Một số bài toán về hàm phân thức có tham số

Phương trình tiếp tuyến tại điểm x = a là :
$y=\dfrac{3}{{{\left( a+1 \right)}^{2}}}\left( x-a \right)+\dfrac{a-2}{a+1}$ ( d )
Đường thẳng d cắt các tiệm cận tại : $A\left( -1;\dfrac{{{a}^{2}}-4a-5}{{{\left( a+1 \right)}^{2}}} \right);B\left( 2a+1;1 \right)$
Suy ra:
$\begin{align} & AI=\left| \dfrac{6}{a+1} \right|;BI=|2a+2| \\ & =>AI.BI=12,\forall a \\\end{align}$
Áp dụng công thức ở phần phương pháp ta có :
$r=\dfrac{AI.BI}{AI+BI+\sqrt{A{{I}^{2}}+B{{I}^{2}}}}\le \dfrac{12}{2\sqrt{AI.BI}+\sqrt{2AI.BI}}=\dfrac{\sqrt{6}}{1+\sqrt{2}}$
Dấu bằng xảy ra khi AI=BI , suy ra tam giác ABI vuông cân , suy ra khoảng cách từ I tới d bằng $\sqrt{6}$

TXĐ: $D=R\backslash \left\{ 3 \right\}$

Đồ thị hàm số có đường TCN $y=4\,\,\left( {{d}_{1}} \right)$ và TCĐ $x=3\,\,\left( {{d}_{2}} \right)$.

Gọi điểm $M\in \left( C \right)$ có dạng $M\left( a;\dfrac{4a-3}{a-3} \right)$ khi đó ta có:

$\begin{align}d\left( M;{{d}_{2}} \right)=\left| a-3 \right|;\,\,d\left( M;{{d}_{1}} \right)=\left| \dfrac{4a-3}{a-3}-4 \right|=\dfrac{9}{\left| a-3 \right|} \\\Rightarrow d\left( M;{{d}_{2}} \right)+d\left( M;{{d}_{1}} \right)=\left| a-3 \right|+\dfrac{9}{\left| a-3 \right|}\ge 2\sqrt{9}=3 \\\end{align}$

Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow \left| a-3 \right|=\dfrac{9}{\left| a-3 \right|}\Leftrightarrow {{\left( a-3 \right)}^{2}}=9\Leftrightarrow \left[ \begin{align}a=6 \\a=0 \\\end{align} \right.$

$\Rightarrow M\left( 6;7 \right),\,\,N\left( 0;1 \right)\Rightarrow MN=\sqrt{{{6}^{2}}+{{6}^{2}}}=6\sqrt{2}$

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang $y = a$. Theo hình vẽ, ta có: $a > 0.$

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm $A\left( { - \dfrac{b}{a};0} \right)$

Theo hình vẽ, ta có: $- \dfrac{b}{a} <  - 1 \Leftrightarrow \dfrac{b}{a} > 1 \Rightarrow \dfrac{{b - a}}{a} > 0$.

Mà $a > 0 \Rightarrow b - a > 0 \Leftrightarrow b > a$

Vậy $b > a > 0$.

Điểm $M\left( a;b \right)\in \left( H \right)\Rightarrow M\left( a;\dfrac{2a+1}{a+2} \right)$

$\Rightarrow$$d\left( M;\left( d \right) \right)=\dfrac{\left| 3a-\dfrac{2a+1}{a+2}+6 \right|}{\sqrt{10}}$ $=\dfrac{1}{\sqrt{10}}.\left| \dfrac{3{{a}^{2}}+10a+11}{a+2} \right|.$

Xét hàm số $f\left( a \right)=\dfrac{3{{a}^{2}}+10a+11}{a+2}$ với $a\ne -\,2,$ có ${f}'\left( a \right)=\dfrac{3\left( {{a}^{2}}+4a+3 \right)}{{{\left( a+2 \right)}^{2}}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & a=-\,1 \\ & a=-\,3 \\\end{align} \right..$

Tính các giá trị $f\left( -1 \right)=4;\,\,f\left( -\,3 \right)=-\,8$ và $\mathop {\lim }\limits_{x{\kern 1pt} \to - 2} f\left( a \right) = \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( a \right) = \infty$

Suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số $\left| f\left( a \right) \right|$ bằng $4\,\,\Leftrightarrow \,\,a=-\,1.$

Vậy $\left\{ \begin{align}  & a=-\,1 \\ & b=-\,1 \\\end{align} \right.\Rightarrow a+b=-\,2.$

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang $y=1\,\,\left( {{d}_{1}} \right)$ và tiệm cận đứng $x=1\,\,\left( {{d}_{2}} \right)$.

