Một số bài toán về hàm phân thức có tham số

Nhận xét:

$x =  - \dfrac{3}{2}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

$y = \dfrac{1}{2}$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

 Hàm số nghịch biến trên $\left( { - \infty ;\, - \dfrac{3}{2}} \right)$ và $\left( { - \dfrac{3}{2};\, + \infty } \right)$

Nhận xét:

$x =  - 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

$y = 2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Hàm số đồng biến trên $\left( { - \infty ; - 1} \right)$ và $\left( { - 1;\, + \infty } \right)$

Þ Khẳng định sai là: Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là $y =  - 1$

Từ bảng biến thiên ta có:

- Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là $x =  - 1.$

- Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là $y = 2.$

Vậy tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số cắt nhau tại điểm có tọa độ là $\left( { - 1;2} \right)$

A đúng vì đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là \(x = 1\)

B đúng vì hàm số luôn đồng biến nên không có cực trị

C đúng vì đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang \(y = 2\)

D sai vì hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\) chứ không đồng biến trên toàn bộ tập số thực \(\mathbb{R}\)

Ta có: $y' =  - \dfrac{5}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} < 0$ $\forall x \in D$

Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ;2} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$

Đáp án A có giao hai đường tiệm cận là $\left( { - 3;2} \right) \notin d$

Đáp án B có giao hai đường tiệm cận là $\left( {1;1} \right) \in d$

Đáp án C có giao hai đường tiệm cận là $\left( { - 2;2} \right) \notin d$

Đáp án D có giao hai đường tiệm cận là $\left( { - 3;0} \right) \notin d$

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là $y = 1 \Leftrightarrow y-1=0$

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là $x = 3\Leftrightarrow x-3=0$

Giả sử $M\left( {{x_0};\dfrac{{{x_0} + 2}}{{{x_0} - 3}}} \right)$ thuộc đồ thị hàm số.

Từ đề bài ta có phương trình

$5\left| {{x_0} - 3} \right| = \left| {\dfrac{{{x_0} + 2}}{{{x_0} - 3}} - 1} \right| \Leftrightarrow 5\left| {{x_0} - 3} \right| = \left| {\dfrac{5}{{{x_0} - 3}}} \right| \Leftrightarrow {\left( {{x_0} - 3} \right)^2} = 1 $

$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x - 3 =  - 1 \hfill \\ x - 3 = 1 \hfill \\ \end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} {x_0} = 2 \hfill \\  {x_0} = 4 \hfill \\ \end{gathered}  \right.$

Vậy ta có hai điểm thỏa mãn đề bài là $\left( {2; - 4} \right)$ và $\left( {4;6} \right)$

Đồ thị hàm số $y = \dfrac{{3x + 1}}{{x + 2}}$ có:

- Tiệm cận đứng là $x =  - 2$.

- Tiệm cận ngang là $y = 3$.

Diện tích hình chữ nhật được tạo bởi 2 tiệm cận là: $S=\left| -2 \right|.\left| 3 \right|=6$ đvdt

Đồ thị hàm số $y = \dfrac{{4x + 1}}{{x + 3}}$ có:

- Tiệm cận đứng $x =  - 3$.

- Tiệm cận ngang $y = 4$.

- Giao 2 tiệm cận: $I\left( { - 3;\,4} \right)$

$\overrightarrow {OI} \left( { - 3;4} \right) \to OI = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {4^2}}  = 5$

Þ Khoảng cách từ giao điểm 2 đường tiệm cận của (C) đến gốc tọa độ bằng $5$

Xét hàm số $y = \dfrac{{ax - 1}}{{x + d}}$

+) Tiệm cận đứng $x =  - d$ mà theo bảng biến thiên tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là \(x = 1\) suy ra $d =  - 1$.

+) Tiệm cận ngang $y = \dfrac{a}{1}$ mà theo bảng biến thiên tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là $y =  - 3$ suy ra $a =  - 3$.

Vậy: ${a^2} + {d^2} = {\left( { - 3} \right)^2} + {\left( { - 1} \right)^2} = 10$

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).

Hàm số \(y = f\left( x \right) = \dfrac{{mx + 5}}{{x + 1}}\) đi qua \(A\left( {1; - 3} \right)\) nên ta có : \(f\left( 1 \right) =  - 3 \Leftrightarrow \dfrac{{m + 5}}{{1 + 1}} =  - 3 \Rightarrow m =  - 11\)

Vậy \(m =  - 11\) thì hàm số đã cho đi qua \(A\left( {1; - 3} \right)\).

Đồ thị hàm số $y = \dfrac{{2x + b}}{{cx + d}}$ có $\left\{ \begin{gathered}  \xrightarrow{{TCD}}x =  - \dfrac{d}{c} =  - 1 \hfill \\  \xrightarrow{{TCN}}y = \dfrac{2}{c} = 2 \hfill \\ \end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} c = 1 \hfill \\ d = 1 \hfill \\ \end{gathered}  \right. \Rightarrow {c^2} - {d^2} = {1^2} - {1^2} = 0$

Đồ thị hàm số $y = \dfrac{{ax + 2}}{{2x + d}}$  có $\left\{ \begin{align} & \xrightarrow{TCD}x=-\dfrac{d}{2}=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow d=1 \\  & \xrightarrow{TCN}y=\dfrac{a}{2}=1\Rightarrow a=2 \\ \end{align} \right.\Rightarrow 3a+d=7$

