Xét hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}{7^{x - 1}} = 6y - 5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{7^{y - 1}} = 6x - 5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$ có nghiệm \(\left( {x;y} \right)\). Khi đó phát biểu nào sau đây đúng:

Trừ vế theo vế (1) cho (2) ta được: \({7^{x - 1}} - {7^{y - 1}} = 6y - 6x\) \( \Leftrightarrow {7^{x - 1}} + 6x = {7^{y - 1}} + 6y\,\,\,\,\,\left( * \right).\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {7^{t - 1}} + 6t\) trên \(\mathbb{R},\) ta có: \(f'\left( t \right) = {7^{t - 1}}\ln 7 + 6 > 0,\,\forall t \in \mathbb{R}.\)

Vậy hàm số\(f\left( t \right)\)  đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)

Do đó: \(\left( * \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = f\left( y \right) \Leftrightarrow x = y.\)

Thay \(x = y\) vào (1) ta được: \({7^{x - 1}} - 6x + 5 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {**} \right)\)

Xét hàm số \(g\left( a \right) = {7^{a - 1}} - 6a + 5\,\)trên \(\left[ {1 + {{\log }_7}\left( {\dfrac{6}{{\ln 7}}} \right); + \infty } \right)\), ta có:

\(g'\left( a \right) = {7^{a - 1}}\ln 7 - 6 \ge 0,\,\forall a \in \left[ {1 + {{\log }_7}\left( {\dfrac{6}{{\ln 7}}} \right); + \infty } \right)\)

Vậy hàm số \(g\left( a \right)\)đồng biến trên\(\left[ {1 + {{\log }_7}\left( {\dfrac{6}{{\ln 7}}} \right); + \infty } \right)\).

Lại có: \(g\left( 2 \right) = 0 \Rightarrow \left( {**} \right) \Leftrightarrow x = 2.\)

Xét hàm số \(u\left( b \right) = {7^{b - 1}} - 6b + 5\,\)trên \(\left( { - \infty ;1 + {{\log }_7}\left( {\dfrac{6}{{\ln 7}}} \right)} \right)\), ta có:

\(u'\left( b \right) = {7^{b - 1}}\ln 7 - 6 < 0,\,\forall b \in \left( { - \infty ;1 + {{\log }_7}\left( {\dfrac{6}{{\ln 7}}} \right)} \right)\)

Vậy hàm số \(u\left( b \right)\)đồng biến trên\(\left( { - \infty ;1 + {{\log }_7}\left( {\dfrac{6}{{\ln 7}}} \right)} \right)\).

Lại có: \(u\left( 1 \right) = 0 \Rightarrow \left( {**} \right) \Leftrightarrow x = 1.\)