Cực trị của hàm số

Dựa vào bảng xét dấu ta thấy \(f'\left( x \right)\) đổi dấu qua \(x =  - 1,\,\,\,x = 0\) và \(x = 2\) nên hàm số có 3 điểm cực trị.

Hàm số \(f\left( x \right)\) đạt cực tiểu tại điểm \(x = 1\).

Dựa vào BBT, ta thấy hàm số đạt cực đại tại \(x =  - 1\) và \(x = 2.\)

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1.\)

Tại \(x = 0,\) \(f'\left( x \right)\) không đổi dấu nên \(x = 0\) không là cực trị của hàm số.

Dựa vào BBT ta thấy hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {0;\,2} \right)\) và nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;\,\,0} \right),\,\,\left( {2; + \infty } \right).\)

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có hai điểm cực trị là: \(x = 0,\,\,x = 2.\)

Xét hàm số \(y = f\left( {x - 2019} \right) + 2020\) ta có:

\(\begin{array}{l}y' = f'\left( {x - 2019} \right) \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow f'\left( {x - 2019} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2019 = 0\\x - 2019 = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2019\\x = 2021\end{array} \right.\end{array}\)

Ta có bảng xét dấu:

\( \Rightarrow \) Hàm số \(y = f\left( {x - 2019} \right) + 2020\) có hai điểm cực trị là \(x = 2019,\,\,\,x = 2020\)

\( \Rightarrow 2019 + 2021 = 4040.\)

Xét hàm số \(y = \left( {x - 1} \right){\left( {x - 2} \right)^2} = {x^3} - 5{x^2} + 8x - 4\).

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

Ta có \(y' = 3{x^2} - 10x + 8\).

\(y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 10x + 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = \dfrac{4}{3}\end{array} \right.\)

BBT:

Từ BBT của đồ thị hàm số \(y = \left( {x - 1} \right){\left( {x - 2} \right)^2}\) ta suy ra BBT của đồ thị hàm số \(y = \left| {\left( {x - 1} \right){{\left( {x - 2} \right)}^2}} \right|\) như sau:

Từ BBT ta thấy hàm số \(y = \left| {\left( {x - 1} \right){{\left( {x - 2} \right)}^2}} \right|\) có 3 điểm cực trị.

Dựa vào BBT ta thấy hàm số đã cho đạt cực đại tại \(x =  - 1\) và giá trị cực đại là \({y_{CD}} = 2.\)

Ta có: \(g'\left( x \right) = \left( {3{x^2} - 6x} \right)f'\left( {{x^3} - 3{x^2}} \right)\).

Khi đó \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\\f'\left( {{x^3} - 3{x^2}} \right) = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,\,\,\left( {\text{bội  }\,\,3} \right)\\x = 2\\x = 3\\{x^3} - 3{x^2} = {x_1} \in \left( { - 3;0} \right)\,\,\,\left( 1 \right)\\{x^3} - 3{x^2} = {x_2} \in \left( {0;3} \right)\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\).

Xét hàm số \(h\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2}\) ta có \(h'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\).

BBT:

Dựa vào BBT ta thấy:

- Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt.

- Phương trình (2) có 1 nghiệm.

Suy ra phương trình \(g'\left( x \right) = 0\) có tất cả 7 nghiệm bội lẻ.

Vậy hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^3} - 3{x^2}} \right)\) có 7 điểm cực trị.

Ta có: \(g'\left( x \right) = \left( {3{x^2} + 6x} \right)f'\left( {{x^3} + 3{x^2}} \right)\).

Cho \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3{x^2} + 6x = 0\\f'\left( {{x^3} + 3{x^2}} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  - 2\\f'\left( {{x^3} + 3{x^2}} \right) = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\)

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy phương trình (*) tương đương với: \(\left[ \begin{array}{l}{x^3} + 3{x^2} = a < 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{x^3} + 3{x^2} = b \in \left( {0;4} \right)\,\,\,\left( 2 \right)\\{x^3} + 3{x^2} = c < 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.\)

Xét hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2}\) ta có: \(y' = 3{x^2} + 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  - 2\end{array} \right.\).

BBT:

Dựa vào BBT ta thấy:

+ Phương trình (1) có 1 nghiệm khác \(0; - 2.\)

+ Phương trình (2) có 3 nghiệm phân biệt khác \(0; - 2.\)

+ Phương trình (3) có 1 nghiệm khác \(0; - 2.\)

Do đó phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) có 7 nghiệm đơn phân biệt.

