Hệ phương trình mũ và logarit

ĐK : $x >  - \dfrac{1}{2};\,0 \ne y < 1$

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}{\log _2}\left( {1 + x} \right) + {\log _{\dfrac{1}{2}}}\left( {1 - y} \right) = 0\\{\log _{1 + x}}\left( {1 + 2y} \right) + {\log _{1 - y}}\left( {1 + 2x} \right) = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\log _2}\left( {1 + x} \right) - {\log _2}\left( {1 - y} \right) = 0\\{\log _{1 + x}}\left( {1 + 2y} \right) + {\log _{1 - y}}\left( {1 + 2x} \right) = 2\end{array} \right.$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\log _2}\left( {1 + x} \right) = {\log _2}\left( {1 - y} \right)\\{\log _{1 + x}}\left( {1 + 2y} \right) + {\log _{1 - y}}\left( {1 + 2x} \right) = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 + x = 1 - y\\{\log _{1 + x}}\left( {1 + 2y} \right) + {\log _{1 - y}}\left( {1 + 2x} \right) = 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y =  - x\\{\log _{1 + x}}\left( {1 + 2y} \right) + {\log _{1 - y}}\left( {1 + 2x} \right) = 2\end{array} \right. \Rightarrow {\log _{1 + x}}\left( {1 - 2x} \right) + {\log _{1 + x}}\left( {1 + 2x} \right) = 2\\ \Leftrightarrow {\log _{1 + x}}\left( {1 - 4{x^2}} \right) = 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 + x > 0\\1 + x \ne 1\\1 - 4{x^2} > 0\\1 - 4{x^2} = {\left( {x + 1} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x >  - 1\\x \ne 0\\ - \dfrac{1}{2} < x < \dfrac{1}{2}\\5{x^2} + 2x = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\ - \dfrac{1}{2} < x < \dfrac{1}{2}\\\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  - \dfrac{2}{5}\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow x =  - \dfrac{2}{5} \Rightarrow y = \dfrac{2}{5}\left( {tm} \right)\end{array}$

Vậy hệ có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( { - \dfrac{2}{5};\dfrac{2}{5}} \right)$

Điều kiện: $x - y > 0 \Leftrightarrow x > y$. Do đó B đúng và các đáp án còn lại sai.

Điều kiện: $x + y > 0$.

$\dfrac{{{4^x}}}{{{2^y}}} = 2 \Leftrightarrow {2^{2x - y}} = 2 \Leftrightarrow 2x - y = 1.$$\left( 1 \right)$

$\log \left( {2x + 2y} \right) = 1 \Leftrightarrow 2x + 2y = 10.$$\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$, ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l}2x - y = 1\\2x + 2y = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3\end{array} \right..$

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\y > 0\end{array} \right.$.

Hệ phương trình tương đương với

$\left\{ \begin{array}{l}x + y = 25\\{\log _2}\dfrac{x}{y} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 25\\\dfrac{x}{y} = 4\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 25\\x - 4y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 20 = {x_0}\\y = 5 = {y_0}\end{array} \right.$ $\Rightarrow {x_0} = 4{y_0}$.

Chia vế theo vế phương trình $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta được:

${\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^x}.{\left( {\dfrac{9}{4}} \right)^y} = 1 \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^x}.{\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^{2y}} = 1 \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^{x - 2y}} = 1 \Leftrightarrow x - 2y = 0 \Leftrightarrow x = 2y\,$

Thay $x = 2y$ vào $\left( 1 \right)$ ta được:

${2^{2y}}{.9^y} = 36 \Leftrightarrow {2^{2y}}{.3^{2y}} = 36 \Leftrightarrow {6^{2y}} = 36 \Leftrightarrow 2y = 2 \Leftrightarrow y = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left( {x;y} \right) = \left( {2;1} \right).$$$

Chia vế theo vế phương trình (1) và (2) ta được:

${\left( {\dfrac{2}{5}} \right)^x}.{\left( {\dfrac{5}{2}} \right)^y} = \dfrac{2}{5} \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{2}{5}} \right)^{x - y}} = \dfrac{2}{5} \Leftrightarrow x - y = 1 \Leftrightarrow y = x - 1.$

