Cực trị của hàm số

Nhận thấy hàm số nghịch biến trên các khoảng  $\left( { - \infty ; - 3} \right)$ và  $\left( {2; + \infty } \right)$

Hàm số có giá trị cực đại bằng 3 tại  $x = 2$

Quan sát bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt tiểu tại điểm  $x = 0$ và đạt cực đại tại điểm  $x = 2$ .

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số có 2 điểm cực trị suy ra Loại đáp án D.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và đạt cực đại tại x = 0. Suy ra Đáp án B đúng.

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số đạt cực đại tại điểm  $x = 2.$

Có  $y' = 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow x = {\rm{\;}} \pm 1$

Vì hệ số của  ${x^3}$ là dương nên đồ thị hàm số có điểm cực tiểu  $\left( {1;3} \right)$

Ta có:

$y' = f'\left( x \right) = \dfrac{{\left( {2x - a} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^2} - ax + b} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$ $= \dfrac{{{x^2} - 2x + a - b}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$

Vì $C\left( {0; - 1} \right)$ là điểm cực đại của đồ thị hàm số nên:$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f'\left( 0 \right) = 0}\\{f\left( 0 \right) =  - 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a - b = 0}\\{ - b =  - 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 1}\\{b = 1}\end{array}} \right.$

Thay $a = 1,b = 1$ vào hàm số ta thấy điểm $C\left( {0; - 1} \right)$ là điểm cực đại của đồ thị hàm số.

Vậy $a = b = 1 \Rightarrow A + 2B = 6$.

Quan sát đồ thị hàm số $y = f'\left( x \right)$ ta thấy $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = 1\\x = 3\end{array} \right.$

Đặt $g\left( x \right) = f\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 2} } \right) \Rightarrow g'\left( x \right) = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 2x + 2} }}f'\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 2} } \right)$

$\begin{array}{*{20}{l}}{g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 1 = 0}\\{f'\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 2} } \right) = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 1}\\{\sqrt {{x^2} + 2x + 2}  =  - 1{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {vn} \right)}\\{\sqrt {{x^2} + 2x + 2}  = 1{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 1 \right)}\\{\sqrt {{x^2} + 2x + 2}  = 3{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 2 \right)}\end{array}} \right.}\\{\left( 1 \right) \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 2 = 1 \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow {{\left( {x + 1} \right)}^2} = 0 \Leftrightarrow x =  - 1}\\{\left( 2 \right) \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 2 = 9 \Leftrightarrow x =  - 1 \pm 2\sqrt 2 }\end{array}$

Nghiệm của phương trình (1) là nghiệm bội 2 nên không là cực trị của hàm số $y = g\left( x \right) = f\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 2} } \right)$. Lập BBT của hàm số $y = g\left( x \right)$:

Dựa vào BBT ta thấy hàm số $y = g\left( x \right)$ đạt cực đại tại $x =  - 1$.

Đồ thị hàm số $y = f\left( x \right) + m$ có được bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ theo phương của trục $Oy$ $m$ đơn vị (lên trên hay xuống dưới phụ thuộc vào $m$ dương hay âm), do đó nó đồ thị hàm số $y = f\left( x \right) + m$ có ${y_{CD}} = 1 + m;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {y_{CT}} =  - 3 + m$

Lấy đối xứng phần dưới của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right) + m$ qua $Ox$ ta được đồ thị hàm số $y = \left| {f\left( x \right) + m} \right|$

Để đồ thị hàm số $y = \left| {f\left( x \right) + m} \right|$ có ba điểm cực trị thì đồ thị hàm số $y=f\left( x \right) + m$ cắt trục $Ox$ tại đúng một điểm tức là điểm cực tiểu nằm trên trục $Ox$ hoặc điểm cực đại nằm dưới trục $Ox$, hay:

$\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{y_{CT}} = {\rm{\;}} - 3 + m \ge 0}\\{{y_{CD}} = 1 + m \le 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ge 3}\\{m \le {\rm{\;}} - 1}\end{array}} \right.$

Hàm số đạt cực đại tại $x = 0$, giá trị cực đại bằng $3$.