Vậy hàm số \(y = g\left( x \right)\) có 7 cực trị.

Đặt \(y = g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 1} \right)\).

Ta có : \(g'\left( x \right) = \left( {{x^2} - 1} \right)'.f'\left( {{x^2} - 1} \right) = 2x.f'\left( {{x^2} - 1} \right)\)

Cho \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\f'\left( {{x^2} - 1} \right) = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} - 1 =  - 1\\{x^2} - 1 = 1\\{x^2} - 1 = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  \pm \sqrt 2 \\x =  \pm \sqrt 5 \end{array} \right.\)

(Tất cả các nghiệm trên đều là nghiệm bội lẻ).

Bảng xét dấu \(g'\left( x \right)\):

Vậy, hàm số \(y = f\left( {{x^2} - 1} \right)\) có tất cả 5 điểm cực trị.

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x = 2\).

Dựa vào BBT ta thấy, \(f'\left( x \right)\) đổi dấu từ dương sang âm hai lần

\( \Rightarrow \) Hàm số có hai điểm cực đại.

Xét đáp án A ta có \(y' = 3{x^2} + 3 > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow \) Hàm số không có cực trị.

Nếu ${x_0}$ là điểm cực đại của hàm số thì $\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)$ là điểm cực đại của đồ thị hàm số.

+) Ta có định lí: Nếu $f'\left( x \right)$ đổi dấu từ dương sang âm khi $x$ qua điểm ${x_o}$ (theo chiều tăng) thì hàm số đạt cực đại tại điểm ${x_o}$ $ \Rightarrow $ 1 đúng.

+) Điều kiện cần để ${x_o}$ là điểm cực trị của hàm số là: ${x_o}$ là nghiệm của phương trình $f'\left( x \right) = 0$$ \Rightarrow $ 2 sai.

+) Nếu $f'\left( {{x_o}} \right) = 0$ và $f\left( x \right)$ có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm ${x_o}$ thì:

-) Nếu $f''\left( {{x_o}} \right) < 0$ thì hàm số $f\left( x \right)$ đạt cực đại tại điểm ${x_o}$.

-) Nếu $f''\left( {{x_o}} \right) > 0$ thì hàm số $f\left( x \right)$ đạt cực tiểu tại điểm ${x_o}$.

+) Nếu $f'\left( {{x_o}} \right) = 0$ và $f''\left( {{x_o}} \right) = 0$ thì ta không kết luận gì chứ không phải hàm số không đạt cực trị tại ${x_0}$.

Khi \(\left\{ \begin{array}{l}f'\left( {{x_0}} \right) = 0\\f''\left( {{x_0}} \right) = 0\end{array} \right.\) thì ta không kết luận gì vì có thể xảy ra cả hai trường hợp là hàm số đạt cực trị hoặc không đạt cực trị tại \({x_0}\).

Ví dụ:

+) TH1: Xét hàm \(f\left( x \right) = {x^4}\) có \(f'\left( x \right) = 4{x^3} = 0 \Leftrightarrow x = 0\)

\(f''\left( x \right) = 12{x^2}\) và \(f''\left( 0 \right) = 0\).

Trong TH này hàm số có \(f''\left( 0 \right) = 0\) nhưng vẫn đạt cực tiểu tại \(x = 0\) vì đạo hàm \(f'\left( x \right)\) đổi dấu từ âm sang dương qua \(x = 0\).

+) TH2: Xét hàm \(g\left( x \right) = {x^3}\) có \(f'\left( x \right) = 3{x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 0\)

\(f''\left( x \right) = 6x \Rightarrow f''\left( 0 \right) = 0\)

Trong TH này hàm số có \(f''\left( 0 \right) = 0\) nhưng không đạt cực trị tại \(x = 0\) vì đạo hàm \(f'\left( x \right) = 3{x^2}\) không đổi dấu của \(x = 0\).

$ \Rightarrow $ 3 và 4 sai.

Điều kiện để hàm số bậc ba không có cực trị là phương trình $y' = 0$ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép.

Hàm số bậc ba chỉ có thể có $2$ cực trị hoặc không có cực trị nào nên nếu nó có cực đại thì chắc chắn sẽ có cực tiểu và ngược lại nên A, B sai.

