Cực trị của hàm số

Hàm số đạt cực tiểu tại $x =  - 1$, giá trị cực tiểu bằng $- 3$.

Ta có tại $x =  - 1$ hàm số đạt cực đại và giá trị $f\left( x \right) = 3$.

Bước 1: Tìm nghiệm của phương trình y’=0

Từ đồ thị hàm số ta có $f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 2}\\{x = 1}\end{array}} \right.$.

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{{x^2} - 3 =  - 2}\\{{x^2} - 3 = 1{\text{ (nghiệm kép) }}}\end{array}} \right.$$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x =  \pm 1}\\{x =  \pm 2{\text{ (nghiệm kép) }}}\end{array}} \right.$

Bước 2: Lập bảng biến thiên và tìm số cực trị

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có 3 điểm cực trị.

$f'(x)$ đổi dấu tại $x =  - 1,\,\,x = 0,\,\,x = 1$ nên hàm số đã cho có 3 điểm cực trị $x =  - 1,\,\,x = 0,\,\,x = 1$.

Điều kiện: ${x^3} - 3x > 0 \Leftrightarrow x\left( {{x^2} - 3} \right) > 0 \Leftrightarrow x\left( {x - \sqrt 3 } \right)\left( {x + \sqrt 3 } \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - \sqrt 3  < x < 0\\x > \sqrt 3 \end{array} \right..$

Ta có: $y' = e\left( {3{x^2} - 3} \right){\left( {{x^3} - 3x} \right)^{e - 1}}.$

$\Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left( {3{x^2} - 3} \right){\left( {{x^3} - 3x} \right)^{e - 1}} = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = 1\end{array} \right.$

Ta có bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu của hàm số ta thấy đạo hàm của hàm số chỉ đổi dấu qua 1 điểm $x =  - 1 \Rightarrow$ hàm số có 1 điểm cực trị.

Ta có: $f'\left( x \right) = 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {{x^2} + x} \right){\left( {x - 2} \right)^2}\left( {{2^x} - 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x + 1} \right){\left( {x - 2} \right)^2}\left( {{2^x} - {2^2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x + 1 = 0\\x - 2 = 0\\{2^x} - {2^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  - 1\\x = 2\\x = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,\,\,\,\left( {bội\,\,1} \right)\\x =  - 1\,\,\,\,\,\left( {bội\,\,1} \right)\\x = 2\,\,\,\,\,\left( {bội\,\,\,3} \right)\end{array} \right..\end{array}$

Ta thầy phương trình $f'\left( x \right) = 0$ có 3 nghiệm phân biệt và các nghiệm này đều là nghiệm bội lẻ nên hàm số $y = f\left( x \right)$ có 3 điểm cực trị.

Từ BBT ta thấy hàm số đồng biến trên $\left( { - \infty ; - 1} \right);\left( { - 1;1} \right)$ nên B sai vì trên khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$ thì hàm số gián đoạn tại $x =  - 1.$

Hàm số nghịch biến trên $\left( {1; + \infty } \right)$ nên C đúng. Dễ thấy A đúng.

Lại có $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} x =  - \infty$ nên $x =  - 1$ là TCĐ của đồ thị hàm số

Và $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = 1;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  - 1$ nên $y = 1;y =  - 1$ là hai tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số có ba tiệm cận nên D đúng.

TXĐ : $D = \mathbb{R}$

Ta có  $y = \sin x - {\cos ^2}x$

$y' = \left( {\sin x - {{\cos }^2}x} \right)'$ $= \left( {\sin x} \right)' - \left( {{{\cos }^2}x} \right)'$ $= \cos x - 2\cos x\left( {\cos x} \right)'$ $= \cos x - 2\cos x\left( { - \sin x} \right)$ $= \cos x + 2\sin x\cos x$

Suy ra $y'  = 0$ $\Leftrightarrow \cos x\left( {1 + 2\sin x} \right) = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\\sin x =  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =   \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\x =  - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.$

Mà $x \in \left[ {0;2\pi } \right] \Rightarrow x = \dfrac{\pi }{2};x = \dfrac{{3\pi }}{2};x = \dfrac{{7\pi }}{6};x = \dfrac{{11\pi }}{6}$

Có $y' = \cos x + \sin 2x \Rightarrow y'' =  - \sin x + 2\cos 2x$.

$y''\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) =  - 1 + 2\cos \pi  =  - 3 < 0$ nên $x = \dfrac{\pi }{2}$ là điểm CĐ.

$y''\left( {\dfrac{{3\pi }}{2}} \right) =  - \sin \dfrac{{3\pi }}{2} + 2\cos 3\pi  = 1 - 2 =  - 1 < 0$ nên $x = \dfrac{{3\pi }}{2}$ là điểm CĐ.

