Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{\log _2}\left( {1 + x} \right) + {\log _{\dfrac{1}{2}}}\left( {1 - y} \right) = 0\\{\log _{1 + x}}\left( {1 + 2y} \right) + {\log _{1 - y}}\left( {1 + 2x} \right) = 2\end{array} \right.\) có bao nhiêu nghiệm?
ĐK : \(x > - \dfrac{1}{2};\,0 \ne y < 1\)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{\log _2}\left( {1 + x} \right) + {\log _{\dfrac{1}{2}}}\left( {1 - y} \right) = 0\\{\log _{1 + x}}\left( {1 + 2y} \right) + {\log _{1 - y}}\left( {1 + 2x} \right) = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\log _2}\left( {1 + x} \right) - {\log _2}\left( {1 - y} \right) = 0\\{\log _{1 + x}}\left( {1 + 2y} \right) + {\log _{1 - y}}\left( {1 + 2x} \right) = 2\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\log _2}\left( {1 + x} \right) = {\log _2}\left( {1 - y} \right)\\{\log _{1 + x}}\left( {1 + 2y} \right) + {\log _{1 - y}}\left( {1 + 2x} \right) = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 + x = 1 - y\\{\log _{1 + x}}\left( {1 + 2y} \right) + {\log _{1 - y}}\left( {1 + 2x} \right) = 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = - x\\{\log _{1 + x}}\left( {1 + 2y} \right) + {\log _{1 - y}}\left( {1 + 2x} \right) = 2\end{array} \right. \Rightarrow {\log _{1 + x}}\left( {1 - 2x} \right) + {\log _{1 + x}}\left( {1 + 2x} \right) = 2\\ \Leftrightarrow {\log _{1 + x}}\left( {1 - 4{x^2}} \right) = 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 + x > 0\\1 + x \ne 1\\1 - 4{x^2} > 0\\1 - 4{x^2} = {\left( {x + 1} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - 1\\x \ne 0\\ - \dfrac{1}{2} < x < \dfrac{1}{2}\\5{x^2} + 2x = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\ - \dfrac{1}{2} < x < \dfrac{1}{2}\\\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - \dfrac{2}{5}\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow x = - \dfrac{2}{5} \Rightarrow y = \dfrac{2}{5}\left( {tm} \right)\end{array}\)
Vậy hệ có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( { - \dfrac{2}{5};\dfrac{2}{5}} \right)\)
Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^{2x - y}} + 6{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^{\dfrac{{2x - y}}{2}}} - 7 = 0\\{3^{{{\log }_9}\left( {x - y} \right)}} = 1\end{array} \right.\). Chọn khẳng định đúng?
Điều kiện: \(x - y > 0 \Leftrightarrow x > y\). Do đó B đúng và các đáp án còn lại sai.
Tìm tất cả các cặp số \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn $\dfrac{{{4^x}}}{{{2^y}}} = 2$ và $\log \left( {2x + 2y} \right) = 1$.
Điều kiện: $x + y > 0$.
$\dfrac{{{4^x}}}{{{2^y}}} = 2 \Leftrightarrow {2^{2x - y}} = 2 \Leftrightarrow 2x - y = 1.$\(\left( 1 \right)\)
$\log \left( {2x + 2y} \right) = 1 \Leftrightarrow 2x + 2y = 10.$\(\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\), ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l}2x - y = 1\\2x + 2y = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3\end{array} \right..$
Gọi \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là một nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 25\\{\log _2}x - {\log _2}y = 2\end{array} \right..$ Mệnh đề nào sau đây đúng?
Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\y > 0\end{array} \right.$.
Hệ phương trình tương đương với
$\left\{ \begin{array}{l}x + y = 25\\{\log _2}\dfrac{x}{y} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 25\\\dfrac{x}{y} = 4\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 25\\x - 4y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 20 = {x_0}\\y = 5 = {y_0}\end{array} \right.$ $ \Rightarrow {x_0} = 4{y_0}$.
