Cực trị của hàm số

Nếu $f'\left( x \right)$ đổi dấu từ âm sang dương qua điểm ${x_0}$ thì ${x_0}$ là điểm cực tiểu của hàm số.

Nếu $\left\{ \begin{gathered} f'\left( {{x_0}} \right) = 0 \hfill \\ f''\left( {{x_0}} \right) > 0 \hfill \\\end{gathered}  \right.$ thì ${x_0}$ là một điểm cực tiểu của hàm số.

Bước 1:

Ta có

$\begin{array}{l}g'\left( x \right) = 2f'\left( {2x + 1} \right) - 3{x^2}\\ = 2\left[ {{{\left( {2x + 1} \right)}^3} - \dfrac{{29}}{8}{{\left( {2x + 1} \right)}^2} + \dfrac{9}{4}\left( {2x + 1} \right) + \dfrac{3}{8}} \right] - 3{x^2}\\ = 2\left( {8{x^3} + 12{x^2} + 6x + 1 - \dfrac{{29}}{8}\left( {4{x^2} + 4x + 1} \right) + \dfrac{9}{4}\left( {2x + 1} \right) + \dfrac{3}{8}} \right) - 3{x^2}\\ = 16{x^3} + 24{x^2} + 12x + 2 - 29{x^2} - 29x - \dfrac{{29}}{4} + 9x + \dfrac{9}{2} + \dfrac{3}{4} - 3{x^2}\\ = 16{x^3} - 8{x^2} - 8x\end{array}$

$\Rightarrow g''\left( x \right) = 48{x^2} - 16x - 8$.

Bước 2:

Xét hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}g'\left( x \right) = 0\\g''\left( x \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}16{x^3} - 8{x^2} - 8x = 0\\48{x^2} - 16x - 8 > 0\,\,\left( {luon\,\,dung} \right)\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x =  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.$.

$\Rightarrow S = \left\{ {0;1; - \dfrac{1}{2}} \right\}$. Vậy tổng các phần tử của $S$ là $0 + 1 + \left( { - \dfrac{1}{2}} \right) = \dfrac{1}{2}$.

Ta có: $y’=1-\dfrac{4}{x^2}$

$y' = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 2$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là $x=2$

Nếu $f'\left( x \right)$ đổi dấu từ dương sang âm qua điểm ${x_0}$ thì ${x_0}$ là điểm cực đại của hàm số.

Câu C đúng theo điều kiện cần của cực trị.

Câu A, B đúng theo điều kiện đủ của cực trị.

Câu D sai theo điều kiện đủ cho cực trị tồn tại.

Nếu ${x_0}$ là điểm cực đại của hàm số thì $f\left( {{x_0}} \right)$ là giá trị cực đại của hàm số.

Nếu $\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)$ là điểm cực đại của đồ thị hàm số thì ${x_0}$ là điểm cực đại của hàm số

Phát biểu “Hàm số $y = f\left( x \right)$ đạt cực trị tại ${x_0}$ khi và chỉ khi ${x_0}$ là nghiệm của đạo hàm” là sai vì tồn tại hàm số có cực trị tại điểm ${x_0}$ không phải là nghiệm của đạo hàm (chẳng hạn hàm $y = \left| x \right|$ đạt cực trị tại $x = 0$ mà không có đạo hàm tại điểm đó)

Phát biểu “Nếu $f'\left( {{x_0}} \right) = 0$ và $f''\left( {{x_0}} \right) > 0$ thì hàm số đạt cực đại tại ${x_0}$” là sai vì nếu $f'\left( {{x_0}} \right) = 0$ và$f''\left( {{x_0}} \right) > 0$ thì hàm số đạt cực tiểu tại ${x_0}$

Phát biểu “Nếu $f'\left( {{x_0}} \right) = 0$ và $f''\left( {{x_0}} \right) = 0$ thì ${x_0}$ không phải là cực trị của hàm số $y = f\left( x \right)$ đã cho” là sai vì tồn tại hàm số, chẳng hạn $y = {x^4}$ có $f'(0) = 0$ và $f''(0) = 0$ và $x = 0$ là cực trị của hàm số đó.

Phát biểu “Nếu $f'\left( x \right)$ đổi dấu khi $x$ qua điểm ${x_0}$ và $f\left( x \right)$ liên tục tại ${x_0}$ thì hàm số $y = f\left( x \right)$ đạt cực trị tại điểm ${x_0}$.” là đúng.

Nếu ${x_0}$ là điểm cực tiểu của hàm số thì $f\left( {{x_0}} \right)$ là giá trị cực tiểu của hàm số.

Nếu hàm số bậc ba có phương trình $y' = 0$ có nghiệm kép hoặc vô nghiệm thì hàm số bậc ba đó không có cực trị.

Hàm số bậc ba chỉ có thể có 2 cực trị và không có cực trị nào nên nếu nó có cực đại thì chắc chắn sẽ có cực tiểu.

