Trên đồ thị (C) của hàm số \(y = {x^3} - 3x\) có bao nhiêu điểm M mà tiếp tuyến với (C) tại M cắt (C) tại điểm thứ hai N thỏa mãn \(MN = \sqrt {333} \). 

\(y = {x^3} - 3x \Rightarrow y' = 3{x^2} - 3\)

Lấy \(M\left( {{x_0};{x_0}^3 - 3{x_0}} \right) \in (C)\).  Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M:

       \(y = (3{x_0}^2 - 3)(x - {x_0}) + {x_0}^3 - 3{x_0} \Leftrightarrow y = (3{x_0}^2 - 3)x - 2{x_0}^3\) (d)

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và \((C):\)

\(\begin{array}{l}{x^3} - 3x = (3{x_0}^2 - 3)x - 2{x_0}^3 \Leftrightarrow {x^3} - 3{x_0}^2x + 2{x_0}^3 = 0 \Leftrightarrow {x^3} - {x_0}^2x - 2{x_0}^2x + 2{x_0}^3 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - {x_0}} \right)\left( {{x^2} + x.{x_0} - 2{x_0}^2} \right) = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - {x_0}} \right)^2}(2x + {x_0}) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {x_0}\\x =  - \frac{{{x_0}}}{2}\end{array} \right.\end{array}\)

+) \(x = {x_0} \Rightarrow \)Trùng \(M\left( {{x_0};{x_0}^3 - 3{x_0}} \right)\)

+) \(x =  - \frac{{{x_0}}}{2} \Rightarrow N\left( { - \frac{{{x_0}}}{2}; - \frac{{{x_0}^3}}{8} + \frac{{3{x_0}}}{2}} \right)\)

Ta có:  \(MN = \sqrt {333}  \Leftrightarrow M{N^2} = 333 \Leftrightarrow {\left( {\frac{{3{x_0}}}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{9{x_0}^3}}{8} - \frac{{9{x_0}}}{2}} \right)^2} = 333 \Leftrightarrow {\left( {\frac{{3{x_0}}}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{3{x_0}}}{2}} \right)^2}.{\left( {\frac{{3{x_0}^2}}{4} - 3} \right)^2} = 333\)   (1)

Đặt \({\left( {\frac{{3{x_0}}}{2}} \right)^2} = t,\,\left( {\,t \ge 0} \right)\), phương trình trở thành:

\(t + t{\left( {\frac{t}{3} - 3} \right)^2} = 333 \Leftrightarrow 9t + t{(t - 9)^2} = 2997 \Leftrightarrow {t^3} - 18{t^2} + 90t - 2997 = 0\) (2)

Xét \(f(t) = {t^3} - 18{t^2} + 90t - 2997,\,\,t \ge 0\) có \(f'(t) = 3{t^2} - 36t + 90 > 0,\,\,\forall t \Rightarrow \)Hàm số đồng biến trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\)

\( \Rightarrow \) Phương trình (2) có nhiều nhất 1 nghiệm.

Mà \(f(0).f(21) < 0 \Rightarrow \)Tồn tại \({t_0} \in \left( {0;21} \right)\) là nghiệm duy nhất của (2)

\( \Rightarrow \) Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.