Đồ thị hàm số $y = \dfrac{{2x + b}}{{cx + d}}$  có $\left\{ \begin{align}& \xrightarrow{TCN}y=\dfrac{2}{c}=2\Rightarrow c=1 \\  & \xrightarrow{TCD}x=-\dfrac{d}{c}=-\dfrac{d}{1}=-1\Rightarrow d=1 \\ \end{align} \right.$

Hàm số có dạng $y = \dfrac{{2x + b}}{{x + 1}}\left( C \right)$ 

Ta có điểm $\left( {0;1} \right) \in \left( C \right)$

Thay $x = 0$ và $y = 1$ vào hàm số ta được $1 = \dfrac{{2.0 + b}}{{0 + 1}} \Rightarrow b = 1$ $ \Rightarrow b + c + d = 3$ 

+) $y = \dfrac{{ax - b}}{{x - 1}} \Rightarrow y' = \dfrac{{ - a + b}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}, \forall x\ne 1$

Hàm số đồng biến $ \Rightarrow y' > 0 \Leftrightarrow  - a + b > 0 \Leftrightarrow b > a$

+) Tiệm cận ngang $y = \dfrac{a}{1} > 0 \Rightarrow a > 0$

Vậy $0 < a < b$

Ta có đồ thị hàm số$y = \dfrac{{ax + 2}}{{cx + b}}$ đi qua điểm có tọa độ $\left( {0; - 1} \right)$

Thay $x = 0;\,y =  - 1$ vào hàm số ta được $ - 1 = \dfrac{{a.0 + 2}}{{c.0 + b}} \Rightarrow b =  - 2$

Đồ thị hàm số $y = \dfrac{{ax + 2}}{{cx - 2}}$ có

$\left\{ \begin{align} & \xrightarrow{TCD}x=\dfrac{2}{c}=2\Rightarrow c=1 \\  & \xrightarrow{TCN}y=\dfrac{a}{c}=\dfrac{a}{1}=1\Rightarrow a=1 \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow a=1;\,b=-2;\,c=1$

+) Đồ thị hàm số $y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}$ có:

- TCĐ: $x =  - \dfrac{d}{c} > 0 \Rightarrow cd < 0 \Rightarrow $ Loại C.

- TCN: $y = \dfrac{a}{c} > 0 \Rightarrow ac > 0$

- Giao $Oy:x = 0$ $ \Rightarrow y = \dfrac{b}{d} < 0 \Rightarrow bd < 0 \Rightarrow $ Loại B.

- Giao $Ox:y = 0$ $ \Rightarrow x =  - \dfrac{b}{a} < 0 \Rightarrow ab > 0$

Vì $ac > 0;ab > 0$ nên $ab.ac > 0 \Rightarrow bc > 0$

Vì $ab > 0;bd < 0$ nên $ab.bd < 0 \Rightarrow ad < 0 \Rightarrow $Loại D.

Đồ thị hàm số $y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}$ có:

- TCĐ $x =  - \dfrac{d}{c} < 0 \Rightarrow cd > 0$

- TCN $y = \dfrac{a}{c} > 0 \Rightarrow ac > 0$

$ \Rightarrow ac.cd > 0 \Rightarrow ad > 0 \Rightarrow $Loại A, B.

- $y' = \dfrac{{ad - bc}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}} > 0 \Rightarrow ad > bc$

- Cắt $Oy:x = 0 \Rightarrow y = \dfrac{b}{d} < 0 \Rightarrow bd < 0$

- Cắt $Ox:y = 0 \Rightarrow x =  - \dfrac{b}{a} > 0 \Rightarrow ab < 0$

Vì $ac > 0;ab < 0$ nên $ac.ab < 0 \Rightarrow bc < 0 \Rightarrow $ Loại D

Đồ thị hàm số $y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}$ có:

- TCĐ: $x =  - \dfrac{d}{c} < 0 \Rightarrow cd > 0$.

- TCN: $y = \dfrac{a}{c} > 0 \Rightarrow ac > 0$.

$ \Rightarrow cd.ac > 0 \Rightarrow ad > 0 \Rightarrow $ Loại D.

- Giao $Oy:x = 0 \Rightarrow y = \dfrac{b}{d} < 0 \Rightarrow bd < 0 \Rightarrow $Loại C.

- Giao $Ox:y = 0 \Rightarrow x =  - \dfrac{b}{a} > 0 \Rightarrow ab < 0 \Rightarrow $Loại A.

Gọi $M\left( {m;\dfrac{{m + 1}}{{m - 2}}} \right) \in \left( C \right)\,\left( {m \ne 2} \right)$. Tổng khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận $x = 2 $ và $y = 1$ là

$S = \left| {m - 2} \right| + \left| {\dfrac{{m + 1}}{{m - 2}} - 1} \right| = \left| {m - 2} \right| + \dfrac{3}{{\left| {m - 2} \right|}} \geqslant 2\sqrt {\left| {m - 2} \right|.\dfrac{3}{{\left| {m - 2} \right|}}}  = 2\sqrt 3 $

Dấu “=” xảy ra $ \Leftrightarrow \left| {m - 2} \right| = \dfrac{3}{{\left| {m - 2} \right|}} \Leftrightarrow \left| {m - 2} \right| = \sqrt 3  \Leftrightarrow m = 2 \pm \sqrt 3 $

Vậy có 2 điểm thỏa mãn bài toán là ${M_1}\left( {2 + \sqrt 3 ;1 + \sqrt 3 } \right),{M_2}\left( {2 - \sqrt 3 ;1 - \sqrt 3 } \right)$