Xét hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{2^x}{.9^y} = 36\\{3^x}{.4^y} = 36\end{array} \right.\)có nghiệm \(\left( {x;y} \right)\). Khi đó phát biểu nào sau đây đúng:
Chia vế theo vế phương trình $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta được:
\({\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^x}.{\left( {\dfrac{9}{4}} \right)^y} = 1 \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^x}.{\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^{2y}} = 1 \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^{x - 2y}} = 1 \Leftrightarrow x - 2y = 0 \Leftrightarrow x = 2y\,\)
Thay \(x = 2y\) vào $\left( 1 \right)$ ta được:
${2^{2y}}{.9^y} = 36 \Leftrightarrow {2^{2y}}{.3^{2y}} = 36 \Leftrightarrow {6^{2y}} = 36 \Leftrightarrow 2y = 2 \Leftrightarrow y = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left( {x;y} \right) = \left( {2;1} \right).$$$
Xét hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{2^x}{.5^y} = 20\\{5^x}{.2^y} = 50\end{array} \right.\) có nghiệm \(\left( {x;y} \right)\). Khi đó phát biểu nào sau đây đúng:
Chia vế theo vế phương trình (1) và (2) ta được:
\({\left( {\dfrac{2}{5}} \right)^x}.{\left( {\dfrac{5}{2}} \right)^y} = \dfrac{2}{5} \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{2}{5}} \right)^{x - y}} = \dfrac{2}{5} \Leftrightarrow x - y = 1 \Leftrightarrow y = x - 1.\)
Thay \(y = x - 1\)vào (1) ta được:
\({2^x}{.5^{x - 1}} = 20 \Leftrightarrow {2^x}.\dfrac{{{5^x}}}{5} = 20 \Leftrightarrow {2^x}{.5^x} = 100 \Leftrightarrow {10^x} = 100 \Leftrightarrow x = 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left( {x;y} \right) = \left( {2;1} \right).\)
Xét hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{2^x}{.3^y} = 12\\{3^x}{.2^y} = 18\end{array} \right.\)có nghiệm \(\left( {x;y} \right)\). Khi đó phát biểu nào sau đây đúng:
Chia vế theo vế phương trình (1) và (2) ta được:
\({\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^x}.{\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^y} = \dfrac{2}{3} \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^{x - y}} = \dfrac{2}{3} \Leftrightarrow x - y = 1 \Leftrightarrow y = x - 1.\)
Thay \(y = x - 1\) vào (1) ta được:
\({2^x}{.3^{x - 1}} = 12 \Leftrightarrow {2^x}.\dfrac{{{3^x}}}{3} = 12 \Leftrightarrow {6^x} = 36 \Leftrightarrow x = 2\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left( {x;y} \right) = \left( {2;1} \right).\)
Cặp số $\left( {x;y} \right)$ nào sau đây thỏa mãn hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}{\log _4}x + {\log _4}2y = 1 + {\log _4}9\\x + 2y = 20\end{array} \right.$?
Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\y > 0\end{array} \right.$. Hệ phương trình tương đương với $\left\{ \begin{array}{l}{\log _4}\left( {2xy} \right) = {\log _4}36\\x + 2y = 20\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2xy = 36\\x + 2y = 20\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy = 18\\x = 20 - 2y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{y^2} - 20y + 18 = 0\\x = 20 - 2y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}y = 1\\y = 9\end{array} \right.\\x = 20 - 2y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 1;\,\,x = 18\\y = 9;\,\,x = 2\end{array} \right..$
Xét hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}({x^2} + y){2^{y - {x^2}}} = 1\\9({x^2} + y) = {6^{{x^2} - y}}\end{array} \right.$ có nghiệm \(\left( {x;y} \right)\). Khi đó phát biểu nào sau đây đúng:
Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l}a = {x^2} + y\\b = {x^2} - y\end{array} \right.,\) khi đó hệ trở thành:
\(\left\{ \begin{array}{l}a{.2^{ - b}} = 1\\9a = {6^b}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{6^b}}}{9}.\dfrac{1}{{{2^b}}} = 1\\9a = {6^b}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{3^b} = 9\\9a = {6^b}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 2\\a = 4\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - y = 2\\{x^2} + y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 3\\y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \pm \sqrt 3 \\y = 1\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left( {x;y} \right) = \left( {\sqrt 3 ;1} \right),\left( { - \sqrt 3 ;1} \right).\)
Tìm tập nghiệm \(S\) của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}{3^x} = {27.3^y}\\\log \left( {x + 2y} \right) = \log 5 + \log 3\end{array} \right..$
Điều kiện: \(x + 2y > 0.\)
Hệ phương trình $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{3^x} = {3^3}{.3^y}\\\log \left( {x + 2y} \right) = \log 15\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y + 3\\x + 2y = 15\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 7\\y = 4\end{array} \right.$.