Không phải lúc nào hàm bậc ba cũng có $2$ cực trị, vẫn có trường hợp không có cực trị nên D sai.

TXĐ: $D = R\backslash \left\{ 2 \right\}$

Dễ thấy $y' =  \dfrac{1}{{{{\left( {2 - x} \right)}^2}}} > 0$   $\forall x \in D$

$ \Rightarrow $ Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( -\infty ;2 \right)$ và $\left( 2;+\infty  \right)$

$ \Rightarrow $ Hàm số không có cực trị.

Cách 1:

$y' = 3{x^2} - 6x$ ;

$y' = 0 \Leftrightarrow 3x\left( {x - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}x = 0 \Rightarrow y = 1 \hfill \\x = 2 \Rightarrow y =  - 3 \hfill \\ \end{gathered}  \right.$

Từ đây suy ra hai điểm cực trị có tọa độ $A\left( {0,1} \right)$ và $B\left( {2, - 3} \right).$

Phương trình  đường thẳng qua hai điểm $A, B$ là: $\dfrac{{x - 0}}{{2 - 0}} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 3 - 1}}$ $\Leftrightarrow  - 4x = 2\left( {y - 1} \right) \Leftrightarrow y =  - 2x + 1.$

Cách 2:

Ta có $y' = 3{x^2} - 6x$

Khi đó ${x^3} - 3{x^2} + 1 $ $= \left( {3{x^2} - 6x} \right)\left( {\dfrac{1}{3}x - \dfrac{1}{3}} \right) - 2x + 1$

Vậy đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là $y =  - 2x + 1$

Cách 3:

Bước 1:

$y'=3x^2-6x$; $y''=6x-6$

Bước 2:

Bước 3: Ta được a=1 và b=-2

Vậy đường thẳng là: $y=-2x+1$

Đáp án A: $y' = 3{x^2} \ge 0 $ với mọi \(x\) nên hàm số đồng biến trên \(R\). Do đó nó không có cực trị.

Vậy hàm số $y = {x^3}$ không có cực trị.

Đáp án B: $y' = 3{x^2} + 6x = 3x\left( {x + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}x = 0 \hfill\\x =  - 2 \hfill \\ \end{gathered}  \right.$ $y'' = 6x + 6 \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} y''\left( 0\right) = 6 > 0 \hfill \\ y''\left( { - 2} \right) =  - 6 < 0 \hfill \\ \end{gathered}  \right.$, do đó $x = 0$ là điểm cực tiểu của hàm số, $x =  - 2$ là điểm cực đại của hàm số.

Đáp án C: $y' = 4{x^3} = 0 \Leftrightarrow x = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} y' > 0,\forall x > 0\hfill \\ y' < 0,\forall x < 0 \hfill \\ \end{gathered}  \right. \Rightarrow x = 0$ là điểm cực tiểu của hàm số.

Đáp án D: $y' = 4{x^3} = 0 \Leftrightarrow x = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}y' > 0,\forall x > 0 \hfill \\ y' < 0,\forall x < 0 \hfill \\ \end{gathered}  \right. \Rightarrow x = 0$ là điểm cực tiểu của hàm số.

Ta có: $f\left( x \right) = 2\sin 2x - 3$

TXĐ: $D = R.$

$f'\left( x \right) = 4\cos 2x$, $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = 0 \Leftrightarrow 2x =\dfrac{\pi }{2} + k\pi  $ $\Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2}$, $k \in Z$

$f''\left( x \right) =  - 8\sin 2x$

Ta có: $f''\left( {\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2}} \right) =  - 8\sin \left( {\dfrac{\pi }{2} + k\pi } \right) $  ,  $k \in Z$

Khi $k=2n$ thì \(\sin \left( {\dfrac{\pi }{2} + 2n\pi } \right) = \sin \dfrac{\pi }{2} = 1\) nên \(f''\left( {\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{2n\pi }}{2}} \right) =  - 8 < 0\)

Khi $k=2n+1$ thì \(\sin \left( {\dfrac{\pi }{2} + \left( {2n + 1} \right)\pi } \right) = \sin \dfrac{{3\pi }}{2} =  - 1\) nên \(f''\left( {\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{\left( {2n + 1} \right)\pi }}{2}} \right) = 8 > 0\)

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại $x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{\left( {2k + 1}\right)\pi }{2} $