$y''\left( {\dfrac{{7\pi }}{6}} \right) =  - \sin \dfrac{{7\pi }}{6} + 2\cos \dfrac{{7\pi }}{3} = \dfrac{1}{2} + 1 = \dfrac{3}{2} > 0$ nên $x = \dfrac{{7\pi }}{6}$ là điểm CT.

$y''\left( {\dfrac{{11\pi }}{6}} \right) =  - \sin \dfrac{{11\pi }}{6} + 2\cos \dfrac{{11\pi }}{3} = \dfrac{1}{2} + 1 = \dfrac{3}{2} > 0$ nên $x = \dfrac{{11\pi }}{6}$ là điểm CT.

Vậy hàm số đã cho có $4$ điểm cực trị.

Ta có: $f'\left( x \right)$ đổi dấu $4$ lần nên hàm số có $4$ điểm cực trị.

TXĐ: $D = \mathbb{R}$.

Ta có: $y' = 3{x^2} - 12,\,\,\,\,y'' = 6x$.

Xét hệ $\left\{ \begin{array}{l}y' = 0\\y'' < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{x^2} - 12 = 0\\6x < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  \pm 2\\x < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x =  - 2$.

Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm $x =  - 2.$

Hàm số có một điểm cực đại là ${x_1}$, một điểm cực tiểu là ${x_0}$.

Ta có:

$\begin{array}{l}g\left( x \right) = f\left( { - {x^2} + x} \right)\\ \Rightarrow g'\left( x \right) = \left( { - 2x + 1} \right)f'\left( { - {x^2} + x} \right)\\g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2}\\f'\left( { - {x^2} + x} \right) = 0\end{array} \right.\end{array}$

Dựa vào đồ thị hàm số $y = f'\left( x \right)$ ta có $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.$.

$\Rightarrow f'\left( { - {x^2} + x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - {x^2} + x = 0\\ - {x^2} + x = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.$.

Suy ra phương trình $g'\left( x \right) = 0$ có 3 nghiệm đơn phân biệt $x = \dfrac{1}{2},\,\,x = 0,\,\,x = 1$.

Chọn $x = 2$ ta có $g'\left( 2 \right) =  - 3f'\left( { - 2} \right) < 0$, qua các nghiệm $x = \dfrac{1}{2},\,\,x = 0,\,\,x = 1$ thì $g'\left( x \right)$ đổi dấu.

BBT:

Dựa vào BBT ta thấy hàm số $y = g\left( x \right)$ có 2 điểm cực đại $x = 0,\,\,x = 1$.

Ta có: $g\left( x \right) = f\left( {{x^3} + x} \right)$ $\Rightarrow g'\left( x \right) = \left( {3{x^2} + 1} \right)f'\left( {{x^3} + x} \right)$.

$g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {3{x^2} + 1} \right)f'\left( {{x^3} + x} \right) = 0$ $\Leftrightarrow f'\left( {{x^3} + x} \right) = 0$.

Dựa vào đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ ta thấy hàm số có hai điểm cực trị $x = 0,\,\,x = 2$.

Do đó $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^3} + x = 0\\{x^3} + x = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.$.

Chọn $x = 2$ ta có $g'\left( 2 \right) = 13f'\left( {10} \right) < 0$, các nghiệm $x = 0,\,\,\,x = 1$ là các nghiệm đơn nên qua các nghiệm này $g'\left( x \right)$ đổi dấu.

BBT:

Dựa vào BBT ta thấy điểm cực tiểu của hàm số $y = g\left( x \right)$ là ${x_0} = 0 \in \left( { - 1;1} \right)$.

Ta có: $f'\left( x \right) = \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f'\left( x \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 1 = 0\\{x^2} - 3x + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - 1\\x = 1\\x = 2\end{array} \right.\end{array}$

Ta thấy $x = 1$ là nghiệm bội 2 của phương trình $f'\left( x \right) = 0 \Rightarrow x = 1$ không là cực trị của hàm số $y = f\left( x \right)$

Vậy hàm số $y = f\left( x \right)$ có hai điểm cực trị là $x =  - 1$ và $x = 2.$

Dựa vào BBT ta thấy hàm số có điểm cực đại là $x = 0$ và giá trị cực đại là: ${y_{CD}} = y\left( 0 \right) = 2.$

Dựa vào BBT ta thấy hàm số $y = f\left( x \right)$ đạt cực đại tại điểm $x =  - 2$.

TXĐ: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}$.

Ta có $y = \dfrac{{5x - 1}}{{x + 2}} \Rightarrow y' = \dfrac{{11}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} > 0\,\,\forall x \in D$.

Do đó hàm số đồng biến trên khoảng xác định và không có điểm cực trị nào.