Thay $y = x - 1$vào (1) ta được:

${2^x}{.5^{x - 1}} = 20 \Leftrightarrow {2^x}.\dfrac{{{5^x}}}{5} = 20 \Leftrightarrow {2^x}{.5^x} = 100 \Leftrightarrow {10^x} = 100 \Leftrightarrow x = 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left( {x;y} \right) = \left( {2;1} \right).$

Chia vế theo vế phương trình (1) và (2) ta được:

${\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^x}.{\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^y} = \dfrac{2}{3} \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^{x - y}} = \dfrac{2}{3} \Leftrightarrow x - y = 1 \Leftrightarrow y = x - 1.$

Thay $y = x - 1$ vào (1) ta được:

${2^x}{.3^{x - 1}} = 12 \Leftrightarrow {2^x}.\dfrac{{{3^x}}}{3} = 12 \Leftrightarrow {6^x} = 36 \Leftrightarrow x = 2$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left( {x;y} \right) = \left( {2;1} \right).$

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\y > 0\end{array} \right.$. Hệ phương trình tương đương với $\left\{ \begin{array}{l}{\log _4}\left( {2xy} \right) = {\log _4}36\\x + 2y = 20\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2xy = 36\\x + 2y = 20\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy = 18\\x = 20 - 2y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{y^2} - 20y + 18 = 0\\x = 20 - 2y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}y = 1\\y = 9\end{array} \right.\\x = 20 - 2y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 1;\,\,x = 18\\y = 9;\,\,x = 2\end{array} \right..$

Đặt: $\left\{ \begin{array}{l}a = {x^2} + y\\b = {x^2} - y\end{array} \right.,$ khi đó hệ trở thành:

$\left\{ \begin{array}{l}a{.2^{ - b}} = 1\\9a = {6^b}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{6^b}}}{9}.\dfrac{1}{{{2^b}}} = 1\\9a = {6^b}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{3^b} = 9\\9a = {6^b}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 2\\a = 4\end{array} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - y = 2\\{x^2} + y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 3\\y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  \pm \sqrt 3 \\y = 1\end{array} \right.$$\Rightarrow \left( {x;y} \right) = \left( {\sqrt 3 ;1} \right),\left( { - \sqrt 3 ;1} \right).$

Điều kiện: $x + 2y > 0.$

Hệ phương trình $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{3^x} = {3^3}{.3^y}\\\log \left( {x + 2y} \right) = \log 15\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y + 3\\x + 2y = 15\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 7\\y = 4\end{array} \right.$.

Ta có: $\left( 1 \right) \Leftrightarrow {2^x} + x = {2^y} + y\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)$                 

Xét hàm số $f\left( t \right) = {2^t} + t$ trên $\mathbb{R},$ ta có: $f'\left( t \right) = {2^t}\ln 2 + 1 > 0,\,\forall t \in \mathbb{R}.$

Vậy hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}.$

Do đó: $\left( * \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = f\left( y \right) \Leftrightarrow x = y.$

Thay $x = y$ vào (2) ta được: $3{x^2} = 3 \Leftrightarrow {x^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow y = 1\\x =  - 1 \Rightarrow y =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left( {x;y} \right) = \left( {1;1} \right),\left( { - 1; - 1} \right).$

Trừ vế theo vế (1) cho (2) ta được: ${3^x} - {3^y} = 2y - 2x \Leftrightarrow {3^x} + 2x = {3^y} + 2y\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)$

Xét hàm số $f\left( t \right) = {3^t} + 2t$ trên $\mathbb{R},$ ta có: $f'\left( t \right) = {3^t}\ln 3 + 2 > 0,\,\forall t \in \mathbb{R}.$

Vậy hàm số$f\left( t \right)$  đồng biến trên $\mathbb{R}.$

Do đó: $\left( * \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = f\left( y \right) \Leftrightarrow x = y.$

Thay $x = y$ vào (1) ta được: ${3^x} - 2x - 1 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {**} \right)$

Xét hàm số $g\left( a \right) = {3^a} - 2a - 1$ trên $\left[ {{{\log }_3}\left( {\dfrac{2}{{\ln 3}}} \right); + \infty } \right)$, ta có:

$g'\left( a \right) = {3^a}\ln 3 - 2 \ge 0,\,\forall a \in \left[ {{{\log }_3}\left( {\dfrac{2}{{\ln 3}}} \right); + \infty } \right).$

Vậy hàm số $g\left( a \right)$ đồng biến trên $\left[ {{{\log }_3}\left( {\dfrac{2}{{\ln 3}}} \right); + \infty } \right)$.