Xét hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{2^x} - {2^y} = y - x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{x^2} + xy + {y^2} = 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)có nghiệm \(\left( {x;y} \right)\). Khi đó phát biểu nào sau đây đúng:
Ta có: \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {2^x} + x = {2^y} + y\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {2^t} + t\) trên \(\mathbb{R},\) ta có: \(f'\left( t \right) = {2^t}\ln 2 + 1 > 0,\,\forall t \in \mathbb{R}.\)
Vậy hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
Do đó: \(\left( * \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = f\left( y \right) \Leftrightarrow x = y.\)
Thay \(x = y\) vào (2) ta được: \(3{x^2} = 3 \Leftrightarrow {x^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow y = 1\\x = - 1 \Rightarrow y = - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left( {x;y} \right) = \left( {1;1} \right),\left( { - 1; - 1} \right).\)
Xét hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{3^x} = 2y + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{3^y} = 2x + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\) có nghiệm \(\left( {x;y} \right)\). Khi đó phát biểu nào sau đây đúng:
Trừ vế theo vế (1) cho (2) ta được: \({3^x} - {3^y} = 2y - 2x \Leftrightarrow {3^x} + 2x = {3^y} + 2y\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {3^t} + 2t\) trên \(\mathbb{R},\) ta có: \(f'\left( t \right) = {3^t}\ln 3 + 2 > 0,\,\forall t \in \mathbb{R}.\)
Vậy hàm số\(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
Do đó: \(\left( * \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = f\left( y \right) \Leftrightarrow x = y.\)
Thay \(x = y\) vào (1) ta được: \({3^x} - 2x - 1 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {**} \right)\)
Xét hàm số \(g\left( a \right) = {3^a} - 2a - 1\) trên \(\left[ {{{\log }_3}\left( {\dfrac{2}{{\ln 3}}} \right); + \infty } \right)\), ta có:
\(g'\left( a \right) = {3^a}\ln 3 - 2 \ge 0,\,\forall a \in \left[ {{{\log }_3}\left( {\dfrac{2}{{\ln 3}}} \right); + \infty } \right).\)
Vậy hàm số \(g\left( a \right)\) đồng biến trên \(\left[ {{{\log }_3}\left( {\dfrac{2}{{\ln 3}}} \right); + \infty } \right)\).