Ta có:

$\begin{array}{l}g'\left( x \right) = 3{f^2}\left( x \right).f'\left( x \right) - 3f'\left( x \right)\\g'\left( x \right) = 0\\ \Leftrightarrow 3{f^2}\left( x \right).f'\left( x \right) - 3f'\left( x \right) = 0\\ \Leftrightarrow 3f'\left( x \right).\left[ {{f^2}\left( x \right) - 1} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f'\left( x \right) = 0\\f\left( x \right) = 1\\f\left( x \right) =  - 1\end{array} \right.\end{array}$

Dựa vào BBT ta thấy:

$f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 2\\x = 0\\x = 1\end{array} \right.$, qua các nghiệm này $f'\left( x \right)$ đều đổi dấu.

$f\left( x \right) = 1$ có 4 nghiệm phân biệt: $\left[ \begin{array}{l}x = {x_1} \in \left( { - \infty ; - 2} \right)\\x = {x_2} \in \left( { - 2;0} \right)\\x = {x_3} \in \left( {0;1} \right)\\x = {x_4} \in \left( {1; + \infty } \right)\end{array} \right.$.

$f\left( x \right) =  - 1$ có 3 nghiệm phân biệt $\left[ \begin{array}{l}x = {x_5} \in \left( { - \infty ; - 2} \right),\,\,{x_5} > {x_1}\\x = {x_6} \in \left( { - 2;0} \right),\,\,{x_6} < {x_2}\\x = 1\end{array} \right.$, trong đó

$x = 1$ là nghiệm kép.

Suy hàm số $g\left( x \right)$ có 3 + 4 + 2 = 9 điểm cực trị.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } g\left( x \right) =  + \infty$ nên số cực tiểu nhiều hơn số cực đại 1 điểm.

Vậy hàm số đã cho có 5 điểm cực tiểu.

TXĐ: $D = \mathbb{R}$.

Ta có: $y' = {x^2} - 8x - 1$

Lấy $y$ chia cho $y'$ ta có: $y = \left( {\dfrac{1}{3}x - \dfrac{4}{3}} \right).y' - \dfrac{{34}}{3}x + \dfrac{8}{3}$

Ta có: $A\left( {{x_1};{y_1}} \right),\,B\left( {{x_2};{y_2}} \right)$ là hai điểm cực trị $y'\left( {{x_1}} \right) = y'\left( {{x_2}} \right) = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y_1} =  - \dfrac{{34}}{3}{x_1} + \dfrac{8}{3}\\{y_2} =  - \dfrac{{34}}{3}{x_2} + \dfrac{8}{3}\end{array} \right.$

Khi đó ta có: $P = \dfrac{{{y_1} - {y_2}}}{{{x_1} - {x_2}}} = \dfrac{{ - \dfrac{{34}}{3}{x_1} + \dfrac{8}{3} + \dfrac{{34}}{3}{x_2} - \dfrac{8}{3}}}{{{x_1} - {x_2}}}$$= \dfrac{{ - \dfrac{{34}}{3}\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}}{{{x_1} - {x_2}}} =  - \dfrac{{34}}{3}$

Ta có:

$\begin{array}{l}y' = \left( {2x + 4} \right)f'\left( {{x^2} + 4x} \right) - 2x - 4\\ = \left( {2x + 4} \right)\left[ {f'\left( {{x^2} + 4x} \right) - 1} \right]\\y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + 4 = 0\\f'\left( {{x^2} + 4x} \right) - 1 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + 4 = 0\\f'\left( {{x^2} + 4x} \right) = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + 4 = 0\\{x^2} + 4x =  - 4\\{x^2} + 4x = 0\\{x^2} + 4x = t \in \left( {1;5} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 2 \in \left( { - 5;1} \right)\,\,\left( {\text{bội }\,\,3} \right)\\x = 0 \in \left( { - 5;1} \right)\\x =  - 4 \in \left( { - 5;1} \right)\\x =  - 2 \pm \sqrt {4 + t} \end{array} \right.\end{array}$

Xét ${x_1} =  - 2 - \sqrt {4 + t}$, với $1 < t < 5$ thì $- 5 <  - 2 - \sqrt {4 + t}  <  - 2 - \sqrt 5  < 1$ $\Rightarrow  - 5 < {x_1} < 1$

Xét ${x_2} =  - 2 + \sqrt {4 + t}$, với $1 < t < 5$ thì $- 5 <  - 2 + \sqrt 5  <  - 2 + \sqrt {4 + t}  < 1$ $\Rightarrow  - 5 < {x_2} < 1$

Do đó phương trình $y' = 0$ có $5$ nghiệm phân biệt thuộc $\left( { - 5;1} \right)$ và các nghiệm này đều là nghiệm bội lẻ nên đạo hàm $y'$ đổi dấu qua chúng.

Vậy hàm số có $5$ điểm cực trị trong khoảng $\left( { - 5;1} \right)$