Câu hỏi:
2 năm trước
Xét hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{3^x} + 2x = y + 11\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{3^y} + 2y = x + 11\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\) có nghiệm \(\left( {x;y} \right)\). Khi đó phát biểu nào sau đây đúng:
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
Trừ vế theo vế (1) và (2) ta được: \({3^x} + 2x - {3^y} - 2y = y - x \) \(\Leftrightarrow {3^x} + 3x = {3^y} + 3y\,\,\,\,\,\left( * \right)\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {3^t} + 3t\) trên \(\mathbb{R},\) ta có: \(f'\left( t \right) = {3^t}\ln 3 + 3 > 0, \forall t \in \mathbb{R}.\)
Vậy hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
Do đó: \(\left( * \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = f\left( y \right) \Leftrightarrow x = y.\)
Thay \(x = y\) vào (1) ta được: \({3^x} + x - 11 = 0 \left( {**} \right)\)
Xét hàm số \(g\left( m \right) = {3^m} + m - 11\) trên \(\mathbb{R},\) ta có: $g'\left( m \right) = {3^m}\ln 3 + 3 > 0,\,\forall m \in \mathbb{R}.$
Vậy hàm số \(g\left( m \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
Lại có: \(g\left( 2 \right) = 0 \)
\(\Rightarrow \left( {**} \right) \) có nghiệm duy nhất \( x = 2\)
\( \Rightarrow y = 2 \Rightarrow \left( {x;y} \right) = \left( {2;2} \right).\)
Hướng dẫn giải:
Thực hiện trừ vế cho vế của hai phương trình và xét hàm số.
