m+8 \right)}^{2}}-2.4 \right]+6\left( {{m}^{2}}+4m+8 \right)+2=9{{\left( {{m}^{2}}+4m+8 \right)}^{2}}+6\left( {{m}^{2}}+4m+8 \right)-70 \\  & ={{\left[ 3\left( {{m}^{2}}+4m+8 \right)+1 \right]}^{2}}-71={{\left[ 3{{\left( m+2 \right)}^{2}}+13 \right]}^{2}}-71\ge {{13}^{2}}-75=98 \\  & \Rightarrow P\ge 98\Rightarrow {{P}_{\min }}=98 \\ \end{align}\)

Vậy \({{P}_{\min }}=98\) khi \(m=-2\).

TXĐ: \(D=R\)

\(y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+9x+3\Rightarrow y'=3{{x}^{2}}+6x+9\)

Gọi \(M\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right),\,\,N\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)\), (\({{x}_{1}}\ne {{x}_{2}}\)) là 2 tiếp điểm.

\(M,N\in \left( C \right)\Rightarrow {{y}_{1}}={{x}_{1}}^{3}+3{{x}_{1}}^{2}+9{{x}_{1}}+3,\,\,\,{{y}_{2}}={{x}_{2}}^{3}+3{{x}_{2}}^{2}+9{{x}_{2}}+3\)

Tiếp tuyến tại M, N của (C) có hệ số góc đều bằng k \(\Leftrightarrow 3{{x}_{1}}^{2}+6{{x}_{1}}+9=3{{x}_{2}}^{2}+6{{x}_{2}}+9=k\)

\(\Rightarrow {{x}_{1}}^{2}+2{{x}_{1}}-{{x}_{2}}^{2}-2{{x}_{2}}=0\Leftrightarrow \left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+2 \right)=0\Leftrightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+2=0\Leftrightarrow {{x}_{2}}=-{{x}_{1}}-2\)

 Theo đề bài, ta có: OB = 2018OA \(\Rightarrow \) Phương trình đường thẳng MN có hệ số góc bằng 2018 hoặc – 2018.

TH1: Phương trình đường thẳng MN có hệ số góc là 2018 \(\Rightarrow \frac{{{y}_{2}}-{{y}_{1}}}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}=2018\Leftrightarrow {{y}_{2}}-{{y}_{1}}=2018({{x}_{2}}-{{x}_{1}})\)

\(\begin{align}  \Leftrightarrow \left( {{x}_{2}}^{3}+3{{x}_{2}}^{2}+9{{x}_{2}}+3 \right)-\left( {{x}_{1}}^{3}+3{{x}_{1}}^{2}+9{{x}_{1}}+3 \right)=2018({{x}_{2}}-{{x}_{1}}) \\  \Leftrightarrow ({{x}_{2}}-{{x}_{1}})({{x}_{2}}^{2}+{{x}_{2}}{{x}_{1}}+{{x}_{1}}^{2}+3{{x}_{2}}+3{{x}_{1}}-2009)=0 \\  \Leftrightarrow {{x}_{2}}^{2}+{{x}_{2}}{{x}_{1}}+{{x}_{1}}^{2}+3{{x}_{2}}+3{{x}_{1}}-2009=0,\,\,do\,\,{{x}_{2}}\ne {{x}_{1}} \\  \Leftrightarrow {{({{x}_{2}}+{{x}_{1}})}^{2}}+3({{x}_{2}}+{{x}_{1}})-{{x}_{1}}{{x}_{2}}-2009=0 \\  \Rightarrow {{(-2)}^{2}}+3.(-2)-{{x}_{1}}{{x}_{2}}-2009=0\Leftrightarrow {{x}_{1}}{{x}_{2}}=-2011 \\ \end{align}\)

\(\Rightarrow {{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}\) là nghiệm của phương trình \({{X}^{2}}+2X-2011=0\)

\(\Rightarrow {{x}_{1}}^{2}+2{{x}_{1}}-2011=0\Leftrightarrow 3{{x}_{1}}^{2}+6{{x}_{1}}+9=6042\)

\(\Rightarrow k=3{{x}_{1}}^{2}+6{{x}_{1}}+9=6042\)

TH2:  MN có hệ số góc là 2018. Dễ đang kiểm rằng : Không có giá trị của \({{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}\) thỏa mãn.

Vậy k = 6042.

Giả sử \(y=ax+b\) là đường thẳng cố định mà \(\left( {{P}_{m}} \right)\) luôn đi qua.

\(\Leftrightarrow m{{x}^{2}}-2\left( m-3 \right)x+m-2\,=ax+b\) có nghiệm kép với mọi \(m\ne 0\) .

\(\Leftrightarrow m{{x}^{2}}+\left( 6-2m-a \right)x+m-2\,-b=0\) có nghiệm kép với mọi \(m\ne 0\) .

\(\Leftrightarrow \Delta =m\left( 4a+4b-16 \right)+{{a}^{2}}-12a+36=0\) nghiệm đúng với mọi \(m\ne 0\) .

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4a + 4b - 16 = 0\\
{a^2} - 12a + 36 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 6\\
b = - \,2
\end{array} \right.\)

. Vậy đường thẳng cần tìm là \(y=6x-2\).