Gọi $A={{d}_{1}}\cap {{d}_{2}}\Rightarrow A\left( 1;1 \right)$

$y'=\dfrac{1.\left( -1 \right)-1.1}{{{\left( -1+x \right)}^{2}}}=-\dfrac{2}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}$

Gọi $M\left( {{x}_{0}};\dfrac{{{x}_{0}}+1}{{{x}_{0}}-1} \right)\in \left( C \right)$ ta có tiếp tuyến tại M của đồ thị hàm số là $y=-\dfrac{2}{{{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}}\left( x-{{x}_{0}} \right)+\dfrac{{{x}_{0}}+1}{{{x}_{0}}-1}\,\,\,\left( d \right)$

Cho $x  = 1$ $\Rightarrow y=-\dfrac{2}{{{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}}\left( 1-{{x}_{0}} \right)+\dfrac{{{x}_{0}}+1}{{{x}_{0}}-1}$ $=\dfrac{2}{{{x}_{0}}-1}+\dfrac{{{x}_{0}}+1}{{{x}_{0}}-1}=\dfrac{{{x}_{0}}+3}{{{x}_{0}}-1}$

Gọi $B=d\cap {{d}_{2}}\Rightarrow B\left( 1;\dfrac{{{x}_{0}}+3}{{{x}_{0}}-1} \right)$

Cho $y = 1$

$\begin{array}{l}\Rightarrow 1 =  - \dfrac{2}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + \dfrac{{{x_0} + 1}}{{{x_0} - 1}}\\ \Leftrightarrow 1 =  - \dfrac{{2x}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} + \dfrac{{2{x_0}}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} + \dfrac{{{x_0} + 1}}{{{x_0} - 1}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{2x}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{2{x_0}}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} + \dfrac{{{x_0} + 1}}{{{x_0} - 1}} - 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{{2x}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{2{x_0} + x_0^2 - 1 - x_0^2 + 2{x_0} - 1}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{4{x_0} - 2}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\\ \Leftrightarrow x = 2{x_0} - 1\end{array}$

 Gọi $C=d\cap {{d}_{1}}\Rightarrow C\left( 2{{x}_{0}}-1;1 \right)$

 Tam giác ABC là tam giác vuông tại A có

$\begin{array}{l}AB = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{{x_0} + 3}}{{{x_0} - 1}} - 1} \right)}^2}}  = \dfrac{4}{{\left| {{x_0} - 1} \right|}},\,\,AC = \sqrt {{{\left( {2{x_0} - 1 - 1} \right)}^2}}  = \left| {2{x_0} - 2} \right| = 2\left| {{x_0} - 1} \right|\\ \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC = \dfrac{1}{2}\dfrac{4}{{\left| {{x_0} - 1} \right|}}.2\left| {{x_0} - 1} \right| = 4\end{array}$

Đồ thị hàm số $\left( C \right)$ có TCĐ $x=3\,\,\left( {{d}_{1}} \right)$ và TCN: $y=3\,\,\left( {{d}_{2}} \right)$

$\Rightarrow$ Tâm đối xứng của đồ thị $\left( C \right)$ là: $I\left( 3;3 \right)$

Gọi $M\left( m;\dfrac{1-3m}{3-m} \right)\in \left( C \right)$ ta có: $d\left( M;{{d}_{1}} \right)=\left| m-3 \right|;$ $d\left( M;\left( {{d}_{2}} \right) \right)=\left| \dfrac{1-3m}{3-m}-3 \right|=\dfrac{8}{\left| 3-m \right|}$

Vì $d\left( {M;\left( {{d_1}} \right)} \right) = 2d\left( {M;\left( {{d_2}} \right)} \right)$ $\Rightarrow \left| {m - 3} \right| = \dfrac{{16}}{{\left| {3 - m} \right|}}$ $\Leftrightarrow {\left( {m - 3} \right)^2} = 16 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 7\\ m = - 1 \end{array} \right.$

Khi $m=7\Rightarrow M\left( 7;5 \right)$ $\Rightarrow IM=\sqrt{{{\left( 7-3 \right)}^{2}}+{{\left( 5-3 \right)}^{2}}}=2\sqrt{5}$  

Khi $m=-1\Rightarrow M\left( -1;1 \right)$ $\Rightarrow IM=\sqrt{{{\left( -1-3 \right)}^{2}}+{{\left( 1-3 \right)}^{2}}}=2\sqrt{5}$

Đồ thị hàm số $y=\dfrac{2x+1}{x+1}$ có tâm đối xứng là $I\left( -\,1;2 \right)$ $\Rightarrow OI=\sqrt{{{\left( -\,1 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}}=\sqrt{5}.$

Xét hàm số $y=\dfrac{2x+1}{x-2}$:
+) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{2x + 1}}{{x - 2}} = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \dfrac{{2x + 1}}{{x - 2}} = - \infty$

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x=2$. Phương án A: đúng.
+) $y'=-\dfrac{5}{{{(x-2)}^{2}}}<0,\,\,\forall x\ne 2$ $\Rightarrow$ Hàm số $y=\dfrac{2x+1}{x-2}$ không có cực trị và hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( -\infty ;2 \right);\,\,\left( 2;+\infty \right)$. Phương án B và D: sai.
+) Ta có: $3=\dfrac{2.1+1}{1-2}$ vô lí $\Rightarrow$ Đồ thị hàm số không đi qua điểm$A(1;3)$. Phương án C: sai.