Lại có \(g\left( 1 \right) = 0 \Rightarrow \left( {**} \right) \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow y = 1.\)
Xét hàm số \(u\left( b \right) = {3^b} - 2b - 1\)trên \(\left( { - \infty ;{{\log }_3}\left( {\dfrac{2}{{\ln 3}}} \right)} \right)\), ta có:
\(u'\left( b \right) = {3^b}\ln 3 - 2 < 0,\,\forall b \in \left( { - \infty ;{{\log }_3}\left( {\dfrac{2}{{\ln 3}}} \right)} \right).\)
Vậy hàm số \(u\left( b \right)\) nghịch biến trên\(\left( { - \infty ;{{\log }_3}\left( {\dfrac{2}{{\ln 3}}} \right)} \right).\)
Lại có \(f\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow \left( {**} \right) \Leftrightarrow x = 0 \Rightarrow y = 0.\)
Xét hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{3^x} + 2x = y + 11\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{3^y} + 2y = x + 11\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\) có nghiệm \(\left( {x;y} \right)\). Khi đó phát biểu nào sau đây đúng:
Trừ vế theo vế (1) và (2) ta được: \({3^x} + 2x - {3^y} - 2y = y - x \) \(\Leftrightarrow {3^x} + 3x = {3^y} + 3y\,\,\,\,\,\left( * \right)\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {3^t} + 3t\) trên \(\mathbb{R},\) ta có: \(f'\left( t \right) = {3^t}\ln 3 + 3 > 0, \forall t \in \mathbb{R}.\)
Vậy hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
Do đó: \(\left( * \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = f\left( y \right) \Leftrightarrow x = y.\)
Thay \(x = y\) vào (1) ta được: \({3^x} + x - 11 = 0 \left( {**} \right)\)
Xét hàm số \(g\left( m \right) = {3^m} + m - 11\) trên \(\mathbb{R},\) ta có: $g'\left( m \right) = {3^m}\ln 3 + 3 > 0,\,\forall m \in \mathbb{R}.$
Vậy hàm số \(g\left( m \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
Lại có: \(g\left( 2 \right) = 0 \)
\(\Rightarrow \left( {**} \right) \) có nghiệm duy nhất \( x = 2\)
\( \Rightarrow y = 2 \Rightarrow \left( {x;y} \right) = \left( {2;2} \right).\)
Xét hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}{2^x} - {2^y} = (y - x)(xy + 2)\\{x^2} + {y^2} = 2\end{array} \right.$ có nghiệm \(\left( {x;y} \right)\). Khi đó phát biểu nào sau đây đúng:
Thay (2) vào (1) ta được:
\({2^x} - {2^y} = \left( {y - x} \right)\left( {xy + {x^2} + {y^2}} \right) \Leftrightarrow {2^x} + {x^3} = {2^y} + {y^3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right).\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {2^t} + {t^3}\) trên \(\mathbb{R}\), ta có: \(f'\left( t \right) = {2^t}.\ln 2 + 3{t^2} > 0,\,\forall t \in \mathbb{R}.\)
Suy ra, hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
Do đó, từ (3) ta có: \(f\left( x \right) = f\left( y \right) \Leftrightarrow x = y\)
Thay \(x = y\) vào (2) ta được: \(2{x^2} = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow y = 1\\x = - 1 \Rightarrow y = - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left( {x;y} \right) = \left( {1;1} \right),\left( { - 1; - 1} \right).\)
Xét hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}{7^{x - 1}} = 6y - 5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{7^{y - 1}} = 6x - 5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$ có nghiệm \(\left( {x;y} \right)\). Khi đó phát biểu nào sau đây đúng:
Trừ vế theo vế (1) cho (2) ta được: \({7^{x - 1}} - {7^{y - 1}} = 6y - 6x\) \( \Leftrightarrow {7^{x - 1}} + 6x = {7^{y - 1}} + 6y\,\,\,\,\,\left( * \right).\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {7^{t - 1}} + 6t\) trên \(\mathbb{R},\) ta có: \(f'\left( t \right) = {7^{t - 1}}\ln 7 + 6 > 0,\,\forall t \in \mathbb{R}.\)
Vậy hàm số\(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
Do đó: \(\left( * \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = f\left( y \right) \Leftrightarrow x = y.\)
Thay \(x = y\) vào (1) ta được: \({7^{x - 1}} - 6x + 5 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {**} \right)\)
Xét hàm số \(g\left( a \right) = {7^{a - 1}} - 6a + 5\,\)trên \(\left[ {1 + {{\log }_7}\left( {\dfrac{6}{{\ln 7}}} \right); + \infty } \right)\), ta có:
\(g'\left( a \right) = {7^{a - 1}}\ln 7 - 6 \ge 0,\,\forall a \in \left[ {1 + {{\log }_7}\left( {\dfrac{6}{{\ln 7}}} \right); + \infty } \right)\)
Vậy hàm số \(g\left( a \right)\)đồng biến trên\(\left[ {1 + {{\log }_7}\left( {\dfrac{6}{{\ln 7}}} \right); + \infty } \right)\).
