Đề mẫu ĐGNL HN 2021

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {x^3} - \dfrac{{29}}{8}{x^2} + \dfrac{9}{4}x + \dfrac{3}{8}\), \(\forall x\, \in \,\mathbb{R}\). Gọi \(S\) là tập hợp các điểm cực tiểu của hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {2x + 1} \right) - {x^3}.\) Tổng giá trị các phần tử của \(S\) bằng

Bước 1:

Ta có

\(\begin{array}{l}g'\left( x \right) = 2f'\left( {2x + 1} \right) - 3{x^2}\\ = 2\left[ {{{\left( {2x + 1} \right)}^3} - \dfrac{{29}}{8}{{\left( {2x + 1} \right)}^2} + \dfrac{9}{4}\left( {2x + 1} \right) + \dfrac{3}{8}} \right] - 3{x^2}\\ = 2\left( {8{x^3} + 12{x^2} + 6x + 1 - \dfrac{{29}}{8}\left( {4{x^2} + 4x + 1} \right) + \dfrac{9}{4}\left( {2x + 1} \right) + \dfrac{3}{8}} \right) - 3{x^2}\\ = 16{x^3} + 24{x^2} + 12x + 2 - 29{x^2} - 29x - \dfrac{{29}}{4} + 9x + \dfrac{9}{2} + \dfrac{3}{4} - 3{x^2}\\ = 16{x^3} - 8{x^2} - 8x\end{array}\)

\( \Rightarrow g''\left( x \right) = 48{x^2} - 16x - 8\).

Bước 2:

Xét hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}g'\left( x \right) = 0\\g''\left( x \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}16{x^3} - 8{x^2} - 8x = 0\\48{x^2} - 16x - 8 > 0\,\,\left( {luon\,\,dung} \right)\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x =  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow S = \left\{ {0;1; - \dfrac{1}{2}} \right\}\). Vậy tổng các phần tử của \(S\) là \(0 + 1 + \left( { - \dfrac{1}{2}} \right) = \dfrac{1}{2}\).