Đáp án A: Đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ cắt đường thẳng $y=5$ tại 1 điểm duy nhất có hoành độ $x<2$ nên A sai.

Đáp án B: $x=2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = - \infty$ nên B đúng.

Đáp án C: Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;2 \right)$ nên cũng đồng biến trên $\left( -\infty ;1 \right)\subset \left( -\infty ;2 \right)$ nên C đúng.

Đáp án D: Hàm số đồng biến trên trên $\left( 2;+\infty  \right)$ nên đồng biến trên $\left[ 3;10 \right]$, do đó $\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {3;10} \right]} f\left( x \right) = f\left( {10} \right)$ nên D đúng.

A sai vì đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là $x = 1$

C sai vì đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang chứ không phải là hàm số có tiệm cận ngang

D sai vì hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$

A sai vì đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là $x = 1$

C sai vì đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang chứ không phải là hàm số có tiệm cận ngang

D sai vì hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$

Xét hàm số $y = \dfrac{{ax - 1}}{{x + d}}$

+) Tiệm cận đứng $x =  - d$ mà theo bảng biến thiên tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là $x = 1$ suy ra $d =  - 1$

+) Tiệm cận ngang $y = \dfrac{a}{1}$ mà theo bảng biến thiên tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là $y =  - 3$ suy ra $a =  - 3$

Vậy: ${a^2} - {d^2} = {\left( { - 3} \right)^2} - {\left( { - 1} \right)^2} = 8$

Đồ thị hàm số $y = \dfrac{{2x + b}}{{cx + d}}$ có$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 1\\d = 1\end{array} \right.$ $\Rightarrow 2{c^2} - 5{d^2} = {2.1^2} - {5.1^2} =  - 3$

Đồ thị hàm số $y = \dfrac{{ax + 2}}{{2x + d}}$  có $\Rightarrow 2a - d = 3$

Đồ thị hàm số $y = \dfrac{{2x + b}}{{cx + d}}$  có

Hàm số có dạng $y = \dfrac{{2x + b}}{{x + 1}}\left( C \right)$

Ta có điểm $\left( {0;1} \right) \in \left( C \right)$

Thay $x = 0$ và $y = 1$ vào hàm số ta được $1 = \dfrac{{2.0 + b}}{{0 + 1}} \Rightarrow b = 1$ $\Rightarrow 2b = c + d$

Ta có đồ thị hàm số$y = \dfrac{{ax + 2}}{{cx + b}}$ đi qua điểm có tọa độ $\left( {0; - 1} \right)$.

Thay $x = 0;\,y =  - 1$ vào hàm số ta được $- 1 = \dfrac{{a.0 + 2}}{{c.0 + b}} \Rightarrow b =  - 2$

Đồ thị hàm số $y = \dfrac{{ax + 2}}{{cx - 2}}$ có $\Rightarrow a = 1;\,b =  - 2;\,c = 1$

Từ đồ thị hàm số, ta thấy

Khi $y = 0 \Rightarrow x = - \dfrac{b}{a} < 0 \Rightarrow b > 0.$

Khi $x = 0 \Rightarrow y = \dfrac{b}{d} < 0 \Rightarrow d < 0$.

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x =  - \dfrac{d}{c} > 0 \Rightarrow c > 0.$

Vậy $b > 0,{\rm{ }}c > 0,{\rm{ }}d < 0.$

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x = a > 0$; tiệm cận ngang $y = b > 0.$

Mặt khác, ta thấy dạng đồ thị là đường cong đi xuống từ trái sang phải trên các khoảng xác định của nó nên

Vậy $a > 0,{\rm{ }}b > 0,{\rm{ }}c - ab < 0.$

Đồ thị hàm số $y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}$ có:

- TCĐ: $x =  - \dfrac{d}{c} < 0 \Rightarrow cd > 0$ loại D.

- TCN: $y = \dfrac{a}{c} > 0 \Rightarrow ac > 0$ suy ra $ad > 0$. B đúng.

- Giao $Ox:y = 0 \Rightarrow x =  - \dfrac{b}{a} > 0 \Rightarrow ab < 0$$\Rightarrow bc < 0$. Loại A.

- Giao $Oy:x = 0 \Rightarrow y = \dfrac{b}{d} < 0 \Rightarrow bd < 0 \Rightarrow$Loại C.

$x = \dfrac{1}{2}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

$y =  - \dfrac{1}{2}$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Hàm số nghịch biến trên $\left( { - \infty ;\,\dfrac{1}{2}} \right)$ và $\left( {\dfrac{1}{2};\, + \infty } \right)$