Quan sát bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại điểm $x = 2$ và giá trị cực đại của hàm số y_CĐ = 5.

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số đã cho đạt cực tiểu tại $x = 3$.

Ta có $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2\,\,\xrightarrow{{}}\,\,{y}'=3{{x}^{2}}-6x;\,\,{y}'=0\Leftrightarrow \left[\begin{align}  x=0\,\,\Rightarrow y\left( 0 \right)=2 \\  x=2\,\,\Rightarrow \,\,y\left( 2 \right)=-\,2 \\\end{align} \right..$

Suy ra điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là $M\left( 2;-\,2 \right).$

Vậy $d\left( M;\left( Oy \right) \right)=2.$

$f'\left( x \right) = x{\left( {x + 1} \right)^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,\left( {boi\,\,1} \right)\\x =  - 1\,\,\left( {boi\,\,2} \right)\end{array} \right..$

Vậy hàm số đã cho có 1 điểm cực trị.

Ta có tại điểm cực tiểu $x = 0$, hàm số có giá trị $y = 1$

Do $y'$  đổi dấu 4 lần nên hàm số có 4 điểm cực trị.

Ta có: $y' = \left( {8x + 4} \right)f'\left( {4{x^2} + 4x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{1}{2}\\f'\left( {4{x^2} + 4x} \right) = 0\end{array} \right.$.

$f'\left( {4{x^2} + 4x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4{x^2} + 4x = {x_1}\,\,\left( {{x_1} <  - 1} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\4{x^2} + 4x = {x_2}\,\,\left( { - 1 < {x_2} < 0} \right)\,\,\left( 2 \right)\\4{x^2} + 4x = {x_3}\,\,\left( {0 < {x_3} < 1} \right)\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\\4{x^2} + 4x = {x_4}\,\,\left( {1 < {x_4}} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)\end{array} \right.$

Xét phương trình $4{x^2} + 4x = {x_i} \Leftrightarrow 4{x^2} + 4x - {x_i} = 0\,\,\left( * \right)$ ta có: $\Delta ' = 4 + 4{x_i}$.

+) $\Delta ' < 0 \Leftrightarrow 4 + 4{x_i} < 0 \Leftrightarrow {x_i} <  - 1 \Rightarrow$ Phương trình vô nghiệm.

+) $\Delta ' = 0 \Leftrightarrow {x_i} =  - 1 \Rightarrow$ Phương trình có nghiệm kép $x =  - \dfrac{1}{2}$.

+) $\Delta ' > 0 \Leftrightarrow {x_i} >  - 1 \Rightarrow$ Phương trình có 2 nghiệm phân biệt $x \ne  - \dfrac{1}{2}$.

Do đó:

Phương trình (1) vô nghiệm.

Phương trình (2, (3), (4) có 2 nghiệm phân biệt $x \ne  - \dfrac{1}{2}$.

Vậy phương trình $y' = 0$ có 7 nghiệm đơn phân biệt hay hàm số $y = f\left( {4{x^2} + 4x} \right)$ có 7 cực trị.

Từ bảng xét dấu, ta có: số điểm cực trị của hàm số đã cho là 4 .

Ta có $f'\left( x \right)$ đổi dấu qua $x =  - 2;\,\,x =  - 1;\,\,x = 2;\,\,x = 4$ nên hàm số có $4$ điểm cực trị.

Ta có $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right){\left( {x + 2} \right)^3} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x =  - 2\end{array} \right.$ và các nghiệm này đều là nghiệm bội bậc lẻ nên hàm số đã cho có ba điểm cực trị.

Vì hàm số $f\left( x \right) = {x^2}\left( {x - 1} \right){e^{3x}}$ có một nguyên hàm là hàm số $F\left( x \right)$ nên $F'\left( x \right) = f\left( x \right) = {x^2}\left( {x - 1} \right){e^{3x}}$

Xét $F'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2}\left( {x - 1} \right){e^{3x}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.$

Bảng biến thiên của hàm $F\left( x \right).$

Vậy hàm số có 1 điểm cực trị.