Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{x + 3}}{{x - 1}}\), biết tiếp tuyến đó tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân.

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\). Ta có \(y' = \dfrac{{ - 4}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\).

Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là điểm thuộc đồ thị hàm số, phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại \(M\) là:

\(y = \dfrac{{ - 4}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + \dfrac{{{x_0} + 3}}{{{x_0} - 1}}\,\,\,\left( d \right)\)

Gọi \(A = d \cap Ox\).

Cho \(y = 0\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 0 = \dfrac{{ - 4}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + \dfrac{{{x_0} + 3}}{{{x_0} - 1}}\\ \Leftrightarrow 0 =  - 4\left( {x - {x_0}} \right) + \left( {{x_0} + 3} \right)\left( {{x_0} - 1} \right)\\ \Leftrightarrow 0 =  - 4x + 4{x_0} + x_0^2 + 2{x_0} - 3\\ \Leftrightarrow x = \dfrac{{x_0^2 + 6{x_0} - 3}}{4}\end{array}\)

\( \Rightarrow A\left( {\dfrac{{x_0^2 + 6{x_0} - 3}}{4};0} \right)\) \( \Rightarrow OA = \dfrac{{\left| {x_0^2 + 6{x_0} - 3} \right|}}{4}\).

Gọi \(B = d \cap Oy\).

Cho \(x = 0\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow y = \dfrac{{4{x_0}}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} + \dfrac{{{x_0} + 3}}{{{x_0} - 1}} = \dfrac{{4{x_0} + \left( {{x_0} + 3} \right)\left( {{x_0} - 1} \right)}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{4{x_0} + x_0^2 + 2{x_0} - 3}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{x_0^2 + 6{x_0} - 3}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\end{array}\)

\( \Rightarrow B\left( {0;\dfrac{{x_0^2 + 6{x_0} - 3}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}} \right) \Rightarrow OB = \dfrac{{\left| {x_0^2 + 6{x_0} - 3} \right|}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\).

Vì tam giác \(OAB\) vuông cân tại \(O\) nên \(OA = OB\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {x_0^2 + 6{x_0} - 3} \right|}}{4} = \dfrac{{\left| {x_0^2 + 6{x_0} - 3} \right|}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\\ \Leftrightarrow \left| {x_0^2 + 6{x_0} - 3} \right|\left( {\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} = 0\end{array}\)  

(Do \(A \ne B\) nên \(x_0^2 + 6{x_0} - 3 \ne 0\))

\( \Leftrightarrow {\left( {{x_0} - 1} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} - 1 = 2\\{x_0} - 1 =  - 2\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 3\\{x_0} =  - 1\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\).

Với \({x_0} = 3\) \( \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến: \(y =  - 1\left( {x - 3} \right) + 3 \Leftrightarrow y =  - x + 6\).

Với \({x_0} =  - 1\) \( \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến: \(y =  - 1\left( {x + 1} \right) - 1 \Leftrightarrow y =  - x - 2\).