Do đó, đường thẳng \(d\) đi qua điểm có tọa độ \(\left( 0;-\,2 \right).\)

Chọn \(M\left( { - 1;7} \right)\) thuộc đồ thị hàm số

Có \(y' = \dfrac{{10}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}};y'\left( { - 1} \right) = 10\)

Phương trình tiếp tuyến tại \(M\) : \(y = 10\left( {x + 1} \right) + 7 \Leftrightarrow y = 10x + 17\)

Phương trình các tiệm cận: \(x =  - \dfrac{1}{2};y = 2\)

Tam giác \(IAB\) vuông tại \(I\) tạo bởi \(3\)  đường trên có \(3\)  đỉnh: \(I = \left( { - \dfrac{1}{2};2} \right);A\left( { - \dfrac{1}{2};12} \right);B\left( { - \dfrac{3}{2};2} \right)\) và có diện tích: \(S = \dfrac{1}{2}IA.IB = \dfrac{1}{2}.10.1 = 5\)

 \(y=\frac{x+2}{2x+3}\Rightarrow y'=\frac{-1}{{{\left( 2x+3 \right)}^{2}}}\)

Gọi điểm \(M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\,\,\left( {{x}_{0}}\ne -\frac{3}{2} \right)\) thuộc đồ thị hàm số (C).

Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng: \(y=\frac{-1}{{{\left( 2{{x}_{0}}+3 \right)}^{2}}}\left( x-{{x}_{0}} \right)+\frac{{{x}_{0}}+2}{2{{x}_{0}}+3}\)

Tiếp tuyến giao với trục hoành và trục tung tại 2 điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại O nên tiếp tuyến d vuông góc với một trong 2 đường phân giác \(y=x\) hoặc \(y=-x\) .

+) TH1: d vuông góc với đường phân giác \(y=x\) thì ta được:

\(\frac{{ - 1}}{{{{\left( {2{x_0} + 3} \right)}^2}}}.1 = - 1 \Leftrightarrow {\left( {2{x_0} + 3} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2{x_0} + 3 = 1\\
2{x_0} + 3 = - 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_0} = - 1 \Rightarrow {y_0} = 1\\
{x_0} = - 2 \Rightarrow {y_0} = 0
\end{array} \right.\)

Với \({{x}_{0}}=-1;{{y}_{0}}=1\) ta có phương trình tiếp tuyến tại M là: \(y=-x\) (loại)

Với \({{x}_{0}}=-2;{{y}_{0}}=0\) ta có phương trình tiếp tuyến tại M là: \(y=-x-2\)

+) TH2: d vuông góc với đường phân giác \(y=-x\) thì ta được:

\(\frac{-1}{{{\left( 2{{x}_{0}}+3 \right)}^{2}}}.\left( -1 \right)=-1\Leftrightarrow {{\left( 2{{x}_{0}}+3 \right)}^{2}}=-1\left( ktm \right)\)

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là \(y=-x-2\)

Gọi \(M\left( a;\ \frac{1}{a-1} \right)\)  là một điểm thuộc đồ thị hàm số (C).

Ta có \({y}'=-\frac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}\Rightarrow {y}'\left( a \right)=-\frac{1}{{{\left( a-1 \right)}^{2}}}\) và \(y\left( a \right)=\frac{1}{a-1}.\)

Khi đó, phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(M\) là \(y-\frac{1}{a-1}=-\frac{1}{{{\left( a-1 \right)}^{2}}}\left( x-a \right)\Leftrightarrow y=-\frac{x}{{{\left( a-1 \right)}^{2}}}+\frac{2a-1}{{{\left( a-1 \right)}^{2}}}.\)

\(d\) cắt trục \(Ox\) tại điểm \(A\left( 2a-1;0 \right)\Rightarrow OA=\left| 2a-1 \right|.\) \(d\) cắt trục \(Oy\) tại điểm \(B\left( 0;\frac{2a-1}{{{\left( a-1 \right)}^{2}}} \right)\Rightarrow OB=\frac{\left| 2a-1 \right|}{{{\left( a-1 \right)}^{2}}}.\)

Diện tích tam giác \(OAB\) là \({{S}_{\Delta \,OAB}}=\frac{1}{2}.OA.OB=\frac{1}{2}.{{\left( \frac{2a-1}{a-1} \right)}^{2}}=2\Rightarrow \left[ \begin{align}  & \frac{2a-1}{a-1}=2 \\ & \frac{2a-1}{a-1}=-\,2 \\\end{align} \right.\Leftrightarrow a=\frac{3}{4}.\)

Suy ra \(b=\frac{1}{a-1}=\frac{1}{\frac{3}{4}-1}=-\,4.\) Vậy tích \(ab=\frac{3}{4}.\left( -\,4 \right)=-\,3.\)

Tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(M\) vuông góc với \(d:y=4x+7\Rightarrow k.4=-1\Leftrightarrow k=-\frac{1}{4}\).

Ta có: 

\(k = y' = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = - \frac{1}{4} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 2\\x + 1 = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow y = \frac{5}{2}\\x = - 3 \Rightarrow y = \frac{3}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}M\left( {1;\frac{5}{2}} \right)\\M\left( { - 3;\frac{3}{2}} \right)\end{array} \right.\)

Ta có: \(y'=4{{x}^{3}}-8x\)

Gọi \(\left( d' \right)\) là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ \({{x}_{0}}\) và vuông góc với đường thẳng d thì hệ số góc của d’ là: \(k=y'\left( {{x}_{0}} \right)=4x_{0}^{3}-8{{x}_{0}}\)

Vì

\(\begin{array}{l}d' \bot d \Rightarrow k.\frac{1}{4} = - 1 \Leftrightarrow k = - 4\\ \Rightarrow 4x_0^3 - 8{x_0} = - 4 \Leftrightarrow x_0^3 - 2{x_0} + 1 = 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left( {{x_0} - 1} \right)\left( {x_0^2 + {x_0} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 1\\{x_0} = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\\{x_0} = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\)

Vậy có 3 tiếp tuyến thỏa mãn.