 Lại có $g\left( 1 \right) = 0 \Rightarrow \left( {**} \right) \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow y = 1.$

Xét hàm số $u\left( b \right) = {3^b} - 2b - 1$trên $\left( { - \infty ;{{\log }_3}\left( {\dfrac{2}{{\ln 3}}} \right)} \right)$, ta có:

$u'\left( b \right) = {3^b}\ln 3 - 2 < 0,\,\forall b \in \left( { - \infty ;{{\log }_3}\left( {\dfrac{2}{{\ln 3}}} \right)} \right).$

Vậy hàm số $u\left( b \right)$ nghịch biến trên$\left( { - \infty ;{{\log }_3}\left( {\dfrac{2}{{\ln 3}}} \right)} \right).$

 Lại có $f\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow \left( {**} \right) \Leftrightarrow x = 0 \Rightarrow y = 0.$

Trừ vế theo vế (1) và (2) ta được: ${3^x} + 2x - {3^y} - 2y = y - x$ $\Leftrightarrow {3^x} + 3x = {3^y} + 3y\,\,\,\,\,\left( * \right)$

Xét hàm số $f\left( t \right) = {3^t} + 3t$ trên $\mathbb{R},$ ta có: $f'\left( t \right) = {3^t}\ln 3 + 3 > 0, \forall t \in \mathbb{R}.$

Vậy hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}.$

Do đó: $\left( * \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = f\left( y \right) \Leftrightarrow x = y.$

Thay $x = y$ vào (1) ta được: ${3^x} + x - 11 = 0      \left( {**} \right)$

Xét hàm số $g\left( m \right) = {3^m} + m - 11$ trên $\mathbb{R},$ ta có: $g'\left( m \right) = {3^m}\ln 3 + 3 > 0,\,\forall m \in \mathbb{R}.$

Vậy hàm số $g\left( m \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}.$

Lại có: $g\left( 2 \right) = 0$

$\Rightarrow \left( {**} \right)$ có nghiệm duy nhất $x = 2$

$\Rightarrow y = 2 \Rightarrow \left( {x;y} \right) = \left( {2;2} \right).$

Thay (2) vào (1) ta được:

${2^x} - {2^y} = \left( {y - x} \right)\left( {xy + {x^2} + {y^2}} \right) \Leftrightarrow {2^x} + {x^3} = {2^y} + {y^3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right).$

Xét hàm số $f\left( t \right) = {2^t} + {t^3}$ trên $\mathbb{R}$, ta có: $f'\left( t \right) = {2^t}.\ln 2 + 3{t^2} > 0,\,\forall t \in \mathbb{R}.$

Suy ra, hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}.$

Do đó, từ (3) ta có: $f\left( x \right) = f\left( y \right) \Leftrightarrow x = y$

Thay $x = y$  vào (2) ta được: $2{x^2} = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow y = 1\\x =  - 1 \Rightarrow y =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left( {x;y} \right) = \left( {1;1} \right),\left( { - 1; - 1} \right).$

Trừ vế theo vế (1) cho (2) ta được: ${7^{x - 1}} - {7^{y - 1}} = 6y - 6x$ $\Leftrightarrow {7^{x - 1}} + 6x = {7^{y - 1}} + 6y\,\,\,\,\,\left( * \right).$

Xét hàm số $f\left( t \right) = {7^{t - 1}} + 6t$ trên $\mathbb{R},$ ta có: $f'\left( t \right) = {7^{t - 1}}\ln 7 + 6 > 0,\,\forall t \in \mathbb{R}.$

