Cho hàm bậc bốn $y = f\left( x \right)$. Hàm số $y = f'\left( x \right)$ có đồ thị như hình bên. Số điểm cực đại của hàm số $f\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 2} } \right)$ là

Quan sát đồ thị hàm số $y = f'\left( x \right)$ ta thấy $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = 1\\x = 3\end{array} \right.$

Đặt $g\left( x \right) = f\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 2} } \right) \Rightarrow g'\left( x \right) = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 2x + 2} }}f'\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 2} } \right)$

\(\begin{array}{*{20}{l}}{g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 1 = 0}\\{f'\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 2} } \right) = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 1}\\{\sqrt {{x^2} + 2x + 2}  =  - 1{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {vn} \right)}\\{\sqrt {{x^2} + 2x + 2}  = 1{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 1 \right)}\\{\sqrt {{x^2} + 2x + 2}  = 3{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 2 \right)}\end{array}} \right.}\\{\left( 1 \right) \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 2 = 1 \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow {{\left( {x + 1} \right)}^2} = 0 \Leftrightarrow x =  - 1}\\{\left( 2 \right) \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 2 = 9 \Leftrightarrow x =  - 1 \pm 2\sqrt 2 }\end{array}\)

Nghiệm của phương trình (1) là nghiệm bội 2 nên không là cực trị của hàm số $y = g\left( x \right) = f\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 2} } \right)$. Lập BBT của hàm số $y = g\left( x \right)$:

Dựa vào BBT ta thấy hàm số $y = g\left( x \right)$ đạt cực đại tại $x =  - 1$.