Không phải lúc nào hàm bậc ba cũng có cực trị, vẫn có trường hợp không có cực trị và ngược lại nên A, D sai.

Có $y' = 4{x^3} + 6{x^2} = 0$$\Leftrightarrow 2{x^2}\left( {2x + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{3}{2}\\x = 0\end{array} \right.$

Do $x =  - \dfrac{3}{2}$ là nghiệm bội lẻ nên nó là một cực trị của hàm số.

$x = 0$ là nghiệm bội chẵn nên $x = 0$ không là điểm cực trị của hàm số.

Vậy hàm số đã cho có $1$ cực trị.

Dựa vào bảng xét dấu ta thấy đạo hàm đổi dấu khi đi qua các điểm có hoành độ là -3, -1, 1, 2 nên hàm số đã cho có 4 điểm cực trị.

Cách 1:

Ta có $y' = 3{x^2} - 6x$

Khi đó ${x^3} - 3{x^2} + 2$ $= \left( {3{x^2} - 6x} \right)\left( {\dfrac{1}{3}x - \dfrac{1}{3}} \right) - 2x + 2$

Vậy đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là $y =  - 2x + 2$

Cách 2:

$\begin{array}{l}y' = 3{x^2} - 6x\\y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\end{array}$

$\Rightarrow$$A\left( {0;2} \right),B\left( {2; - 2} \right)$ là 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số, phương trình đường thẳng AB là

$\dfrac{{x - 0}}{{2 - 0}} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 2 - 2}} \Leftrightarrow y =  - 2x + 2$

Cách 3: 

Bước 1: $y'=3x^2-6x; \,\,y''=6x-6$

Bước 2: Mode 2

Bước 3: 

a=2, b=-2

Vậy đường thẳng cần tìm là: $y=-2x+2$

Xét hàm số  $y = {x^2} + 3$. Ta có $y' = 2x \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow x = 0.$

Khi đó  $y''\left( 0 \right) = 2 > 0$ nên hàm số $y = {x^2} + 3$ có cực tiểu.

Do đó ta loại các đáp án A,B,C. Đáp án đúng là D.

Tập xác định $x \in \mathbb{R}.$

Ta có $y' = 1 + 2\cos 2x \Rightarrow y'\left( {{x_0}} \right) = 0 \Leftrightarrow 1 + 2\cos 2{x_0} = 0 \Leftrightarrow \cos 2{x_0} =  - \frac{1}{2} = \cos \frac{{2\pi }}{3} \Leftrightarrow {x_0} =  \pm \frac{\pi }{3} + k\pi {\mkern 1mu} \left( {k \in \mathbb{Z}} \right).$

Ta tính được $y'' =  - 4\sin 2x.$

Do đó:Với ${x_0} = \frac{\pi }{3} + k\pi$ thì $y''\left( {{x_0}} \right) =  - 4\sin \left[ {2\left( {\frac{\pi }{3} + k\pi } \right)} \right] =  - 4\sin \frac{{2\pi }}{3} < 0$ vì vậy ${x_0} = \frac{\pi }{3} + k\pi {\mkern 1mu} \left( {k \in Z} \right)$ là điểm cực đại của hàm đã cho.

Với ${x_0} =  - \frac{\pi }{3} + k\pi$ thì $y''\left( {{x_0}} \right) =  - 4\sin \left[ {2\left( { - \frac{\pi }{3} + k\pi } \right)} \right] =  - 4\sin \left( { - \frac{{2\pi }}{3}} \right) > 0$ vì vậy ${x_0} =  - \frac{\pi }{3} + k\pi {\mkern 1mu} \left( {k \in Z} \right)$ là điểm cực tiểu của hàm đã cho.

 $\begin{array}{*{20}{l}}{y = {\rm{\;}} - 2{x^4} + 4{x^2} + 5 \Rightarrow y' = {\rm{\;}} - 8{x^3} + 8x}\\{y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = 1}\\{x = {\rm{\;}} - 1}\end{array}} \right.}\end{array}$

$y' = 0$ có 3 nghiệm phân biệt.

Vậy hàm số $y =  - 2{x^4} + 4{x^2} + 5$ có 3 điểm cực trị.

Tập xác định: $D = \mathbb{R}$

$y = {(x - 1)^{2017}} \Rightarrow y' = 2017{(x - 1)^{2016}} \ge 0,\forall x$

Do đó hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên không có cực trị.

$\begin{array}{*{20}{l}}{y = {x^4} - 2{x^2} + 2{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (C) \Rightarrow y' = 4{x^3} - 4x}\\{y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x =  \pm 1}\end{array}} \right.}\end{array}$

Tọa độ các điểm cực trị của $\left( C \right)$ là: $A(0;2),{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} B( - 1;1),{\mkern 1mu} C(1;1)$.

Diện tích tam giác $ABC:$  ${S_{ABC}} = \frac{1}{2}AH.BC = \frac{1}{2}.(2 - 1).(1 - ( - 1)) = 1$