Vậy hàm số$f\left( t \right)$  đồng biến trên $\mathbb{R}.$

Do đó: $\left( * \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = f\left( y \right) \Leftrightarrow x = y.$

Thay $x = y$ vào (1) ta được: ${7^{x - 1}} - 6x + 5 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {**} \right)$

Xét hàm số $g\left( a \right) = {7^{a - 1}} - 6a + 5\,$trên $\left[ {1 + {{\log }_7}\left( {\dfrac{6}{{\ln 7}}} \right); + \infty } \right)$, ta có:

$g'\left( a \right) = {7^{a - 1}}\ln 7 - 6 \ge 0,\,\forall a \in \left[ {1 + {{\log }_7}\left( {\dfrac{6}{{\ln 7}}} \right); + \infty } \right)$

Vậy hàm số $g\left( a \right)$đồng biến trên$\left[ {1 + {{\log }_7}\left( {\dfrac{6}{{\ln 7}}} \right); + \infty } \right)$.

Lại có: $g\left( 2 \right) = 0 \Rightarrow \left( {**} \right) \Leftrightarrow x = 2.$

Xét hàm số $u\left( b \right) = {7^{b - 1}} - 6b + 5\,$trên $\left( { - \infty ;1 + {{\log }_7}\left( {\dfrac{6}{{\ln 7}}} \right)} \right)$, ta có:

$u'\left( b \right) = {7^{b - 1}}\ln 7 - 6 < 0,\,\forall b \in \left( { - \infty ;1 + {{\log }_7}\left( {\dfrac{6}{{\ln 7}}} \right)} \right)$

Vậy hàm số $u\left( b \right)$đồng biến trên$\left( { - \infty ;1 + {{\log }_7}\left( {\dfrac{6}{{\ln 7}}} \right)} \right)$.

Lại có: $u\left( 1 \right) = 0 \Rightarrow \left( {**} \right) \Leftrightarrow x = 1.$

Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 1 > 0\\y - 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1 \vee x <  - 1\\y > 1\end{array} \right.$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}x + 2y =  - 1\\{4^{x + {y^2}}} = 16\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2y =  - 1\\x + {y^2} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 2y - 1\\{y^2} - 2y - 3 = 0\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 2y - 1\\y =  - 1;y = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1;y =  - 1\\x =  - 7;y = 3\end{array} \right.$

Vậy hệ đã cho có $2$ nghiệm phân biệt.

Điều kiện: $x > 0;y > 0$

$\left\{ \begin{array}{l}\log x - \log y = 2\\x - 10y = 900\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\log \dfrac{x}{y} = 2\\x - 10y = 900\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{x}{y} = 100\\x - 10y = 900\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 100y\\x - 10y = 900\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 100y\\100y - 10y = 900\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1000\\y = 10\end{array} \right.$

Vậy $A = x - 2y = 1000 - 2.10 = 980$

Nhân vế với vế của hai phương trình ta được:

$\left( {{2^x}{{.9}^y}} \right).\left( {{3^x}{{.4}^y}} \right) = 162.48 \Leftrightarrow {6^x}{.36^y} = 162.48 \Leftrightarrow {6^x}{.6^{2y}} = {6^5} \Leftrightarrow x + 2y = 5$

Khi đó $\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 5\\{3^x}{.4^y} = 48\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5 - 2y\\{3^{5 - 2y}}{.4^y} = 48\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5 - 2y\\\dfrac{{{3^5}}}{{{9^y}}}{.4^y} = {2^4}.3\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5 - 2y\\{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^{2y}} = {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2\\x = 1\end{array} \right.$

Vậy hệ có nghiệm duy nhất $\left( {1;2} \right)$.

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}0 < x \ne 1;0 < x + 1 \ne 1\\y > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < x \ne 1\\y > 0\end{array} \right.$

Khi đó hệ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = {x^2}\\y + 23 = {\left( {x + 1} \right)^3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = {x^2}\\{x^2} + 23 = {\left( {x + 1} \right)^3}\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = {x^2}\\\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 4x + 11} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 = {x_0}\\y = 4 = {y_0}\end{array} \right.$

Do đó ${x_0} < {y_0}$.