Lại có: \(g\left( 2 \right) = 0 \Rightarrow \left( {**} \right) \Leftrightarrow x = 2.\)
Xét hàm số \(u\left( b \right) = {7^{b - 1}} - 6b + 5\,\)trên \(\left( { - \infty ;1 + {{\log }_7}\left( {\dfrac{6}{{\ln 7}}} \right)} \right)\), ta có:
\(u'\left( b \right) = {7^{b - 1}}\ln 7 - 6 < 0,\,\forall b \in \left( { - \infty ;1 + {{\log }_7}\left( {\dfrac{6}{{\ln 7}}} \right)} \right)\)
Vậy hàm số \(u\left( b \right)\)đồng biến trên\(\left( { - \infty ;1 + {{\log }_7}\left( {\dfrac{6}{{\ln 7}}} \right)} \right)\).
Lại có: \(u\left( 1 \right) = 0 \Rightarrow \left( {**} \right) \Leftrightarrow x = 1.\)
Điều kiện xác định của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{\log _2}\left( {{x^2} - 1} \right) + {\log _2}\left( {y - 1} \right) = 1\\{3^x} = {3^y}\end{array} \right.\) là:
Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 1 > 0\\y - 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1 \vee x < - 1\\y > 1\end{array} \right.\)
Số nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = - 1\\{4^{x + {y^2}}} = 16\end{array} \right.\) là:
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = - 1\\{4^{x + {y^2}}} = 16\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2y = - 1\\x + {y^2} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 2y - 1\\{y^2} - 2y - 3 = 0\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 2y - 1\\y = - 1;y = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1;y = - 1\\x = - 7;y = 3\end{array} \right.\)
Vậy hệ đã cho có \(2\) nghiệm phân biệt.
Gọi \(\left( {x;y} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\log x - \log y = 2\\x - 10y = 900\end{array} \right.\), khi đó giá trị biểu thức \(A = x - 2y\) là:
Điều kiện: \(x > 0;y > 0\)
\(\left\{ \begin{array}{l}\log x - \log y = 2\\x - 10y = 900\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\log \dfrac{x}{y} = 2\\x - 10y = 900\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{x}{y} = 100\\x - 10y = 900\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 100y\\x - 10y = 900\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 100y\\100y - 10y = 900\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1000\\y = 10\end{array} \right.\)
Vậy \(A = x - 2y = 1000 - 2.10 = 980\)
Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{2^x}{.9^y} = 162\\{3^x}{.4^y} = 48\end{array} \right.\) có tất cả bao nhiêu nghiệm \(\left( {x;y} \right)\)?
Nhân vế với vế của hai phương trình ta được:
\(\left( {{2^x}{{.9}^y}} \right).\left( {{3^x}{{.4}^y}} \right) = 162.48 \Leftrightarrow {6^x}{.36^y} = 162.48 \Leftrightarrow {6^x}{.6^{2y}} = {6^5} \Leftrightarrow x + 2y = 5\)
Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 5\\{3^x}{.4^y} = 48\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5 - 2y\\{3^{5 - 2y}}{.4^y} = 48\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5 - 2y\\\dfrac{{{3^5}}}{{{9^y}}}{.4^y} = {2^4}.3\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5 - 2y\\{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^{2y}} = {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2\\x = 1\end{array} \right.\)
Vậy hệ có nghiệm duy nhất \(\left( {1;2} \right)\).
Gọi \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}{\log _x}y = 2\\{\log _{x + 1}}\left( {y + 23} \right) = 3\end{array} \right.\). Mệnh đề nào đúng?
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}0 < x \ne 1;0 < x + 1 \ne 1\\y > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < x \ne 1\\y > 0\end{array} \right.\)
Khi đó hệ \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = {x^2}\\y + 23 = {\left( {x + 1} \right)^3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = {x^2}\\{x^2} + 23 = {\left( {x + 1} \right)^3}\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = {x^2}\\\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 4x + 11} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 = {x_0}\\y = 4 = {y_0}\end{array} \right.\)
Do đó \({x_0} < {y_0}\).
